高中数学第二章推理与证明A章末测试新人教A版选修1-2

高中数学第二章推理与证明A章末测试新人教A版选修1-2

高中数学 第二章 推理与证明 A 章末测试 新人教 A 版选修 1-2 (基础过关卷) (时间：90 分钟 满分：100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．下面说法正确的有( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的； ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式； ④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．观察图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A．■ B．△ C．□ D．○ 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60°”时，应假设( ) A．三角形的三个内角都不大于 60° B．三角形的三个内角都大于 60° C．三角形的三个内角至多有一个大于 60° D．三角形的三个内角至少有两个大于 60° 4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四 个侧面( ) A．各正三角形内任一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 5．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内的所有直 线；已知直线 b  平面α，a 平面α，直线 b∥平面α，则直线 b∥直线 a”，这个结论显 然是错误的，这是因为( ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 6．设 f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*， 则 f2 015(x)等于( ) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 7．按照如图所示的三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式 是( ) CH4 C2H6 C3H8 A．C4H9 B．C4H10 C．C4H11 D．C6H12 8．设 a，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ( ) A．若 a，b 与α所成的角相等，则 a∥b B．若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a∥b C．若 a α，b β，a∥b，则α∥β D．若 a⊥α，b⊥β，α⊥β，则 a⊥b 9．若函数 f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式 f(1－x)≥－1 恒成立，则 实数 m 的取值范围为( ) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 10．已知 x＞0，不等式 x＋1 x ≥2，x＋4 x2≥3，x＋27 x3 ≥4，…，可推广为 x＋a xn≥n＋1， 则 a 的值为( ) A．n2 B．nn C．2n D．22n－2 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分) 11．观察数列 3，3， 15， 21，3 3，…，写出该数列的一个通项公式为__________． 12．如图所示，4 个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐 1,2,3,4 号座位，如 果第 1 次前后排动物互换座位，第 2 次左右列动物互换座位，第 3 次前后排动物互换座位，…， 这样交替进行下去，那么第 2 014 次互换座位后，小兔坐在________号座位上． 13．已知函数 f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且 a＋b＞0，b＋c＞0，c＋a＞0，则 f(a)＋ f(b)＋f(c)的值一定比零__________(填“大”或“小”)． 14．观察： 7＋ 15＜2 11； 5.5＋ 16.5＜2 11； 3－ 3＋ 19＋ 3＜2 11；…. 对于任意正实数 a，b，试写出使 a＋ b≤2 11成立的一个条件可以是________． 15．观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 … 则第__________行的各数之和等于 2 0152. 三、解答题(本大题共 4 小题，共 25 分) 16．(6 分)已知数列{an}的通项公式 an＝ 1 n＋1 2(n∈N*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1 －an)，试通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出 f(n)的值． 17．(6 分)已知实数 x，且有 a＝x2＋1 2 ，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证 a，b，c 中至少 有一个不小于 1. 18．(6 分)通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； … (n＋1)2－n2＝2n＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即 1＋2＋3＋… ＋n＝n n＋1 2 . 