高中数学选修2-3教学课件:2_3离散型随机变量的方差复习

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高中数学选修2-3教学课件:2_3离散型随机变量的方差复习

离散型随机变量的方差 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为   则称 E(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n 为 X 的 均值 或 数学期望 ,记为 E(X) 或 μ . X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p n 其中 p i ≥0 , i = 1,2, … ,n ; p 1 + p 2 + … + p n = 1 1 、离散型随机变量的均值的定义 一、复习 若 X~H(n,M,N) 则 E(X) = 若 X~B(n,p) 则 E(X) = np 2 、两个分布的数学期望 练习: 1 、已知随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 求 E( ) 2 、抛掷一枚硬币,规定正面向上得 1 分,反面向 上得- 1 分,求得分 X 的数学期望。 2.3 0 3 、随机抛掷一个骰子,求所得骰子点数 X 的数学期望 E(X) 。 3.5 4 、已知 100 件产品中有 10 件次品,求任取 5 件产品中次品的数学期望。 0.5 5 、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射击,他射中目标的概率是 0.7, 若枪内只有 5 颗子弹 , 求射击次数的期望。 ( 保留三个有效数字 ) 0.3 4 0.3 3 ×0.7 0.3 2 ×0.7 0.3× 0.7 0.7 p 5 4 3 2 1 E( ξ ) = 1.43 甲、乙两个工人生产同一产品,在相同的条件下,他们生产 100 件产品所出的不合格品数分别用 X 1 , X 2 表示, X 1 , X 2 的概率分布下 : X 1 0 1 2 3 p k 0.7 0.1 0.1 0.1 X 2 0 1 2 3 p k 0.5 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两个工人的技术? X 1 0 1 2 3 p k 0.6 0.2 0.1 0.1 E(X 1 ) = 0×0.6 + 1×0.2 + 2×0.1 + 3×0.1 = 0.7 E(X 2 ) = 0×0.5 + 1×0.3 + 2×0.2 + 3×0 = 0.7 二、离散型随机变量的方差与标准差   对于离散型随机变量 X 的概率分布如下表, ( 其中 p i ≥0 , i = 1,2,…, n ; p 1 + p 2 + … + p n = 1) X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p n 设 μ = E(X) ,则 ( x i - μ) 2 描述了 x i ( i =1,2,..., n ) 相对于均值 μ 的偏离程度,故    ( x 1 - μ) 2 p 1 + ( x 2 - μ) 2 p 2 + ... + ( x n - μ) 2 p n 称为离散型随机变量 X 的 方差 ,记为 V(X) 或 σ 2 离散型随机变量 X 的 标准差 : σ = 甲、乙两个工人生产同一产品,在相同的条件下,他们生产 100 件产品所出的不合格品数分别用 X 1 , X 2 表示, X 1 , X 2 的概率分布下 : X 2 0 1 2 3 p k 0.5 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两个工人的技术? X 1 0 1 2 3 p k 0.6 0.2 0.1 0.1 V(X 1 ) = 0.6×(0-0.7) 2 + 0.2×(1-0.7) 2 + 0.1×(2-0.7) 2 + 0.1×(3-0.7) 2 = 1.01 V(X 2 ) = 0.5×(0-0.7) 2 + 0.3×(1-0.7) 2 + 0.2×(2-0.7) 2 + 0×(3-0.7) 2 = 0.61 乙的技术稳定性较好 例 . 设随机变量 X 的分布列为 X 1 2 … n P n 1 n 1 … n 1 求 V (X)     E( X ) =  (1+2+...+ n ) = V( X ) =            故  V( X ) =  V(X) 考察 0 - 1 分布 X 0 1 P 1 - p p E(X) = 0 ×(1 - p) + 1×p = p 方差 V(X) = (0 - p) 2 (1 - p) + (1 - p) 2 ×p = p(1 - p) 标准差 σ = 若 X~H(n,M,N) 则 V(X) = 若 X~B(n,p) 则 V(X) = np(1 - p) 练习  P70   1   2        P71   5   8 设事件 A 发生的概率为 p ,证明事件 A 在一次试验中发生次数 ξ 的方差不超过 1/4
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