高中数学选修2-2课时提升作业(十六) 2_2_1_1

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高中数学选修2-2课时提升作业(十六) 2_2_1_1

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(十六) 综　合　法 一、选择题(每小题 3 分，共 18 分) 1.设 a=lg2+lg5，b=ex(x<0)，则 a 与 b 大小关系为(　　) A.a>b B.a=b C.ab. 2.设 a>0，b>0 且 ab-(a+b)≥1，则(　　) A.a+b≥2( +1) B.a+b≤ +1 C.a+b≤( +1)2 D.a+b>2( +1) 【解析】选 A.由条件知 a+b≤ab-1≤ -1， 令 a+b=t，则 t>0 且 t≤ -1， 解得 t≥2+2 . 3.(2014·广州高二检测)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下： 那么，d⊗(a⊕c)等于(　　) A.a B.b C.c D.d 【解析】选 A.由所给定义知 a⊕c=c，d⊗c=a， 所以 d⊗(a⊕c)=d⊗c=a. 4.(2014·济南高二检测)如果 x>0，y>0，x+y+xy=2，则 x+y 的最小值为(　　) A. B.2 -2 C.1+ D.2- 【解析】选 B.由 x>0，y>0，x+y+xy=2， 则 2-(x+y)=xy≤ ， 所以(x+y)2+4(x+y)-8≥0， x+y≥2 -2 或 x+y≤-2-2 ， 由 x>0，y>0 知 x+y≥2 -2. 5.在面积为 S(S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为 r 时，扇形周长 p 最小，这时θ，r 的值分别是(　　) A.θ=1，r= B.θ=2，r= C.θ=2，r= D.θ=2，r= 【解析】选 D.设扇形的弧长为 l， 则 lr=S， 所以 l= ，又 p=2r+l=2r+ ≥2 =4 ， 当且仅当 r= ，即 r= 时等号成立， 此时θ= = = =2. 6.(2014·西安高二检测)在△ABC 中，tanA·tanB>1，则△ABC 是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【解析】选 A.因为 tanA·tanB>1， 所以角 A，角 B 只能都是锐角， 所以 tanA>0，tanB>0，1-tanA·tnaB<0， 所以 tan(A+B)= <0. 所以 A+B 是钝角，即角 C 为锐角. 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 7. 设 a>0 ， b>0 ， 则 下 面 两 式 的 大 小 关 系 为 lg(1+ )______ [lg(1+a)+ lg(1+b)]. 【解题指南】要比较两者大小，可先比较(1+ )与 的大小，又 需先比较(1+ )2 与(1+a)(1+b)的大小. 【解析】因为(1+ )2-(1+a)(1+b) =1+2 +ab-1-a-b-ab =2 -(a+b)=-( - )2≤0， 所以(1+ )2≤(1+a)(1+b)， 所以 lg(1+ )≤ [lg(1+a)+lg(1+b)]. 答案：≤ 【变式训练】若 a≠b，a≠0，b≠0，则比较大小关系： + ______ + . 【解析】可比较|a| +|b| 与|a| +|b| 的大小，进而比较|a| r l -|a| 与|b| -|b| 的大小，从而可比较出大小. 因为(|a| -|a| )-(|b| -|b| ) =|a|( - )-|b|( - ) =( + )( - )2. 因为 a≠b，a≠0，b≠0，所以上式>0， 故 + > + . 答案：> 8.点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是 ________. 【解题指南】在曲线上求一点，使得在此点处的切线和直线 y=x-2 平行，求出 两条平行线间的距离即可. 【解析】点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y=x-2 平行 时，点 P 到直线 y=x-2 的距离最小.直线 y=x-2 的斜率为 1.令 y=x2-lnx 的导数 y′=2x- =1，得 x=1 或 x=- (舍)，所以切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线 y=x-2 的距离等于 . 答案： 9.(2014·天水高二检测)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，f(x)= ，a n=log2 ，则 S2014=________. 【解题指南】利用对数的性质，把 an 写成 log2f(n+1)-log2f(n)，则式子中可出 现正负相消的情况. 【解析】an=log2 =log2f(n+1)-log2f(n)， 所以 S2014=a1+a2+a3+…+a2014=[log2f(2)-log2f(1)]+[log2f(3)-log2f(2)] +[log2f(4)-log2f(3)]+…+[log2f(2014)-log2f(2013)] =log2f(2014)-log2f(1) =log2 -log2 =log2 +1. 答案：log2 +1 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 10.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点( ，an+1)(n∈N*)在函数 y=x2+1 的 图象上. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足 b1=1，bn+1=bn+ ，求证：bn·bn+2< . 【解析】(1)由已知得 an+1=an+1， 则 an+1-an=1，又 a1=1， 所以数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列. 故 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知，an=n，从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+…+2+1 = =2n-1. 因为 bn·bn+2- =(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1) =-2n<0， 所以 bn·bn+2< . 