高考数学专题复习（精选精讲）练习5-解析几何习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习5-解析几何习题精选精讲

圆锥曲线——概念的应用 一、第一定义的应用：‎ 例1：（1）设定点，动点P满足则动点P的轨迹是什么？‎ ‎ （2）若一个动点P（x,y）到两定点A（-1，0），B（1，0）的距离之差的绝对值为定值，求点P的轨迹。‎ 例2：（1）方程表示什么曲线？‎ ‎ （2）方程表示什么曲线？‎ ‎ （3）方程表示什么曲线？‎ 例3：（1）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，直线l过点F2交椭圆C于A、B两点，求ABF1的周长。‎ ‎ （2）已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，求ABF1的周长。‎ ‎ （3）抛物线y2=4x截直线y=2x+b得弦AB，若|AB|=，F是抛物线的焦点，求ABF的周长。‎ 例4：（1）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程。‎ ‎ （2）求与圆C：内切，且过点A（2，0）的动圆圆心M的轨迹方程。‎ ‎ （3）已知直线l：y=-1及圆C：，动圆M与l相切且与圆C外切，求动圆圆心M的轨迹方程。‎ ‎（4）在中，BC=2，且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。‎ 二、第二定义的应用：‎ 例5：（1）椭圆上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，求P到右焦点的距离。‎ ‎ （2）若双曲线上一点P到右焦点的距离为8，求点P到左准线的距离。‎ ‎ （3）斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长。‎ 例6：（1）已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左右焦点，点A（1，1）为椭圆内一点，点P为椭圆上一点：求|PA|+|PF1|的最大值和最小值； 求|PA|+|PF2|的最小值。‎ ‎ （2）已知双曲线，F为其右焦点，A（4，1）为平面内一点，点P在双曲线上，求|PA|+|PF|的最小值。‎ ‎ （3）已知点M（-2，4）及焦点为F的抛物线y=x2,在此抛物线上求一点P使|PM|+|PF|的值最小，并求出最小值。‎ ‎ （4）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A（，4），求|PA|+|PM|的最小值。‎ 例7：（1）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的左支上，且|PF1| |PF2|=32，求的大小。‎ ‎ （2）已知双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且，求双曲线方程。‎ ‎ （3）在双曲线x2-y2=4上取一点，使该点与焦点的连线互相垂直，求该点坐标。‎ 例8：（1）设P（x0,y0）是离心率为e，方程为（）的椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，求证：|PF1|=a+ex0；|PF2|=a-ex0‎ ‎ （2）若双曲线（）的左右焦点是F1、F2，P（x0，y0）是双曲线上任意一点，求证：|PF1|=|a+ex0|；|PF2|=|a-ex0|‎ ‎ （3）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是F，点P（x0，y0）是抛物线上任意一点，求证：|PF|=x0+‎ 例9：（1）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点，证明：若 ‎ |PF1| |PF2|的最大值是 ‎ （2）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线上任意一点，求证：若 ‎ |PF1| |PF2|的最小值是 例10：求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。‎ 例11：过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若|PF|=m，|QF|=n，则 。‎ 例12：设抛物线方程为y2=2px(p>0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：‎ 焦点弦长|AB|=‎ 圆锥曲线定义的深层及综合运用 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。‎ 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。‎ 图1‎ 解析：易知故 在中，‎ 则点M的轨迹方程为。‎ 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。‎ 图2‎ 解析：不妨设P点在双曲线的右支上，‎ 延长F1M交PF2的延长线于N，‎ 则，‎ 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。‎ 图3‎ 解析：易知抛物线的准线l：，‎ 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”‎ 则 即M到直线的最短距离为2‎ 故M到直线y＝－1的最短距离为。‎ 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。‎ 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）‎ 图4‎ ‎②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，‎ 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|‎ 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝‎ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。‎ ‎②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。‎ 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。‎ 图5‎ 解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，‎ 即 故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点 实轴长为2的双曲线的一支，‎ 其方程为；‎ ‎②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上 总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14‎ 故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点 长轴长为28的椭圆，其方程为。‎ ‎［练习］‎ ‎1. 已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以为焦点，为其顶点，若P为两曲线的公共点，且，则e＝__________。‎ 答案：‎ ‎2. 已知⊙O：，一动抛物线过A（－1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。‎ 答案：‎ 圆锥曲线中的方法与运算 1. ‎(与名师对话第51练) 已知抛物线,点, 问是否存在过点的直线,‎ 使抛物线上存在不同的两点关于直线对称,如果存在, 求出直线的斜率的取值范围; 如果不存在,请说明理由.