高考数学专题复习：课时达标检测（二十六） 平面向量的概念及线性运算

高考数学专题复习：课时达标检测（二十六） 平面向量的概念及线性运算

课时达标检测（二十六） 平面向量的概念及线性运算 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．(2017·杭州模拟)在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a－b B.a＋b C．a－b D．a＋b 解析：选A　＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A.‎ ‎2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)‎ A. － B．－＋ C．2－ D．－＋2‎ 解析：选C　因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.‎ ‎3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－‎4a－b，＝－‎5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：选C　由已知得，＝＋＋＝a＋2b－‎4a－b－‎5a－3b＝－‎8a－2b＝2(－‎4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．‎ ‎4．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)‎ A．a B．b ‎ C．c D．0‎ 解析：选D　依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.‎ ‎5．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.‎ 解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC 的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，故m＝3.‎ 答案：3‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：选A　∵D是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)，∴＋＝2.∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝3，∴＝＝，故选A.‎ ‎2．在△ABC中，＝3，若＝λ1＋λ2，则λ1λ2的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　由题意得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝.‎ ‎3．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2， ＝2，＝2，则＋＋与 (　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选A　由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．‎ ‎4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 解析：选A　由＋＋＝0，得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，可得||＝||＝||.设OC与AB交于点D，如图，由＋＝可知D为AB的中点，所以＝2，D为OC的中点．又由||＝||可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°.‎ ‎5．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 解析：选B　由已知得M，G，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵点G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝.‎ ‎6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3 ①，即＝＋，即＋＝1，故C，M，D三点共线，又＝＋ ②，①②联立，得5＝3，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.‎ 二、填空题 ‎7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.‎ 其中正确命题的个数为________．‎ 解析：由＝a，＝b可得＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋ b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，＋＋＝－a－b＋a＋b－a＋b＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3.‎ 答案：3‎ ‎8．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.‎ 解析：∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，∴|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sin＝2.‎ 答案：2 ‎9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．‎ 解析：因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC为直角三角形．‎ 答案：直角三角形 ‎10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵点E 在线段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.‎ 答案： 三、解答题 ‎11.如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝， ＝，用a，b表示， ，.‎ 解：∵＝－＝a－b，＝＝a－b，‎ ‎∴＝＋＝b＋＝a＋b.‎ 又∵＝a＋b，‎ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝＝a＋b，‎ ‎∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.‎ 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.‎ ‎12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.‎ ‎(1)用a，b表示向量，，，，；‎ ‎(2)求证：B，E，F三点共线．‎ 解：(1)延长AD到G，‎ 使＝，‎ 连接BG，CG，得到▱ABGC，如图，‎ 所以＝＋＝a＋b，‎ ‎＝＝(a＋b)，‎ ‎＝＝(a＋b)，‎ ‎＝＝b，‎ ‎＝－＝(a＋b)－a＝(b－‎2a)，‎ ‎＝－＝b－a＝(b－‎2a)．‎ ‎(2)证明：由(1)可知＝，‎ 又因为，有公共点B，‎ 所以B，E，F三点共线．‎