高考数学专题复习练习：第十二章 12_5条件概率及其性质

高考数学专题复习练习：第十二章 12_5条件概率及其性质

‎1．条件概率及其性质 ‎(1)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．‎ 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.‎ ‎(2)条件概率具有的性质 ‎①0≤P(B|A)≤1；‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件，‎ 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．‎ ‎2．相互独立事件 ‎(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．‎ ‎(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，‎ P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．‎ ‎(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．‎ ‎3．二项分布 ‎(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验．‎ ‎(2)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ ‎【知识拓展】‎ 超几何分布与二项分布的区别 ‎(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；‎ ‎(2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　×　)‎ ‎(2)相互独立事件就是互斥事件．(　×　)‎ ‎(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)‎ ‎(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　×　)‎ ‎(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　√　)‎ ‎1．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为.‎ ‎2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　所求概率P＝C·()1·(1－)3－1＝.‎ ‎3．(2015·课标全国Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ 答案　A 解析　3次投篮投中2次的概率为 P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，‎ 投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，‎ 所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.‎ ‎4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ‎________．‎ 答案　0.8‎ 解析　已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.‎ ‎5．(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．‎ 答案　 解析　记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P()＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)(1－)＝，‎ ‎“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所 求概率为1－P()＝1－＝.‎ 题型一　条件概率 例1　(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，‎ 将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，‎ B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.‎ 答案　(1)B　(2) 解析　(1)P(A)＝＝，P(AB)＝＝，‎ P(B|A)＝＝.‎ ‎(2)AB表示事件“豆子落在△OEH内”，‎ P(B|A)＝＝＝.‎ 引申探究 ‎1．若将本例(1)中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？‎ 解　P(A)＝＝，‎ P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎2．在本例(2)的条件下，求P(A|B)．‎ 解　由题意知，∠EOH＝90°，故P(B)＝，‎ 又∵P(AB)＝＝＝，‎ ‎∴P(A|B)＝＝＝.‎ 思维升华　条件概率的求法 ‎(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．‎ ‎(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎　(2016·开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2‎ 次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ 方法二　第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝.‎ 题型二　相互独立事件的概率 例2　设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：‎ T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频数(次)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎ (1)求T的分布列；‎ ‎ (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．‎ 解　(1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 以频率估计概率得T的分布列为 T ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，‎ 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．‎ 方法一　P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.‎ 方法二　P()＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)‎ ‎＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，‎ 故P(A)＝1－P()＝0.91.‎ 思维升华　求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．‎ ‎(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：‎ ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ ‎　(2017·青岛月考)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：‎ 乘坐里程x(单位：km)‎ ‎0

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