高中数学必修2教案:球的体积和表面积

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高中数学必修2教案:球的体积和表面积

‎ 球的体积和表面积 一. 教学目标 1. 知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分 割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。‎ ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。‎ ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。‎ 2. 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式V=πR3和面积公式S=4πR2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。‎ 3. 情感与价值观 ‎  通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。‎ 二. 教学重点、难点 重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。‎ 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。‎ 三. 学法和教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值    的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。‎ 2. 教学用具:投影仪 四. 教学设计 (一) 创设情景 ⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。‎ ⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。‎ (二) 探究新知 1.球的体积:‎ 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。‎ 步骤:‎ 第一步:分割 ‎ 如图:把半球的垂直于底面的半径OA作n等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆片”厚度近似为,底面是“小圆片”的底面。‎ 如图:‎ 得 第二步:求和 第三步:化为准确的和 ‎  当n→∞时, →0 (同学们讨论得出)‎ 所以 ‎ 得到定理:半径是R的球的体积 练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)‎ 2.球的表面积:‎ 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。‎ 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的?‎ ‎ 半径为R的球的表面积为 S=4πR2‎ ‎ 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50元)‎ (一) 典例分析 ‎ 课本P47 例4和P29例5‎ (二) 巩固深化、反馈矫正 ⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 。‎ ‎ (答案: ; 3 :1)‎ ⑵在球心同侧有相距‎9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积。 (答案:2500πcm2)‎ 分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性质求球的半径 (三) 课堂小结 ‎ 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。‎ (四) 评价设计 ‎ 作业 P30 练习1、3 ,B(1)‎
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