11.(2014·石家庄高二检测)已知倾斜角为 60°的直线 L 经过抛物线 y 2=4x 的 焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点，其中 O 为坐标原点. (1)求弦 AB 的长. (2)求三角形 ABO 的面积. 【解析】(1)由题意得：直线 L 的方程为 y= (x-1)， 代入 y2=4x，得：3x2-10x+3=0. 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则：x1+x2= . 由抛物线的定义得：弦长|AB|=x1+x2+p= +2= . (2)点 O 到直线 AB 的距离 d= = ， 所以三角形 OAB 的面积为 S= |AB|·d= . 一、选择题(每小题 4 分，共 16 分) 1.(2014·石家庄高二检测)p= + ，q= · (m，n，a，b，c， d 均为正数)，则 p，q 的大小为(　　) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 【解析】选 B.q= ≥ = + =p， 当且仅当 = 时取等号. 【变式训练】已知函数 f(x)= ，a，b 是正实数，A=f ，B=f( )，C=f ， 则 A，B，C 的大小关系为(　　) A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 【解析】选 A.因为 ≥ ≥ ， 又 f(x)= 在 R 上是减函数. 所以 f ≤f( )≤f . 2.设 02 > ， 因为(1+x)(1-x) =1-x2<1， 又 00， 所以 1+x< . 3.(2014·南昌高二检测)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项 S8=32，则 S10 等于(　　) A.18 B.24 C.60 D.90 【解题指南】由等比中项的定义可得 =a3a7，根据等差数列的通项公式及前 n 项和公式，设出公差 d，列方程解出 a1 和 d 进而求出 S10. 【解析】选 C.等差数列{an}的公差为 d，因为 a4 是 a3 与 a7 的等比中项， 所以 =a3·a7， 即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d) 整理得 2a1+3d=0，　① 又 S8=8a1+ d=32. 整理得 2a1+7d=8，　② 由①②知 d=2，a1=-3. 所以 S10=10a1+ d=60. 4.若钝角三角形 ABC 三内角 A，B，C 的度数成等差数列且最大边与最小边的比 为 m，则 m 的取值范围是(　　) A.(2，+∞) B.(0，2) C.[1，2] D.[2，+∞) 【解析】选 A.设三角形的三边从小到大依次为 a，b，c， 因为三内角的度数成等差数列， 所以 2B=A+C. 则 A+B+C=3B=180°，可得 B=60°. 根据余弦定理得 cosB=cos60°= = . 得 b2=a2+c2-ac， 因三角形 ABC 为钝角三角形， 故 a2+b2-c2<0. 于是 2a2-ac<0，即 >2. 又 m= ，即 m∈(2，+∞). 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5.已知 sinα+sinβ+sinr=0，cosα+cosβ+cosr=0，则 cos(α-β)的值为 __________. 【解析】由 sinα+sinβ+sinr=0，cosα+cosβ+cosr=0， 得 sinα+sinβ=-sinr，cosα+cosβ=-cosr， 两式分别平方，相加得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1， 所以 cos(α-β)=- . 答案：- 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 距离为 的点形 成一条曲线，这条曲线的长度为________. 【解析】这条曲线在面 ADD1A1 上的一段是以 A 为圆心， 为半径， 为圆心角 的一段圆弧，在面 A1B1C1D1 上的一段是以 A1 为圆心， 为半径， 为圆心角的一 段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为 3 = π. 答案： π 三、解答题(每小题 12 分，共 24 分) 7.若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lg +lg +lg >lga+lgb+lgc. 【证明】因为 a，b，c∈(0，+∞)， 所以 ≥ >0， ≥ >0， ≥ >0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立. 所以 · · >abc 成立. 上式两边同时取常用对数， 得 lg >lg(abc)， 所以 lg +lg +lg >lga+lgb+lgc. 【变式训练】(2014·太原高二检测)设 a，b，c>0，证明： + + ≥a+b+c. 【解题指南】用综合法证明，可考虑运用基本不等式. 【证明】因为 a，b，c>0，根据基本不等式， 有 +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c. 三式相加： + + +a+b+c≥2(a+b+c). 当且仅当 a=b=c 时取等号. 即 + + ≥a+b+c. 8.设 g(x)= x3+ ax2+bx(a，b∈R)，其图象上任一点 P(x，y)处切线的斜率为 f(x)，且方程 f(x)=0 的两根为α，β. (1)若α=β+1，且β∈Z，求证 f(-a)= (a2-1). (2)若α，β∈(2，3)，求证存在整数 k，使得|f(k)|≤ . 【证明】(1)由题意得 f(x)=g′(x)=x2+ax+b， 所以 消去β得 a2-4b=1， 满足Δ>0，所以 b= (a2-1). 所以 f(-a)=(-a)2+a(-a)+b=b= (a2-1). (2)因为α，β∈(2，3)，f(x)=x2+ax+b=(x-α)(x-β)， 所以|f(2)|·|f(3)|=|(2-α)(2-β)|·|(3-α)(3-β)| =|(α-2)(3-α)|·|(β-2)(3-β)|≤ · = ， 故必有|f(2)|≤ 或|f(3)|≤ . 所以存在整数 k=2 或 k=3，使|f(k)|≤ . 关闭 Word 文档返回原板块
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