‎ 分析: 这是一个求变量(斜率)的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率)相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.‎ ‎ 我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量的取值范围.‎ ‎ 解: 设直线的方程为,若,则结论显然成立,即可取.若,‎ 则直线PQ的方程为, 由方程组 可得,.‎ ‎ ∵ 直线PQ与抛物线有两个不同的交点,‎ ‎ ∴ 即 .‎ ‎ 设线段PQ的中点为G(), 则,‎ ‎∴ ,‎ ‎∵ 点G()在直线上, ∴ =, 由 可得, ,‎ ‎∴ , () , ∴ 或.‎ 综上所述, 直线的斜率的取值范围为.‎ 2. ‎(与名师对话第51练)已知椭圆, 点A是椭圆与轴的交点, F为椭圆的右焦点, 直线与 椭圆交于B,C两点.‎ （1） 若点M满足,求直线的方程;‎ （2） 若,在上,且,求动点的轨迹 方程.‎ 分析: 题(1)是个定状态的问题: 由可知,点M是定点,且由 是线段BC的中点, 由此可求得直线BC即直线的方程.‎ 解(1) 由椭圆可知A(0,4), F(2,0).‎ ‎∵ , ∴ (2,0)-(0,4)=2[()-(2,0)], ∴ 即 M(3,-2). ‎ ‎∵ , ∴ 点M是线段BC的中点,‎ ‎∴ 直线BC即直线的斜率为. (可以有四中方法:①,②点差法,③设法,④设而不求法求得).‎ ‎∴ 直线的方程为,即.‎ 分析: 题(2)是一个动状态的问题:①点D随AB的变化而变化,从而点D的坐标是刻画直线AB的变化的量的参数(斜率)的函数, ②可设BC的方程为(k存在), 从而点M是直线AM(直线AD用参数k刻画)与直线BC的交点,在由是直角得参数k与b的关于式,消参数k与b即得点D的方程.‎ 解法(一) 设直线AB的斜率为,则直线AC的斜率为.‎ 直线AB的斜率为方程为,由方程组可得, ‎ ‎∴ , ， 同理得, .‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 直线BC的方程为, +，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎∵ 直线AD的方程为, ,‎ ‎∴由与移项相乘消去可得, 即 .‎ 说明: 本解法用的是参数法中的特殊方法--------交轨法.‎ 解法(二): 设直线的方程为, 则直线AD的方程为.‎ ‎(显然由方程和方程消去和即可得点D的轨迹方程, 这里 我们必须给出和的关系式,将这一几何条件转化为代数形式即可得和的关系式)‎ 由方程组可得,,‎ 设, 则.‎ ‎∵ , ∴ , ‎ ‎ ∴ , ,‎ ‎ ,‎ ‎ +化简得,.‎ 解得,(舍去)或.‎ ‎ ∴ 方程即为, 由方程和方程消去得, , 即 .‎ 1. ‎(与名师对话第51练)已知直线过点(1,0),且与抛物线交于两点,‎ 为原点,点 在轴的右侧且满足:.‎ ‎（1）求点的轨迹C的方程;‎ ‎（2） 若曲线的切线的斜率为,满足:,点到轴的 距离为,求的取值范围.‎ 分析：由可知，点的轨迹C就是弦AB的中点的轨迹.‎ 解(1) 显然直线的斜率存在,设为,则直线的方程为: ,由方程组消去整理得,设,‎ ‎, ‎ ‎∴ , , 消去得点的轨迹C的轨迹方程为: .‎ ‎∵ , ∴ 或,‎ ‎∵ 点在轴的右侧, ∴ ,故点的轨迹C为抛物线上的一段弧.‎ 分析: 点到轴的距离为就是点的横坐标的绝对值.因为曲线的切线的斜率为,所以=,由知,,由此可知,我们必须建立点的横坐标的绝对值关于的关系.‎ 解(2): 设, ‎ 则由可知,=[],‎ ‎∴, , ‎ ‎∴ , , ∴ ‎ ‎∵ , ‎ ‎∴ , ‎ 方法(一) , (),‎ ‎∴ , ‎ ‎∴ .‎ 方法(二) , (),‎ ‎∴ , , ∴ 且 ‎∴ .‎ 1. ‎(与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为 ,过点且倾斜角 为(0<<)的直线交抛物线于两点,且.‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）若点分所成的比为,求关于的函数关系式.‎ 分析: 要求的值,必须给出关于的方程.‎ 解(1): 设过点且倾斜角为(0<<)的直线的方程为.‎ 由方程组消去整理得, 则,‎ ‎∵ , ∴ , .‎ ‎ 分析: 由可知过点且倾斜角为(0<<)的直线为.先建立关于的函数关系式,再转换为关于的函数关系式.‎ ‎ 解(2): ∵ 关于的函数关系式, ‎ ‎∴ , , ‎ 由(1)可知,‎ 由方程组可消去得,.‎ ‎∵ 0<< , ∴ ,‎ 故==.‎ 1. ‎(与名师对话第51练) 已知方向向量为的直线过点(0,-2)和椭圆C: 的焦点, 且椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上.‎ ‎（1）求椭圆C的方程;‎ ‎（2）是否存在过点E(-2,0)的直线交椭圆C于,满足: ‎ ‎ 为原点? 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎6．(与名师对话第52练20) 椭圆C的方程为，F是它的左焦点，M是椭圆C上的一个动点，O为坐标原点.‎ ‎(1) 求的重心的轨迹方程;‎ ‎(2) 若的重心对原点和点P(-2,0)的张角最大, 求点的坐标.‎ 解(1): 设点 (y0) , M(x1,y1)由题设可知,F() ‎ 则, ∴ , ‎ ‎∴ 的重心的轨迹方程为 ().‎ ‎(2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆的两个焦点.下面证明当点M与椭圆 的短轴的端点重合时张角最大.‎ 方法(一) 用椭圆的定义 设椭圆C上的一个动点到椭圆的两个焦点的距离为、，则由椭圆的定义可知+=2.‎ 在中, ==‎ ‎== (当且仅当时,等于号成立) ‎ ‎=0‎ ‎ ∴ 当,即点M与短轴的端点重合时张角最大, 最大角为,这时点M的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.‎ 方法(二) 用椭圆的焦半径公式 将椭圆平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为,原张角就是在点P处的两条焦半径的夹角.设点P的坐标为(),则=‎ 当时,, 当时, , ‎ 故, 的最大值为,这时相应点P的坐标为(0,1),在椭圆的原位置相应点P的坐标为(-1,1).‎ 7. ‎(与名师对话第52练21) 已知动点与双曲线的两个焦点的距 离之和为定值,且的最小值为.‎ ‎(1) 求动点的轨迹方程;‎ ‎ (2) 若已知点(0,3),点在动点的轨迹上,且,求实 数的取值范围;‎ ‎ (3) 若已知点(1,1), 点在动点的轨迹上,且,求直线 的方程.‎ ‎ 分析: 由题设可知, 动点的轨迹是以双曲线的两个焦点为其焦点 的椭圆,因此动点的轨迹方程可以用待定系数法求得.‎ 解(1): 由题设可知, 动点的轨迹是以双曲线的两个焦点为其焦点 的椭圆,设其方程为 ().‎ 可以证明(仿例6)当动点在椭圆的短轴的端点时的值最小,这时, ∴ , . ∴ ,‎ ‎∴ 动点的轨迹方程为.‎ ‎ 分析: 由可知, 点共线, 直线MN的变化可以用其斜率表示(直线的方程为这时要k作讨论),也可以用表示(直线的方程为,这时不需要对作讨论).下面用直线方程求解.‎ 解法(一): 由可知, 点共线.‎ 若直线MN的斜率不存在,则.‎ 若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为则由方程组可得,‎ ‎,‎ 设,则.‎ 又由可得, , ‎ ‎∴ , ∴ ‎ ‎∴ .‎ ‎∵ , ∴ .‎ ‎∴ , ∴ ,‎ 综上所述, .‎ 分析：用点的坐标表示直线MN的变化.‎ 解法(二): 由可知, 点共线.‎ 设,则,.‎ ‎∵ , ∴ , , ‎ ‎∴ , .‎ ‎∴ , ,‎ ‎∴ 或, 解得.‎ 7. 抛物线C的方程为,过抛物线C上一点 ()作斜率 为的两条直线分别交抛物线C于两点(三点各不相同),且满足.‎ ‎(1) 求抛物线C的焦点坐标和准线方程;‎ (2) 设直线上一点满足:,证明线段的中点在轴上;‎ ‎(3)当时,若点的坐标为(1,-1),求为钝角时点A的纵坐标的取值范围.