2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式优化练习
1 绝对值三角不等式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设ab＞0，下面四个不等式：①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|中，正确的是( )
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．②和④
解析：∵ab＞0，①|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a|，正确；
②|a＋b|＝|a|＋|b|＞|b|，所以②错；
③|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|，所以③错；
④|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|≥|a|－|b|，正确．
所以①④正确，应选C.
答案：C
2．已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|
1 B．m≥1
C．m>2 D．m≥2
解析：∵|x－5|＋|x－3|≥|x－5＋3－x|＝2，
∴|x－5|＋|x－3|的最小值为2.
∴要使|x－5|＋|x－3|2.
答案：C
3．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mb>c>0)；
③>(a，b，m>0，ab>0⇒>即>，
又由于c>0，
故有>；
③成立，因为－＝>0(a，b，m>0，a；
④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|2a|≥2a，故选B.
答案：B
6．已知|a＋b|<－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：
①a<－b－c；②a>－b＋c；③a－b＋c，①②成立，
|a|－|b|<|a＋b|<－c，
∴|a|<|b|－c，④成立．
答案：①②④
7．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________．
解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立．
答案：2
5
8．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|
≥|4－x＋x＋5|＝9.
∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．
答案：(－∞，9)
9．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．
10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．
解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，
即|x－1|＋|x－5|＞a，
设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，
由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，
可知g(x)min＝4，
∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.
(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4.
∵|x－1|＋|x－5|－a>0，
∴a2 B．|a＋b|＋|a－b|<2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小
解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.
当(a＋b)(a－b)<0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.
答案：B
2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5
解析：∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
答案：C
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|
≤|x－1|＋|2 (y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，
即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
4．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数：
①f(x)＝0；②f(x)＝x2；③f(x)＝(sin x＋cos x)；④f(x)＝；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|.其中是F函数的序号是________．
解析：由|f(x)|≤m|x|，当x≠0时，知m≥，对于①，有＝0，x≠0，故取m>0即可；对于②，由|x2|＝|x|2，∴＝|x|，无最大值；对于③，由f(x)＝2sin(x＋)，而＝无最大值；对于④，由＝≤，x≠0，只要取m＝即可；
对于⑤，令x2＝0，x1＝x，由f(0)＝0，知|f(x)|≤2|x|.
答案：①④⑤
5．对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m，求m的值．
解析：不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，
即左边恒小于或等于右边的最小值．
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，
即|a|≥|b|时，等号成立，
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也就是的最小值是2.
所以m＝2.
6．已知|x1－2|<1，|x2－2|<1.
(1)求证：20，
∴|x1－x2|<|x1－x2|·|x1＋x2－1|<5|x1－x2|，
即|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.
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