高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课件 新人教A版选修4-5

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高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课件 新人教A版选修4-5

第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式 1. 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 作差比较法 作商比较法 理论依据 a>b ⇔ ______ a0, >1 ⇒ a>b b<0, >1 ⇒ a0 a-b<0 a-b=0 具有多项式 2. 综合法和分析法 (1) 综合法 一般地,从 _________ 出发,利用 _____ 、公理、 _____ 、性质 等,经过一系列的 _____ 、 _____ 而得出命题成立,这种证明 方法叫做综合法 . 综合法又叫 _________ 或由因导果法 . 已知条件 定义 定理 推理 论证 顺推证法 (2) 分析法 证明命题时,从 ___________ 出发,逐步寻求使它成立的 _____ _____ ,直至所需条件为 _________ 或 ___________________( 定 义、公理或已证明的定理、性质等 ) ,从而得出要证的命题 成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考 和证明方法 . 要证的结论 已知条件 一个明显成立的事实 充分 条件 3. 反证法 (1) 假设要证的命题 _______ ,以此为出发点,结合已知条件, 应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和 ___________( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾 的结论,以说明假设不正确,从而证明 ___________ ,我们把它 称为反证法 . (2) 证明步骤:反设→归谬→肯定原结论 . 不成立 命题的条件 原命题成立 4. 放缩法 (1) 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 _____ 或 _____ ,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法 称为放缩法 . (2) 理论依据 a > b,b > c ⇒ a___c. 放大 缩小 > 5. 数学归纳法 (1) 数学归纳法的概念 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 n 0 的所有正整 数 n 都成立时,可以用以下两个步骤: ①证明当 ____ 时命题成立; ②假设当 __________________ 时命题成立,证明 ______ 时命题 也成立 . 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于 n 0 的所有 正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法 . n=n 0 n=k(k∈N + , 且 k≥n 0 ) n=k+1 (2) 数学归纳法的基本过程 判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打“√”或“ ×”). (1) 若 则 x+2y>x-y.( ) (2) 已知 a>b>-1, 则 ( ) (3) 设 (b>a>0) ,则 s≥t.( ) (4) 证明 可用比较法证明 .( ) (5) 数学归纳法的第一步 n 的初始值一定为 1.( ) 【 解析 】 (1) 错误 . 若 x-y<0 ,则有 x+2yb>-1,∴a+1>b+1>0, (3) 错误 . ∵b>a>0,∴a-b<0, a(a+1)>0, (4) 错误 . 该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明,最好 用分析法 . (5) 错误 . 数学归纳法中的第一步 n 的初始值不一定为 1 ,如证明 n 边形的内角和为 (n-2) · 180°, 第 1 个值 n 0 =3. 答案: (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 考向 1 比较法证明不等式 【 典例 1】 (1) 设 c>b>a, 证明: a 2 b+b 2 c+c 2 ab>a,∴b-a>0,c-b>0,c-a>0, ∴ab 2 +bc 2 +ca 2 >a 2 b+b 2 c+c 2 a, 即 a 2 b+b 2 c+c 2 a0,y>0, 求证 【 思路点拨 】 (1) 分析不等式左边的特点结合已知条件,利用基本不等式及重要不等式的变形证明该不等式 . (2) 待证不等式中含有分数指数幂,不易直接证明 , 可考虑用分析法证明 . 两边六次方,消去分数指数幂,化为整式不等式后,再进行变形,整理证明即可 . 【 规范解答 】 (1) 方法一:左边 =a 2 +b 2 +4+ =4+a 2 +b 2 + =4+a 2 +b 2 +1+ =4+(a 2 +b 2 )+2+ ≥4+ 当且仅当 a=b 时,等号成立 . 即原不等式成立 . 方法二:∵ a , b∈R + ,且 a+b=1,∴ab≤ 当且仅当 a=b 时,等号成立 . ∴(a+ ) 2 +(b+ ) 2 =4+(a 2 +b 2 )+ =4+ [ (a+b) 2 -2ab ] + (2) 要证明 只需证 (x 2 +y 2 ) 3 >(x 3 +y 3 ) 2 , 即证 x 6 +3x 4 y 2 +3x 2 y 4 +y 6 >x 6 +2x 3 y 3 +y 6 , 即证 3x 4 y 2 +3x 2 y 4 >2x 3 y 3 , ∵x>0,y>0,∴x 2 y 2 >0. 即证 3x 2 +3y 2 >2xy,∵3x 2 +3y 2 >x 2 +y 2 ≥2xy, ∴3x 2 +3y 2 >2xy 成立,∴ 【 拓展提升 】 1. 综合法证明不等式的方法 (1) 综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系 . 合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键 . (2) 在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的 . 在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件 . 2. 综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是 “ 由因导果 ” , 分析法证明不等式是 “ 执果索因 ” ,它们是两种思路截然相反的证明方法 . 