‎ 分析: 将看作常量.‎ 解(1): 抛物线C的方程为, 故抛物线C的焦点坐标为(),准线方程为.‎ 分析: 从形式上看, 线段的中点坐标与相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.‎ 解(2): 由题设可知,直线的方程为:,由方程组可得,,即, ‎ ‎∴ , 同理 ,‎ ‎ ∵ , ∴ , =‎ ‎ ∵ , ∴ -, ‎ ‎∴ 线段的中点横坐标为0, 即线段的中点在轴上.‎ 分析: ‎ 解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C的方程为, ,又,故, ‎ ‎∴ , ‎ ‎∴ ,,‎ ‎∵ 为钝角, 三点各不相同, ∴ 即有,, ‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ , ,‎ ‎∴ .‎ ‎9.已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,一条经过点且方向向量为的直线交椭圆C于A,B两点,交X轴于点,又.‎ ‎(1) 求直线的方程;‎ ‎(2) 求椭圆C的长轴长的取值范围.‎ 解(1): 直线的方程为.‎ 分析: “直线与椭圆C有两个不同的交点”可以转化为一个关于的不等式,‎ 向量等式 可以转化为一个关于的等式.‎ 解(2): ‎ 由方程组可得.‎ 设设, 则.‎ 由可知, , ‎ ‎∴ ,, ∴ ,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ , ∴ ,‎ ‎∴ ∴ .‎ ‎∵ ∴ , ∴ ,‎ ‎∴ , , ‎ ‎ ∴ ,即椭圆C的长轴长的取值范围为.‎ ‎10.自点向抛物线C:作切线AB,切点为,且点在第一象限,再过线 段AB的中点作直线与抛物线C交于不同的两点E,F,直线AE,AF分别交抛物线C于P,Q两点.‎ ‎(1) 求切线AB的方程及切点B的坐标; ‎ ‎(2) 证明. ‎ ‎ 解(1): 设切点B的坐标为,过点B的切线的方程为,‎ ‎ ∵ 切线过点, ∴ , ,‎ ‎ ∵ 点B在抛物线上, ∴ ,‎ ‎ ∴ 切线AB的方程为, 切点B的坐标为(1,1).‎ ‎ 分析: 即证明∥.‎ ‎(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB的中点的坐标为,设直线的方程为, .‎ 由方程组 可得, 故.‎ ‎.‎ ‎∵ A,E,P三点共线, ∴ =, , 同理,‎ ‎∴ =‎ 由可知, . ‎ ‎11. 设双曲线的右顶点为A, P为双曲线上异于点A的一个动点, 从A引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP分别交于Q和R两点.‎ ‎(1) 证明:无论P点在什么位置,总有(O为坐标原点);‎ ‎(2) 若以OP为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.‎ ‎(1) 证明: 设直线OP的方程为, 直线AR的方程为, AQ的方程为.‎ 由方程组 得 , ∴ =,‎ 同理=,‎ ‎∴ ==.‎ 设,‎ 由方程组得,‎ ‎∴ =.‎ ‎∵ 直线OP过原点, ∴ , ∴ .‎ ‎(2) 解: 由题设知, =, ‎ 又, ∴ , (恒成立))‎ 解得, ∴ .‎ 圆锥曲线的一个统一性质 ‎———由一道高考题引发出的思考 题（2001年全国·理）：‎ 设抛物线y2=2px（p>0）的一个焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过原点O。‎ 参考答案给出了如下的几何证法：‎ 证明：如图，D l N E X C O F Y B A 记x轴与抛物线准线l的交点为E，‎ 过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ‎ 连结AC，与EF相交手点N，则 ‎ ‎ 根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| ‎ ‎ 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，‎ 所以直线AC经过原点O． ‎ ‎ 近几年，笔者在高三复习备考教学中，对该题的条件与结论进行一番探究，编拟如下一组命题，从而得到圆锥曲线的一个统一性质。‎ 命题1 设椭圆的右焦点为F，经过点F的直线交椭圆于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过定点。‎ X EAAA C O N F Y D B A 证明：如图，记x轴与椭圆的右准线l 的交点为E,过A作AD⊥l，D是垂足．则 ‎ AD∥FE∥BC．连结AC，与EF相交于 点N，则 ‎ ‎ 根据椭圆的第二定义， ‎ ‎ ‎ 即点N是EF的中点，‎ ‎∴直线AC经过EF的中点N。‎ 命题2 设双曲线的右焦点为F，经过点F的直线交双曲线右支于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过定点。‎ X EAAA C O N F D B A l Y 证明：如图，记x轴与双曲线 的右准线l 的交点为E，直 线AC与EF交于点N，过A作 AD⊥l，D是垂足．‎ ‎∵ AD∥FE∥BC ‎∴ ‎ 根据双曲线的第二定义 ‎ ‎ 即 |AF|·|BC=||BF|·|AD| ‎ ‎∴ 点N是EF的中点，‎ 故 直线AC过定点（EF的中点N）。‎ 命题3 设双曲线的右焦点为F，经过点F的直线交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过定点。‎ 证明：如图，记x轴与双曲线的右准线l 的交点为E，直线AC与EF交于点N，‎ 过A作AD⊥l，D是垂足．‎ ‎∵ AD∥FE∥BC X EAAA C O N F D B A l Y ‎∴ ‎ 根据双曲线的第二定义 ‎ ‎ 即 |AF|·|BC=||BF|·|AD| ‎ ‎∴ 点N是EF的中点，‎ 故 直线AC过定点（EF的中点N）。‎ ‎ ‎ 由此可见，这个直线过定点问题具有普遍性质，不是某一类圆锥曲线所特有的性质，而是圆锥曲线的一个统一性质。现将圆锥曲线这一个统一的性质归纳概括成如下定理：‎ X EAAA C O N F D B A l Y 定理 过圆锥曲线的焦点的直线交圆锥曲线于A、B两点，点C在相应的准线l上，且BC⊥l ，则直线AC过定点。‎ X EAAA C O N F D B A l Y 解析几何综合题中的韦达定理 在解析几何的综合题中，直线与圆锥曲线是永恒的主题，不少考生对突破这一常规难点心存疑虑，信心不足。造成这一困惑的主要原因除运算量较大外，还有一个非常重要的原因是对韦达定理在解题中的应用技巧认识不足，训练不到位。‎ ‎ 中国人们大学附属中学的王建民老师曾就解决直线与圆锥曲线的综合问题提出过三个环节：第一，当直线与圆锥曲线交于两个点时，将直线方程与曲线方程联立，得到一个变元的一元二次方程，这时便可得到①判别式（问题成立的必要条件），②韦达定理表达式；这一环节千篇一律，易于掌握。第二，用和（或和）或坐标的其他形式表示本题中涉及到的量或关系。这一环节的特点是千变万化，丰富多彩，不易把握，是主要矛盾。我们解题的主要工作量和难点就在于此。在解题实践中，我总结出关于韦达定理 应用的三个变式技巧，就像三把“利剑”,可以帮助大家解决很多问题。‎ ‎ 一、利用（或）将与长度或面积有关问题与韦达式联合 例1，从抛物线外一点引倾角为的直线交抛物线于两点。若成等比数列，求抛物线方程。‎ 分析：设,由已知易得，直线方程为，代入中，可得，所以，解得或，且（＊）,因为成等比数列，所以，,利用平几知识，将平面直角坐标系下的距离比化为一维（轴）上的长度之比，即，即,将（＊）式代入可化得，， 若，则有，解的（舍去）‎ 若，此时无解。若，解的，均应舍去。故。‎ 例2（2007年高考全国卷）已知椭圆的左、右焦点分别为.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，‎ 二、利用（或）实施消元变形。