高中数学人教a必修5学业分层测评18一元二次不等式的应用word版含解析
学业分层测评（十八）
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．不等式4x＋2
3x－1
>0 的解集是( )
A. x|x>1
3
或 x<－1
2
B. x|－1
2
1
3
D. x|x<－1
2
【解析】 4x＋2
3x－1
>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>1
3
或 x<－1
2
，此不等式的解集为
x|x>1
3 或 x<－1
2 .
【答案】 A
2．如果 A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的取值集合为( )
A．{a|00，
Δ＝a2－4a≤0，
解得 00 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式ax＋b
x－2
>0
的解集是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)
B．(－1,2)
C．(1,2)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解析】 ∵ax－b>0 的解集为(1，＋∞)，
∴a＝b>0，∴ax＋b
x－2
>0⇔ax＋1
x－2
>0，
∴x<－1 或 x>2.
【答案】 D
4．设集合 P＝{m|－10 对 x∈R 恒成立，∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝
4a2－4a－3<0，∴(2a－3)(2a＋1)<0，即－1
20 的解集是________．
【解析】 原不等式可化为(x－4a)(x＋5a)>0，
由于 a<0，所以 4a<－5a，
因此原不等式的解集为{x|x<4a 或 x>－5a}．
【答案】 {x|x<4a 或 x>－5a}
7．偶函数 y＝f(x)和奇函数 y＝g(x)的定义域均为[－4，4]，f(x)在[－4,0]上，
g(x)在[0,4]上的图象如图 322 所示，则不等式fx
gx<0 的解集为________．
图 322
【解析】 由已知得当 x∈(－4，－2)∪(2,4)时，f(x)>0，当 x∈(－2,2)时，
f(x)<0，当 x∈(－4,0)时，g(x)>0，x∈(0,4)时，g(x)<0.
所以当 x∈(－2,0)∪(2,4)时，fx
gx<0.
所以不等式fx
gx<0 的解集为{x∈R|－20 的解集是{x|－30；
(2)b 为何值时，ax2＋bx＋3≥0 的解集为 R?
【解】 (1)由题意知 1－a<0，且－3 和 1 是方程(1－a)x2－4x＋6＝0 的两根，
∴
1－a<0，
4
1－a
＝－2，
6
1－a
＝－3，
解得 a＝3.
∴不等式 2x2＋(2－a)x－a>0，
即为 2x2－x－3>0，解得 x<－1 或 x>3
2.
∴所求不等式的解集为 x|x<－1 或 x>3
2 .
(2)ax2＋bx＋3≥0，即 3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为 R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
10．某地区上年度电价为 0.8 元/kw·h，年用电量为 a kw·h.本年度计划将电
价降低到 0.55 元/kw·h 至 0.75 元/kw·h 之间，而用户期望电价为 0.4 元/kw·h.经测
算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数
为 k)．该地区电力的成本价为 0.3 元/kw·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式；
(2)设 k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至
少增长 20%?
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)
【解】 (1)设下调后的电价为 x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至 k
x－0.4
＋
a，电力部门的收益为
y＝
k
x－0.4
＋a
(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
0.2a
x－0.4
＋a x－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，
0.55≤x≤0.75.
整理，得 x2－1.1x＋0.3≥0，
0.55≤x≤0.75.
解此不等式，得 0.60≤x≤0.75.
∴当电价最低定为 0.60 元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至
少增长 20%.
[能力提升]
1．若实数α，β为方程 x2－2mx＋m＋6＝0 的两根，则(α－1)2＋(β－1)2 的最
小值为( )
A．8 B．14
C．－14 D．－49
4
【解析】 ∵Δ＝(－2m)2－4(m＋6)≥0，
∴m2－m－6≥0，∴m≥3 或 m≤－2.
(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m)2
－2(m＋6)－2(2m)＋2＝4m2－6m－10＝4 m－3
4 2－49
4
，∵m≥3 或 m≤－2，∴当
m＝3 时，(α－1)2＋(β－1)2 取最小值 8.
【答案】 A
2．函数 f(x)＝ kx2－6kx＋k＋8的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为( )
A．(0,1) B．[1，＋∞)
C．[0,1] D．(－∞，0]
【解析】 kx2－6kx＋(k＋8)≥0 恒成立，
当 k＝0 时，满足．
当 k≠0 时， k＞0，
Δ＝－6k2－4kk＋8≤0
⇒0＜k≤1.
综上，0≤k≤1.
【答案】 C
3．若不等式 x2－8x＋20
mx2－mx－1
＜0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 m 的取值范围为
________．
【解析】 ∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4＞0，
∴只需 mx2－mx－1＜0 恒成立．
故 m＝0 或 m＜0，
Δ＝m2＋4m＜0，
∴－4＜m≤0.
【答案】 －4＜m≤0
4．设不等式 mx2－2x－m＋1＜0 对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立，求 x
的取值范围．
【解】 原不等式可化为(x2－1)m－(2x－1)＜0.
令 f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，其中 m∈[－2,2], 则原命题等价于关于 m 的一
次函数(x2－1≠0 时)或常数函数(x2－1＝0 时)在 m∈[－2,2]上的函数值恒小于零．
(1)当 x2－1＝0 时，由 f(m)＝－(2x－1)＜0 得 x＝1；
(2)当 x2－1＞0 时，f(m)在[－2,2]上是增函数，要使 f(m)＜0 在[－2,2]上恒成
立，只需 x2－1＞0，
f2＝2x2－1－2x－1＜0，
解得 1＜x＜1＋ 3
2
；
(3)当 x2－1＜0 时，f(m)在[－2,2]上是减函数，要使 f(m)＜0 在[－2,2]上恒成
立，只需 x2－1＜0，
f－2＝－2x2－1－2x－1＜0，
解得－1＋ 7
2
＜x＜1.
综合(1)(2)(3)，得－1＋ 7
2
＜x＜1＋ 3
2
.
