高考数学专题复习练习:第十二章 12_5条件概率及其性质

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高考数学专题复习练习:第十二章 12_5条件概率及其性质

‎1.条件概率及其性质 ‎(1)一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.‎ 在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的个数,则P(B|A)=.‎ ‎(2)条件概率具有的性质 ‎①0≤P(B|A)≤1;‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件,‎ 则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).‎ ‎2.相互独立事件 ‎(1)设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.‎ ‎(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),‎ P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).‎ ‎(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.‎ ‎3.二项分布 ‎(1)一般地,在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验.‎ ‎(2)一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率.‎ ‎【知识拓展】‎ 超几何分布与二项分布的区别 ‎(1)超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要;‎ ‎(2)超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复).‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( × )‎ ‎(2)相互独立事件就是互斥事件.( × )‎ ‎(3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( × )‎ ‎(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p.( × )‎ ‎(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率.( √ )‎ ‎1.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球,从中依次摸出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 第一次摸出红球,还剩2红5黑共7个小球,所以再摸到红球的概率为.‎ ‎2.(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 所求概率P=C·()1·(1-)3-1=.‎ ‎3.(2015·课标全国Ⅰ)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(  )‎ A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312‎ 答案 A 解析 3次投篮投中2次的概率为 P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),‎ 投中3次的概率为P(k=3)=0.63,‎ 所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故选A.‎ ‎4.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ‎________.‎ 答案 0.8‎ 解析 已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P==0.8.‎ ‎5.(教材改编)国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙去北京旅游的概率为,假定二人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.‎ 答案  解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A,“乙去北京旅游”为事件B,又P()=P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)]=(1-)(1-)=,‎ ‎“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”,故所 求概率为1-P()=1-=.‎ 题型一 条件概率 例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)如图所示,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,‎ 将一粒豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,‎ B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=________.‎ 答案 (1)B (2) 解析 (1)P(A)==,P(AB)==,‎ P(B|A)==.‎ ‎(2)AB表示事件“豆子落在△OEH内”,‎ P(B|A)===.‎ 引申探究 ‎1.若将本例(1)中的事件B:“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”,则结果如何?‎ 解 P(A)==,‎ P(B)==,又A⊇B,则P(AB)=P(B)=,‎ 所以P(B|A)===.‎ ‎2.在本例(2)的条件下,求P(A|B).‎ 解 由题意知,∠EOH=90°,故P(B)=,‎ 又∵P(AB)===,‎ ‎∴P(A|B)===.‎ 思维升华 条件概率的求法 ‎(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A).‎ ‎(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.‎ ‎ (2016·开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 方法一 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”,事件B为“第2‎ 次抽到的是卡口灯泡”,则P(A)=,P(AB)=×=,则所求概率为P(B|A)===.‎ 方法二 第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡,其中有7只卡口灯泡,故第2次抽到卡口灯泡的概率为=.‎ 题型二 相互独立事件的概率 例2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:‎ T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频数(次)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎ (1)求T的分布列;‎ ‎ (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.‎ 解 (1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 以频率估计概率得T的分布列为 T ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同,‎ 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.‎ 方法一 P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.‎ 方法二 P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)‎ ‎=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,‎ 故P(A)=1-P()=0.91.‎ 思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.‎ ‎(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:‎ ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;‎ ‎②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算.‎ ‎ (2017·青岛月考)为了分流地铁高峰的压力,某市发改委通过听众会,决定实施低峰优惠票价制度.不超过22千米的地铁票价如下表:‎ 乘坐里程x(单位:km)‎ ‎0
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