‎ 例2：已知椭圆的右准线为,过右焦点的直线与椭圆相交于两点,经过点与x轴平行的直线交右准线于点,‎ 求证直线过一定点.‎ 解题分析：‎ ‎1.1首先用特殊直线探究定点位置。‎ 当垂直x轴时就可以找到定点位置。（普遍性寓于特殊性之中的哲学道理学生是清楚的）即解如下方程组：，得到，和,故有,由此得到直线过定点.‎ ‎1.2如何进行规范的解析证明？直线过定点的一般形式是怎样的？ ， 是一个变数。我们写出直线的方程。‎ 设，则，所以,所以的方程为——————————————————————————（1）‎ 同学们对方程（1）一筹莫展，不知如何处理才能找到定点。问题是在方程（1）中涉及到三个参变数，必须尽量减少变元个数,这些变元与那些因素有关呢？我们将直线的方程与椭圆方程联立，并应用韦达定理进行处理试试看。‎ 第一种想法：设方程为（不包括平行于y轴的直线），代入中，化简得：，由韦达定理，得 接下来大家对消去参变元的运算量产生了畏难情绪。的确，关于的韦达定理对消去参变元十分麻烦，同学们可以试试看。‎ 第二种想法：设方程为，（不包括x轴）代入中，化简得：，_______________________（2）‎ 根据方程（1）的形式，大家观察上述两个不同的韦达定理形式，用那一个更好？对直线方程不同形式的选取会产生不同的韦达定理形式，进而会产生繁简不同运算量,这在解析几何综合问题中是经常碰到的事。因而很有必要让学生加以体验和辨析。‎ 大家思考后可以发现，第二个关于的韦达定理形式比较简单，而且从方程（1）来看含有纵坐标的变数较多，因而我们应选用关于y的韦达定理形式进行代入，但仍然比较麻烦！有一位同学这样写道：,把和代进来，化简可得：,将它代入方程（1），还是得不到想要的结果。‎ ‎ 我们利用韦达定理积极主动消元的大方向是正确的。观察一下关于y的韦达定理（2），看看能不能先行处理一下，然后再应用它呢，即把两式相除，就会得到：———————————————————（3）‎ 在（3）式基础上，可得。（由此可见，这是一个重要的韦达定理变形技巧！）将它和一并代入,化简可得,代入方程（1）有：方程为，即,故直线恒过定点 解后反思：本题能推广至椭圆的一般情形：‎ ‎ 命题1：已知椭圆，过其焦点的直线与椭圆相交于两点，过点与长轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点。 因为，所以，定点是焦点至准线的垂线段的中点，而且在椭圆之外。 命题还能推广至其他圆锥曲线吗？答案是肯定的！‎ 作为练习大家可以试证下面的两个命题。‎ 命题2：已知双曲线，过其焦点的直线与双曲线相交于两点，过点与实轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点()。且该定点在双曲线内部且在焦点至准线的垂线段的中点。‎ 命题3：已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于两点，过点与对称轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点.且该定点在在焦点至准线的垂线段的中点即顶点。‎ 三、利用（或）搭桥，将具有（或）的关系式与韦达式联合，实施转化变形。‎ 例3：设直线：双曲线：,双曲线的离心率为，交于两点，直线与y轴交于R点，且。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求双曲线的方程；‎ ‎（3）若点F是双曲线的右焦点，是双曲线上的两点，且，求实数的取值范围。‎ 分析：对（1）小题只需利用,可得，方程：化为，将代入其中，得，设，,由韦达定理得：，所以,根据已知条件转化为，将韦达式代入化简可得结论：.‎ ‎（2）因为，,得，因为,又,所以,将韦达式代入可得，结合（1），解方程组得，故双曲线的方程为：。‎ ‎（3）因为，由,知三点共线。设，‎ 设直线的方程为，代入中，得（），所以 由得，所以 又,故,将韦达式代入，可得,又所以,既有，由此确定的取值范围是：。‎ 参考文献 徐志平：例析“降维”思想在一类圆锥曲线题中的妙用.数学通报2007.3‎ 圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题 我们知道，圆锥曲线一章是高考考查的重要内容之一，而圆锥曲线中的最值问题更是无处不在。在很多教学参考书中，我们都会见到这样的类似问题：‎ 已知椭圆C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，点A的坐标为(3,1)，试在椭圆上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+2|PF2|最小，并求出相应的最小值。（亦可把椭圆改为双曲线或抛物线，同样有类似的问题）‎ 类似于这样的问题，初学者往往很难作答，即使在老师的讲解和点拨下也不易掌握。基础好的同学还可以理解，一般的同学下次再遇到类似的问题时仍然难以做对，还会出现很多不应有的错误。这里笔者想能过一个实例，给出这种问题的一般解题策略和具体处理方法。‎ B A L PO B/‎ 关于|PA|+|PF2|最小值的问题，同学们不应该感到陌生。在初中我们曾求过这样的问题：如图，已知A、B两点在直线L的同侧，试在L上求作一点P，使得|PA|+|PB|最小。（相对应的还有一个应用题：A、B两个小村庄，L是一条河，今要在河上架设一座大桥，使从A、B两村庄铺设到大桥的公路总长最短，应该如何选址？）‎ 我们知道两点之间的连线中，线段最短，所以|PA|+|PB|≥|AB|‎ 显然等号不成立，因为A、B在直线L的同侧，如果A、B两点 在L的异侧就好了，因为A、B若在L异侧，线段AB 就与L相交，交点即为所求作的P点。所以能不能在L 的另一侧找到一点B/，使得|PB/|总是等于|PB|呢？‎ 求作点B（或者A）关于直线L的对称点B/即可。‎ B/‎ A L QO B QO 转化思想就是我们解决问题的基本策略。我们只要将同侧的两点转化为异侧的两点，问题就得以解决。‎ 比如：请在L上再找一点Q，使得|QA|-|QB|最大？同样道理，‎ ‎|QA|-|QB|总是小于|AB|，如能等于|AB|就行。我们还是转化，‎ 异侧两点同侧化，当Q为AB/的延长线与L的交点Q/时，‎ ‎|QA|-|QB|=|QA|-|QB/|≤|AB/|。（这里B关于L的对称点B/与 A的连线要与L相交才行，否则Q/点不存在）‎ 我们总结得到：同侧和最小异侧化，异侧差最大同侧化。‎ A ‎·‎ F2‎ F1‎ ‎·‎ ‎·‎ P x y o N M 根据以上分析，我们可以用类比的方法解决圆锥曲线中的类似问题。能不能将椭圆C内部（同侧）的两点A或者F2转化为一内一外呢？显然无法作出点A（或者F2）关于曲线(椭圆)的对称点（没听说过），使得|PA|总是等于|PA/|。‎ 如图，|PA|+|PF2|总是大于|AF2|，但|PA|-|PF2|还是能够 等于|AF2|，作直线AF2，与椭圆交于M、N两点，‎ 当P运动到图中的N点时，|PA|-|PF2|=|AF2|，‎ 当P运动到图中的M点时，|PA|-|PF2|= -|AF2|‎ 能不能将|PA|+|PF2|转化为|PA|-|PF2|呢？‎ 所以我们给出解决圆锥曲线问题的另一解题策略：回归定义。椭圆的第一定义是：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹。我们不能将点A（或点F2）转移到椭圆外，但我们可以将P到F2的距离转化为点P到另一焦点F1的距离。因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a-|PF1|，于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2a A ‎·‎ F2‎ F1‎ ‎·‎ ‎·‎ P x y o R S 要求|PA|+|PF2|的最值，就等价于求|PA|-|PF1|的最值。‎ 如图作直线AF1交椭圆于R、S两点，‎ 则 -|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|‎ 所以2a-|AF1|≤|PA|+|PF2|≤2a+|AF1|‎ 将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。‎ 那么对于(2)又如何解答呢？