2020高中数学第四章函数应用4

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2020高中数学第四章函数应用4

‎4.2 实际问题的函数建模 基础巩固 ‎1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4 ,专家预测经过x年可能增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图像大致为(  ).‎ ‎2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是(  ).‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ y ‎15‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎27‎ A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 ‎3.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数,现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)=20+2x+(万元),若售出一件商品收入是20万元,那么该企业为获取最大利润,应生产这种商品的数量为(  ).‎ A.18件 B.36件 C.22件 D.9件 ‎4.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为(  ).‎ A.200副 B.400副 C.600副 D.800副 ‎5.在国内投寄信,每封信不超过‎20克重付邮资80分,每封信超过‎20克重而不超过‎40克重付邮资160分,将每封信的应付邮资(分)表示成为信重x(0<x≤40)克的函数,其表达式为f(x)=________.‎ ‎6.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系 (a为常数),广告效应为.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入广告费应为________.‎ ‎7.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t (小时)成正比.药物释放完毕后,y与t的函数关系式为(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:‎ 5‎ ‎(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________;‎ ‎(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时,学生才能回到教室.‎ 能力提升 ‎8.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=其中x是仪器的月产量.‎ ‎(1)将利润y(元)表示为月产量x(台)的函数;‎ ‎(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润是多少?(总收益=总成本+利润)‎ ‎9.某城市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.‎ ‎(1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x).‎ ‎(2)问:小张选择哪家俱乐部比较合算?为什么?‎ 5‎ 参考答案 ‎1.D 点拨:设原来的荒漠化土地面积为a,则ay=a(1+10.4 )x,即y=1.104x(x≥0).‎ ‎2.A 点拨:作散点图可知,由题中数据确定的点近似分布在一条直线上,故选A.‎ ‎3.A 点拨:y=20x-c(x)=20x-20-2x-x2=-x2+18x-20.‎ ‎∴x=18时,y有最大值.‎ ‎4.D 点拨:要使该厂不亏本,需日出厂总价不小于日生产总成本.设日产手套x副,则10x-y≥0,即10x-(5x+4 000)≥0,解得x≥800,所以,日产手套至少为800副.‎ ‎5.‎ 点拨:根据题意知当每封信重x(克)时满足:‎ ‎(1)0<x≤20时,应付邮资f(x)=80(分);‎ ‎(2)20<x≤40时,应付邮资f(x)=160(分).‎ ‎∴所求函数应分段定义,‎ 即f(x)=‎ ‎6. 点拨:令(t>0),则A=t2.‎ ‎∴D=at-t2=.‎ ‎∴当,即时,D取最大值.‎ 5‎ ‎7.(1)‎ ‎(2)0.6‎ 点拨:(1)因为药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,则设函数为y= t( >0),将点(0.1,1)代入y= x,可得 =10,所以y=10t;又因为药物释放完毕后,y与t的函数关系式为,将点(0.1,1)代入,得a=0.1,故所求的函数关系式为)‎ ‎(2)由,得t=0.6,‎ 即至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.‎ ‎8.解:(1)由题设,总成本为20 000+100x,‎ 则 ‎(2)当0≤x≤400时,y=(x-300)2+25 000,‎ 当x=300时,ymax=25 000;‎ 当x>400时,y=60 000-100x是减函数,‎ 则y<60 000-100×400=20 000<25 000.‎ 所以,当x=300时,有最大利润25 000元.‎ ‎9.解:(1)由题意得f(x)=5x(15≤x≤40),‎ 若在乙俱乐部租一张球台开展活动,‎ 当15≤x≤30时,g(x)=90;‎ 当30<x≤40时,g(x)=90+2(x-30)=2x+30,‎ ‎∴g(x)=‎ ‎(2)由f(x)=g(x),得或 5‎ 即x=18或x=10(舍去).‎ 当15≤x<18时,f(x)-g(x)=5x-90<0,‎ ‎∴f(x)<g(x),则此时选甲俱乐部;‎ 当x=18时,f(x)=g(x),则此时可以选甲俱乐部也可以选乙俱乐部;‎ 当18<x≤30时,f(x)-g(x)=5x-90>0,‎ ‎∴f(x)>g(x),则此时选乙俱乐部;‎ 当30<x≤40时,f(x)-g(x)=5x-(2x+30)=3x-30>0,‎ ‎∴f(x)>g(x),则此时选乙俱乐部.‎ 综上所述:当15≤x<18时,选甲俱乐部;‎ 当x=18时,可以选甲俱乐部也可以选乙俱乐部;‎ 当18<x≤40时,选乙俱乐部.‎ 5‎
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