类比上述方法，请你求出 12＋22＋32＋…＋n2 的值． 19．(7 分)求证： 1·2＋ 2·3＋…＋ n· n＋1 ＜ n＋1 2 2 . 参考答案 一、1．解析：演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确，故 ②错误，其他说法都正确．故选 C. 答案：C 2．A 3．解析：“至少有一个不大于”的否定为“都大于”． 答案：B 4．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以 边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心． 答案：C 5．解析：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的，即大 前提是错误的．故选 A. 答案：A 6．解析：由题意可知，函数 fn(x)的表达式呈周期性变化，周期为 4，而 2 015＝4×503 ＋3， 则 f2 015(x)＝f3(x)＝－cos x，故选 D. 答案：D 7．解析：由规律不难看出每增加 1 个 C 原子，相应地增加 2 个 H 原子，因此后一种化 合物的分子式为 C4H10. 答案：B 8．解析：对于选项 A，直线 a，b 有可能相交；对于选项 B，直线 a，b 有可能相交或异 面；对于选项 C，平面α，β有可能相交；对于选项 D，若 a⊥α，b⊥β，当 a β时，有 b⊥a，当 a β时，∵α⊥β，∴a∥β，∴b⊥a，故选 D. 答案：D 9．解析：∵f(x)＝x2－2x＋m 有两个零点， ∴4－4m＞0，∴m＜1. 由 f(1－x)≥－1 得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1， 即 x2＋m≥0，∴m≥－x2. ∵－x2 的最大值为 0，∴0≤m＜1. 答案：B 10．解析：由 x＋1 x ≥2，x＋4 x2＝x＋22 x2≥3， x＋27 x3 ＝x＋33 x3≥4，…， 可推广为 x＋nn xn≥n＋1，故 a＝nn. 答案：B 二、11．解析：将各项统一写成根式形式为 3， 9， 15， 21， 27，…，即 3×1， 3×3， 3×5， 3×7， 3×9，…，被开方数是正奇数的 3 倍， 故 an＝ 3 2n－1 ，n∈N*. 答案：an＝ 3 2n－1 ，n∈N* 12．解析：由题意得第 4 次互换座位后，4 个小动物又回到了原座位，即每经过 4 次互 换座位后，小动物回到原座位，而 2 014＝4×503＋2，所以第 2 014 次互换座位后的结果 与第 2 次互换座位后的结果相同，故小兔坐在 2 号座位上． 答案：2 13．解析：f(x)是 R 上的奇函数，且是增函数，由 a＋b＞0，得 a＞－b，∴f(a)＞f(－ b)＝－f(b)．∴f(a)＋f(b)＞0， 同理，得 f(b)＋f(c)＞0，f(c)＋f(a)＞0. 三式相加，整理得 f(a)＋f(b)＋f(c)＞0. 答案：大 14．解析：通过观察可看出题干中每个不等式左边根号内的数的和均为 22，故可猜想 出 a＋b＝22. 答案：a＋b＝22 15．解析：经观察知，图中的第 n 行的各数构成一个首项为 n，公差为 1，共(2n－1) 项的等差数列，其各项和为 Sn＝(2n－1)n＋ 2n－1 2n－2 2 ＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2. 令(2n－1)2＝2 0152，得 2n－1＝2 015，故 n＝1 008. 答案：1 008 三、16．解：因为 an＝ 1 n＋1 2， f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)， 所以 f(1)＝1－a1＝1－1 4 ＝3 4 ， f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)· 1－1 9 ＝3 4 ×8 9 ＝2 3 ＝4 6 ， f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)· 1－ 1 16 ＝2 3 ×15 16 ＝5 8 ， 由此猜想：f(n)＝ n＋2 2 n＋1 . 17．证明：假设 a，b，c 都小于 1，即 a＜1，b＜1，c＜1，则 a＋b＋c＜3. ∵a＋b＋c＝ x2＋1 2 ＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋7 2 ＝2 x－1 2 2＋3，且 x 为实数， ∴2 x－1 2 2＋3≥3，即 a＋b＋c≥3，这与 a＋b＋c＜3 矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a，b，c 中至少有一个不小于 1. 18．解：23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1,43－33＝3×32＋3×3＋1，…， (n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n) ＋n， 所以 12＋22＋32＋…＋n2 ＝1 3 n＋1 3－1－n－3×n n＋1 2 ＝n n＋1 2n＋1 6 . 19．证法一：构造 f(x)＝(1＋2＋…＋n)x2＋2[ 1·2＋ 2·3＋…＋ n n＋1 ]x＋(2 ＋…＋n＋1)＝(x＋ 2)2＋( 2x＋ 3)2＋…＋( nx＋ n＋1)2＞0， ∵1＋2＋…＋n＞0， ∴Δ＝4[ 1·2＋ 2·3＋…＋ n· n＋1 ]2－4(1＋2＋…＋n)(2＋3＋…＋n＋1)＜ 0， 即 1·2＋ 2·3＋…＋ n· n＋1 ＜n n＋1 2 ＜ n＋1 2 2 . 证法二：用放缩法证明如下： ∵ n· n＋1 ＜ n＋1· n＋1 ＝n＋1， ∴ 1·2＋ 2·3＋…＋ n· n＋1 ＜2＋3＋4＋…＋n＋1＝n n＋1 2 ＜ n＋1 2 2 .