与(1)相比，就是在|PF2|前 多了个系数2，也只能是2（否则无解），我们可以用圆锥曲线的统一定义，将同侧（内部）问题转化为异侧问题来求解。‎ A ‎·‎ F2‎ F1‎ ‎·‎ ‎·‎ P x y o M l 椭圆的第二定义是：平面内到一定点F2的距离与到一定直线l的距离之比为小于1的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点，定直线为此焦点相应的准线，小于1的常数就是椭圆的离心率e。‎ 如图，PM⊥l于M，则，所以|PM|=|PF2|‎ 本题中，椭圆的离心率e=，所以|PM|=2|PF2|‎ 所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我们将问题转化为从定点A到准线l的“折线段”PA与PM的长的和的问题，也就是说将同侧（内部）两点的距离和问题转化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当A、P、M三点共线且垂直于直线l时，|PA|+|PM最小，即直接过A作准线l的垂直交椭圆于P点，则P即为所求作。‎ 这种转化看来只适用于形如|PA|+|PF2|的最小值的问题。‎ 以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值的解题策略和具体做法，即利用圆锥曲线的定义实现了问题的转化，即同异互化，回归定义。‎ 本文开头的问题具体解答如下：‎ A ‎·‎ F2‎ F1‎ ‎·‎ ‎·‎ P x y o R S ‎(1) 由已知椭圆方程得：a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)‎ 因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|‎ 所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8‎ 过A、F1作直线RS交椭圆于R、S两点，‎ 因为||PA|-|PF1||≤|AF1|=，‎ A ‎·‎ F2‎ F1‎ ‎·‎ ‎·‎ P x y o M l 所以8-≤|PA|+|PF2|≤8+‎ 当P为S点时，|PA|+|PF2|的最小值为8-‎ 当P为R点时，|PA|+|PF2|的最大值为8+‎ ‎(2)易求得椭圆的离心率为e=，右准线l方程为x=8‎ 过P作l的垂线交l于M点，则|PM|=|PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，‎ 当A、P、M三点共线且垂直于l时，|PA|+|PM|最小，且最小值就是点A到直线l的距离。易求得A到直线的距离为5，所以|PA|+2|PF2|的最小值为5，此时点P的纵坐标为1，将y=1代入椭圆方程得x=,所以点P的坐标为(,1).‎ 下面我们给出几个题目供同学们练习巩固：‎ ‎1．已知两点A(4,1)和B(-1,11)，‎ ‎（1）试在x轴上求一点P，使得|PA|+|PB|最小。‎ ‎（2）试在y轴上求一点Q，使得|PA|-|PB|最大。‎ ‎2．已知A(3,1)，双曲线C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，试在双曲线C上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+|PF2|最小.‎ ‎3．已知A(4,1)，F为抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|+|PF|最小值。‎ 求解圆锥曲线中的最值问题 ‎ 历年来，高考数学都要考查圆锥曲线中的最值问题。这些问题形式多变，要求较高，但其解法仍然有章可循，有法可依。本文将介绍求解圆锥曲线最值问题的常用方法。‎ 例1.求抛物线上与点距离最近的点及相应的距离。‎ 解：设是曲线上任意一点，即，‎ ‎，，‎ 此关于的函数在上单调递增，‎ 其最小值在时取得，此时，‎ 故所求，相应的距离。‎ 评析：上述解题过程是将求圆锥曲线最值转化为讨论二次函数最值，其中运用配方法进行恒等变形。此时应注意其定义域受题设条件限制时，要避免简单地认为一定在抛物线顶点处取得最值。‎ 例2、求椭圆上到直线距离最短的点及相应的距离。‎ 解：设椭圆上任意点，该点到直线的距离 ‎，‎ ‎ 当即时，，‎ ‎ 此时，，，‎ 即所求点，相应的距离为。‎ 评析：解题时恰当地引入参数，可以简化繁琐的计算过程，并提供进一步利用函数性质的可能性。‎ F1‎ F2‎ A M x y O 例3.、分别是椭圆的左右焦点，为定点，为椭圆上任意点，求的最小值。‎ 解：连结、，则，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ；‎ 由 ‎。‎ 评析：回归圆锥曲线定义，并结合平面几何相关定理，使求解过程显得自然流畅。‎ 例4.如图所示，、分别是椭圆长轴上顶点和对应焦点，位于轴正半轴上的动点与的连线交射线于，求：（1）点、的坐标和直线的方程 ；‎ y x Q o F T A ‎（2）的面积关于 的函数及其最小值。‎ 解:（1）椭圆中心，，，‎ ‎，点、；‎ 直线即直线，‎ ‎。‎ ‎（2）当时，，；‎ 当时，由，‎ ‎，‎ ‎=‎ ‎，‎ 当且仅当即时等号成立。‎ 即所求，（当时）。‎ 评析：利用均值不等式性质定理来解圆锥曲线最值问题时，要先将目标函数配凑成积（或和）为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的重要前提。‎ 例5、已知椭圆，过原点且倾斜角为 和 的两条直线分别交椭圆于、和、四点，‎ ‎（1）用、、表示四边形的面积；‎ ‎（2）若、为定值，当时，求的最大值。‎ 解：（1）过原点且倾斜角为 的直线为，‎ 由方程组可得 ‎ ， ，‎ 所求。‎ ‎（2）令，‎ 当即时，‎ 此时（当且仅当时取等号）；‎ 当 即时，在上是减函数，‎ ‎，此时。‎ 综合所得，所求。‎ 评析：上述解题过程中运用函数的重要性质：在区间上单调递减，在区间上单调递增。此函数性质在实际中有着广泛的应用，已成为高考命题的生长点与热点。‎ 综上所述，解决圆锥曲线中的最值问题，要注意联系圆锥曲线的定义和性质，重视运用数形结合，将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论。概括来说：先根据题设条件，恰当选择某个与目标密切相关的自变量，并确定目标函数的解析式；在充分考虑函数的定义域、不等式的最值条件等前提下，应用函数的单调性、均值不等式定理及其推论等进行分类讨论。 ‎ 圆锥曲线的定义及应用 重点：圆锥曲线的定义及应用 难点：圆锥曲线的综合应用 内容： 一、圆锥曲线的定义 　　1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 　　2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a,‎ ‎ (2a<|F1F2|)}。 　　3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 　　1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2） 　　2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2） 　　3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0） 三、圆锥曲线的性质 　　1.椭圆：+=1（a>b>0） 　　（1）范围：|x|≤a，|y|≤b 　（2）顶点：(±a,0)，(0,±b) 　　（3）焦点：(±c,0) 　　（4）离心率：e=∈(0,1) 　　（5）准线：x=± 　　2.双曲线：-=1（a>0, b>0） 　　（1）范围：|x|≥a, y∈R 　　 （2）顶点：(±a,0) 　 　（3）焦点：(±c,0) 　　（4）离心率：e=∈(1,+∞) 　　（5）准线：x=±　　（6）渐近线：y=±x 　　3.抛物线：y2=2px(p>0) 　　（1）范围：x≥0, y∈R 　　（2）顶点：（0,0） 　　（3）焦点：（,0） 　　（4）离心率：e=1 　 　（5）准线：x=- 　　四、例题选讲： 　　例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。 　　