高考数学专题复习练习第二章 第十节 函数模型及应用 课下练兵场

高考数学专题复习练习第二章 第十节 函数模型及应用 课下练兵场

第二章 第十节 函数模型及应用 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 一次函数与二次函数 模型 ‎1、2、3‎ ‎4、6‎ ‎10‎ 分段函数模型 ‎5‎ ‎7、8‎ ‎11‎ 指数函数模型 ‎9、12‎ 一、选择题 ‎1.往外埠投寄平信，每封信不超过‎20 g付邮费0.80元，超过‎20 g 而不超过‎40 g付邮费1.60‎ 元，依次类推，每增加‎20 g需增加邮费0.80元(信的质量在‎100 g以内).如果某人所寄一封信的质量为‎72.5 g，则他应付邮费 (　　)‎ A.3.20‎元 B.2.90元 C.2.80元 D.2.40元 解析：由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元).‎ 答案：A ‎2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量 为(　　)‎ A.36万件　　　　　　　　B.18万件 C.22万件 D.9万件 解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值.‎ 答案：B ‎3.某债券市场常年发行三种债券，A种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B种债券面值为1000元，买入价为960元，一年到期本息之和为1000元；C种面值为1000元，半年到期本息和为1020元.设三种债券的年收益分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 (　　)‎ A.a＝cc>a.‎ 答案：C ‎4.(2009·长沙模拟)已知某食品厂生产‎100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采 用两种包装，其包装费及售价如表所示，‎ 型号 小包装 大包装 质量 ‎100克 ‎300克 包装费 ‎0.5元 ‎0.8元 售价 ‎3.00元 ‎8.40元 下列说法中：‎ ‎①买小包装实惠；②买大包装实惠；‎ ‎③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；‎ ‎④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多.‎ 所有正确的说法是 (　　)‎ A.①④ B.①③ C.②③ D.②④‎ 解析：1包小包装每元可买饼干克，1包大包装中每元可买饼干>克，因此，‎ 买大包装实惠.卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包比卖1包大包装盈利少.‎ 答案：D ‎5.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为 (　　)‎ A.2800元 B.3000元 C.3800元 D.3818元 解析：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 ‎ ‎ 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，‎ ‎∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.‎ 答案：C ‎6.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 (　　)‎ A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 解析：产量x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本时，必满足总售价≥总成本，即25x≥3000＋20x－0.1x2,0.1x2＋5x－3000≥0，x2＋50x－30000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去).‎ 故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈　　　　.‎ 解析：∵10.6＝1.06(0.50×[m]＋1)，‎ ‎∴0.5[m]＝9，∴[m]＝18，∴m∈(17,18].‎ 答案：(17,18]‎ ‎8.直角梯形ABCD，如图(1)，动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x).如果函数y＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC的面积为　　　　.‎ 解析：由y＝f(x)的图象可知，当x由0→4时，f(x)由0变成最大，说明BC＝4. ‎ 由x从4→9时f(x)不变，说明此时P点在DC上，‎ 即CD＝5.‎ ‎ ∴AG＝3，由此可求出AB＝3＋5＝8.‎ S△ABC＝AB·BC＝×8×4＝16.‎ 答案：16‎ ‎9.山东天成书业准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖 出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万.‎ 设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg2x，‎ 则这三种门票的张数分别为　　　　万时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.‎ 解析：该函数模型y＝lg2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题. ‎ 设3元、5元、8元门票的张数分别为a、b、c， ‎ ‎ ‎ ‎①代入③，有x＝19.2－(‎5a＋3b) ≤19.2－2＝13.2(万元)，‎ 当且仅当时等号成立，解得a＝0.6，b＝1，‎ 所以c＝0.8.‎ 由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值.‎ 答案：0.6,1,0.8‎ 三、解答题 ‎10.(2010·淄博模拟)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：‎ 甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条.‎ 乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个.‎ 请你根据提供的信息说明：‎ ‎(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.‎ ‎(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由.‎ ‎(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由.‎ 解：由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2) 两点，‎ 从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，‎ 图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点.‎ 从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.‎ ‎(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，‎ y乙＝－4×2＋34＝26，‎ y甲×y乙＝1.2×26＝31.2.‎ 所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.‎ ‎(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.‎ ‎(3)设当第m年时的规模，即总出产是量为n，‎ 那么n＝y甲·y乙＝(‎0.2m＋0.8)(－‎4m＋34)‎ ‎＝－‎0.8m2‎＋‎3.6m＋27.2‎ ‎＝－0.8(m2－‎4.5m－34)‎ ‎＝－0.8(m－2.25)2＋31.25‎ 因此，当m＝2时，n最大值为31.2.‎ 即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条.‎ ‎11.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式.‎ 某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地 ‎1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土 堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围 宽均为‎2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.‎ ‎(1)试用x，y表示S；‎ ‎(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？‎ 解：(1)由题可得：xy＝1800，b＝‎2a，‎ 则y＝a＋b＋6＝‎3a＋6，‎ 即a＝‎ S＝(x－4)a＋(x－6)×b＝(3x－16)＝(3－16) ‎ ‎＝1832－6x－y(x>0).‎ ‎(2)法一：S＝1832－6x－y≤1832－2‎ ‎＝1832－480＝1352，‎ 当且仅当6x＝y，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1352.‎ 法二：S＝1800－6x－×＋32＝1832－(6x＋)≤1832－2 ‎ ‎＝1832－480＝1352，‎ 当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值.‎ 此时y＝＝45.‎ 法三：设S＝f(x)＝1832－(6x＋)(x>0)‎ f′(x)＝－6＝‎ 令f′(x)＝0，得x＝40.‎ 当00；当x>40时，f′(x)<0.‎ ‎∴当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45.‎ ‎12.(2010·深圳模拟)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减.‎ ‎(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销量，单位：升)，用哪个模拟函数来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由.①y＝ax2＋bx，②y＝kx＋b，③y＝logax＋b，④y＝ax＋b.‎ ‎(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为‎2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为‎5升，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销量最多是多少？‎ ‎(3)[理]因为A饮料在B国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A饮料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降10%，根据(2)所求出的模拟函数，求出各个地区中，年人均A饮料的销量最多是多少？‎ 解：(1)用函数y＝ax2＋bx来描述A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适.‎ 因为函数y＝kx＋b，y＝logax＋b，y＝ax＋b在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征.‎ ‎(2)依题意知，函数过点(1,2)和(4,5)，‎ 则有 ‎∴y＝－x2＋x(0.5≤x≤8)，‎ ‎∵y＝－x2＋x＝－(x－)2＋≤，‎ ‎∴在各地区中，当x＝时，年人均A饮料销量最多是升.‎ ‎(3)[理]依题意知当x∈[0.5,3]或x∈(6,8]时，‎ y＝0.95·(－x2＋x)，‎ ‎∵函数在[0.5,3)上为增函数，‎ ‎∴y<0.95×(－＋)＝，‎ ‎∵函数在(6,8]上为减函数，‎ ‎∴y<0.95×(－＋)＝，‎ 当x∈[3,6]时，y＝0.9·[－(x－)2＋]≤，‎ ‎∵<，∴在各地区中，当x＝时，年人均A饮料销量最多为升.‎