综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理、清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见 , 分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野 . 3. 分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 . 【 变式训练 】 1. 已知 a,b∈R + , 且 a+b=1, 求证: 【 证明 】 方法一:∵ a , b∈(0 , +∞) ,且 a+b=1, ∴ab≤ 当且仅当 a=b 时,等号成立 . 方法二: 1-ab≥ 当且仅当 a=b 时,等号成立 . ∴(1-ab) 2 ≥ ∴(1-ab) 2 +1≥ 又 方法三: 2. 已知 a>0,b>0,2c>a+b, 求证: 【 证明 】 要证: 只需证: 只需证: |a-c|< 只需证: (a-c) 2 a 2 +ab. ∵a>0,∴ 只需证 2c>a+b, 由题设,上式显然成立 . 故 考向 3 用反证法或放缩法证明不等式 【 典例 3】 若 a 3 +b 3 =2 ,求证 :a+b≤2. 【 思路点拨 】 直接证明 a+b≤2 比较困难,可考虑从反面入手, 运用反证法,导出矛盾,从而证得结论 . 【 规范解答 】 方法一 : 假设 a+b > 2, 而 a 2 -ab+b 2 但取等号的条件为 a=b=0, 显然不可能 , ∴a 2 -ab+b 2 > 0. 则 a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) > 2(a 2 -ab+b 2 ), 而 a 3 +b 3 =2, 故 a 2 -ab+b 2 < 1. ∴1+ab > a 2 +b 2 ≥2ab. 从而 ab < 1. ∴a 2 +b 2 < 1+ab < 2. ∴(a+b) 2 =a 2 +b 2 +2ab < 2+2ab < 4. ∴a+b < 2. 这与假设矛盾,故 a+b≤2. 方法二 : 假设 a+b > 2 ,则 a > 2-b, 故 2=a 3 +b 3 > (2-b) 3 +b 3 ,即 2 > 8-12b+6b 2 , 即 (b-1) 2 < 0 ,这不可能,从而 a+b≤2. 方法三 : 假设 a+b > 2, 则 (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b) > 8. 由 a 3 +b 3 =2, 得 3ab(a+b) > 6. 故 ab(a+b) > 2. 又 a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=2, ∴ab(a+b) > (a+b)(a 2 -ab+b 2 ), ∴a 2 -ab+b 2 < ab, 即 (a-b) 2 < 0, 这不可能,故 a+b≤2. 【 拓展提升 】 1. 适宜用反证法证明的数学命题 (1) 结论本身是以否定形式出现的一类命题 . (2) 关于唯一性、存在性的命题 . (3) 结论以 “ 至多 ”“ 至少 ” 等形式出现的命题 . (4) 结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题 . 2. 使用反证法证明问题时,准确地作出反设 ( 即否定结论 ) ,是正确运用反证法的前提,常见的 “ 结论词 ” 与 “ 反设词 ” 列表如下: 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立 至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立 至少有 n 个 至多有 n-1 个 p 或 q ﹁ p 且 ﹁ q 至多有 n 个 至少有 n+1 个 p 且 q ﹁ p 或 ﹁ q 3. 放缩法证明不等式的技巧 放缩法证明不等式,就是利用不等式的传递性证明不等关系,即要证 a > b ,只需先证明 a > p ,且 p > b. 其中 p 的确定是最重要,也是最困难的,要凭借对题意的深刻分析,对式子巧妙变形的能力以及一定的解题经验 . 【 变式训练 】 若 n 是大于 1 的自然数 , 求证 : 【 证明 】 考向 4 数学归纳法的应用 【 典例 4】 已知 f(n)= 当 n>1,n∈N 时,求证: f(2 n )> 【 思路点拨 】 解答本题可先验证 n=2 时不等式成立,再假设 n=k 时不等式成立,推出 n=k+1 时不等式成立 . 【 规范解答 】 (1) 当 n=2 时, f(2 2 )= 成立 . (2) 假设当 n=k(k∈N 且 k≥2) 时不等式成立, 即 f(2 k )= 成立 . 则当 n=k+1 时, f(2 k+1 )= 即当 n=k+1 时不等式成立 . 由 (1)(2) 知,对于任意的 n>1,n∈N, 不等式成立 . 【 拓展提升 】 数学归纳法的应用 数学归纳法是用来证明与正整数 n 有关的数学命题的一种常用方法,应用时应注意以下三点: (1) 验证是基础 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数 n 0 ,这个 n 0 就是要证明的命题对象的最小正整数,这个正整数并不一定都是 “ 1 ” ,因此 “ 找准起点,奠基要稳 ” 是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题 . (2) 递推乃关键 数学归纳法的实质在于递推,所以从 “ k ” 到 “ k+1 ” 的过程,必须把归纳假设 “ n=k ” 作为条件来导出 “ n=k+1 ” 时的命题,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次 . (3) 寻找递推关系 ①在第一步验证时,不妨多计算几次,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的 . ② 探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律,观察 n 处在哪个位置 . ③ 在书写 f(k+1) 时,一定要把包含 f(k) 的式子写出来,尤其是 f(k) 中的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项要分清楚 . 【 变式训练 】 用数学归纳法证明: n∈N + 时, 【 证明 】 (1) 当 n=1 时,左边 = 等式成立 . (2) 假设 n=k 时, 成立 . 当 n=k+1 时, 所以 n=k+1 时,等式成立 . 根据 (1)(2) 可得对一切 n∈N + , 等式均成立 .
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