解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。 　　注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。 　　例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。 　　解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。‎ ‎ 　　（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。 注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。 　　例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。 　　解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a, 　　∵ PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, ‎ ‎∴ |PF1|=。∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA, 　　∴ = c=ba=c, ∴ e==。 　　又解，∵ PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。 　　由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=, 　　由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。 　　例4.已知F1，F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面积。 　　分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。 　　解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin ，　|PF1|+|PF2|=2a=20， 　　4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos，‎ 即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，|PF1|·|PF2|=，∴ SΔ=××=。 　　解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=×12×yP=6|yP|，由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP， 　　由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP，4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos， 　　144=100+=， =64(1-)=64×，　SΔ=6|yP|=6×=‎ ‎。 　　注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。 　　例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|，|PF2|。 　　分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求解。 　　解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴， 　　由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4，|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，‎ ‎ (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36， 　　。 　‎ ‎　例6.椭圆：+=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。 　　 解：|PA|+|PF1|=|PA|+‎2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10， 　　|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。 　　注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，‎ 两边之差小于第三边。 　　例7.已知：P为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。 　　 　　证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O＇, A1A2中点为O， 　　|OO＇|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O＇半径为|PF1| 　　由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2| ，|PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'| 　　∴ 两个圆相内切。 　　注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。 　　例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。‎ 求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。 　　证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|‎ ‎ 　　|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)， 　　故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。 　　五、课后练习 　‎ 解析几何中求参数范围的五种策略 解析几何中求参数范围或与参数有关的问题，往往是高考的热点之一。本文总结出五种求解这类问题的思考途径与策略。‎ 一、利用题设条件中的不等关系 若题设条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。‎ 例1. （2004全国卷IV）双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。‎ 解析：直线l的方程为，即 由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离 同理得到点（－1，0）到直线l的距离 由，‎ 即 于是得 即 解得 由于，所以e的取值范围是[，]。‎ 二、应用判别式建立不等式关系 若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立所含参数的不等式。‎ 例2. （2005年全国卷III）设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。‎ 解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为 过点A、B的直线方程可写为 由，消y得 ‎①‎ 即是方程①的两个不同的解，得 ‎，‎ 且 设AB的中点N的坐标为（），则 ‎，‎ ‎。‎ 由，‎ 于是。‎ 即得直线l在y轴上截距的取值范围为。‎ 点评：该题含有两个参数b，m，先由直线AB与抛物线有两个不同的交点，应用判别式求出参数m的范围，再由题意找出两个参数b，m之间的关系式，最后求出参数b的取值范围。‎ 三、根据曲线的范围建立不等关系 由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。‎ 例3. （2004年辽宁卷）设椭圆方程，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为。当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值。‎ 解析：（1）动点P的轨迹方程是 即 ‎（1）由点P的轨迹方程知，‎ 即。‎ 所以，‎ 故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为。‎ 点评：这种求最值问题，实质上是先建立目标函数，再由椭圆的范围确定自变量的取值范围，最后求函数的最值。‎ 四、挖掘曲线的隐含不等式 对于一些特殊曲线，它们自身都包含了一些不等关系。如椭圆长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长。对于圆与椭圆，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。当然有些情况下，不等关系比较隐蔽，只有认真地分析题设中的条件与结论，才能找到所需的含参不等式。‎ 例4. （2002年京皖）已知某椭圆的焦点是，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且。椭圆上不同的两点A（）、满足条件：成等差数列。‎ ‎（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。‎ 解析：（1）椭圆方程为。‎ ‎（2）设弦AC中点，可得。‎ ‎（3）由在椭圆上，得 两式相减得 ‎，‎ 即 将，，代入上式，得 ‎9×4＋25‎ 即（当k＝0时也成立）。‎ 由点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，得 ‎，‎ 即。‎ 由P（）在线段BB”上（B”与B关于轴对称），‎ 得 所以。‎ 五、利用基本不等式建立不等关系 对于某些与参数范围有关的题目，如果利用上述四种方法不易建立符合题意的不等关系，就看能否利用代数中的基本不等式建立符合题意的不等关系。‎ 例5. （2005年浙江卷）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线l与x轴的交点为M，。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点P在直线l上运动，求∠F1PF2的最大值。‎ 解析：（1）求得椭圆的方程为 ‎（2）设P，，则直线的斜率，直线PF2的斜率。‎ 因为，‎ 所以为锐角。‎ 所以。‎ 当时，tan∠F1PF2取得最大值，此时∠F1PF2最大，故∠F1PF2的最大值为。‎ 解析几何综合题解题思路案例分析 解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.‎ ‎1 判别式----解题时时显神功 案例1 已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。‎ 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：‎ 把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 直线l’在l的上方且到直线l的距离为 解题过程略.‎ 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：‎ 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程有唯一解 简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：‎ ‎ ‎ 于是，问题即可转化为如上关于的方程.‎ 由于，所以，从而有 于是关于的方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由可知：‎ ‎ 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于 ‎.‎ ‎ 由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .‎ 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.‎ ‎2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效 案例2 已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.‎ 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.‎ 由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到 ‎，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.‎ 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.‎ 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k 点Q的轨迹方程 ‎ 在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。‎ 简解：设，则由可得：，‎ 解之得： （1）‎ 设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：‎ ‎ （2）‎ ‎∴ ‎ 代入（1），化简得： (3)‎ 与联立，消去得：‎ 在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 ‎ 故知点Q的轨迹方程为： （）.‎ 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.‎ ‎3 求根公式-----呼之欲出亦显灵 案例3 设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.‎ 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.‎ 分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.‎ 所求量的取值范围 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA= f（k），xB = g（k）‎ 得到所求量关于k的函数关系式 求根公式 AP/PB = —（xA / xB）‎ 由判别式得出k的取值范围 简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 ‎ 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.‎ 当时，，，所以 ===.‎ 由 , 解得 ，‎ 所以 ，综上 .‎ ‎ ‎把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）‎ 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = —（xA / xB）‎ 由判别式得出k的取值范围 简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 ‎ （*）‎ 则 令，则，‎ 在（*）中，由判别式可得 ，‎ 从而有 ，‎ 所以 ，‎ 解得 .‎ 结合得. ‎ 综上，.‎ 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.‎ 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.‎ 浅析圆锥曲线中的相交弦问题 关于圆锥曲线中的相交弦有三种常见的表现形式，即两弦相交成直角、两相交弦倾斜角互补、三弦组成特殊的三角形。下面分类举例，阐述常用的求解策略，供参考。‎ 一、两弦相交成直角 例1. 已知椭圆与x轴正方向交于点A，若这个椭圆上有点P，使∠OPA＝90°（O为原点），求椭圆离心率的范围。‎ 解析：设P（），则 ‎，。‎ 由∠OPA＝90°，则 即，‎ 所以，‎ 可得 因为 所以 又，‎ 所以。‎ 注：两向量垂直的坐标公式的运用为成功解题选择了捷径。‎ 例2. （2004年湖北卷）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。‎ 解析：（1）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得 ‎①‎ 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A、B，‎ 设；‎ 则 且 且 且 解联立不等式组得k的取值范围为（－2，）。‎ ‎（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0），则FA⊥FB，‎ 所以，‎ 即 又，‎ 代入前式整理得 将代入，化简得 解得。‎ 又不合，舍去。‎ 所以符合题意。‎ 注：用斜率的关系是解决两直线垂直的有力武器，不可忽视。‎ 例3. （2000年春季高考北京卷）设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。‎ 解析：依题意，设，则 ‎。‎ 又OA⊥OB，得 即 化简得。‎ 而，‎ 所以直线AB的方程为 ‎。‎ 令y＝0，并将代入得，即直线AB与x轴交于定点Q（4p，0）。又OM⊥AB，由平面几何知识得：动点M的轨迹是以线段OQ为直径，以点（2p，0）为圆心的圆，其方程为 注：利用平面几何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化也是常用的策略。‎ 二、两相交弦倾斜角互补 例4. （2004年高考北京卷）过抛物线上一定点P（，作两条直线分别交抛物线于A（）、B（）。（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。‎ 解析：（1）当时，。又抛物线的准线方程为，由抛物线定义得所求距离为 ‎。‎ ‎（2）由，相减得 ‎，‎ 故 同理可得 由PA与PB倾斜角互补知，‎ 所以 由，‎ 故。‎ 将，所以直线AB的斜率是非零常数。‎ 注：将两相交弦倾斜角互补转化为斜率互为相反数，利用等量关系列式求解。‎ 例5. 如图1，已知A，B，C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数？请给出证明。‎ 图1‎ 解析：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为 ‎。‎ 而O为椭圆中心，由对称性知 又，所以AC⊥BC 又，所以|OC|＝|AC|，‎ 所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得，则椭圆方程为。‎ ‎（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为，直线CQ的方程为。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得 ‎①‎ 因为C（1，1）在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是 同理 这样，‎ 又B（－1，－1），所以，‎ 即。‎ 所以PQ∥AB，存在实数使。‎ 注：利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程。‎ 三、三弦组成特殊的三角形 例6. 已知F是抛物线的焦点，P1，P2是抛物线上的两点，且△P1FP2是正三角形，求该三角形的边长。‎ 解析：由于抛物线与正三角形都是轴对称图形，必有轴。若设，则。又△P1FP2是正三角形，所以直线P1F的倾斜角为30°。而F（1，0），则直线P1F的方程是 与抛物线联立，消去x得 解得。‎ 故三角形的边长为。‎ 例7. 在直角三角形ABC中，AB＝AC，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB上，且椭圆过A、B两点。求这个椭圆的离心率。‎ 解析：如图2，设∠AFC＝θ 图2‎ 则 设|FC|＝2c，则 所以 ‎，‎ 即离心率。‎ 而在△BCF中，由正弦定理得 ‎，‎ 则有，‎ 即，‎ 所以 ‎，‎ 所以。‎ 注：以上二例紧紧抓住了特殊三角形中的特殊角，再利用三角函数知识来求解效果显著。‎ 求解圆锥曲线离心率的常用方法 离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。‎ 一、根据离心率的范围，估算e 利用圆锥曲线的离心率的范围来解题，有时可利用椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1来解决。‎ 例1. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. （）‎ 解：由，知，‎ 故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。‎ 二、直接求出a、c，求解e 已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。‎ 例2. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）‎ A. B. C. D. ‎ 解：抛物线的准线是，‎ 即双曲线的右准线，‎ 则，解得，‎ 故选D。‎ 例3. 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）‎ A. B. C. D. ‎ 解：由题意知，入射光线为，‎ 关于的反射光线（对称关系）为 则解得 则。故选A。‎ 三、构造a、c的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。‎ 例4. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）‎ A. B. C. D. ‎ 解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。‎ 由焦半径公式，‎ 即，得，‎ 解得，故选D。‎ 练习：‎ ‎1. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A，则双曲线的离心率等于_______。‎ ‎（答案：2）‎ ‎2. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。‎ ‎（答案：）‎ 求最值在圆锥曲线中的体现 最值问题的探讨已经渗透到各章节中，在圆锥曲线中的体现也较为明显。常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等。实质上与其他内容的最值一样，应会从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题。下面举例说明。‎ 一、利用圆锥曲线的对称性求最值 例1. 设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F1AB的面积最大为（）‎ A. B. C. D. ‎ 解析：如图1，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又，△F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为。所以△F1AB的面积最大值为cb。‎ 图1‎ 点评：抓住△F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。‎ 二、利用圆锥曲线的参数方程求最值 例2. 已知点P是椭圆上到直线的距离最小的点，则点P的坐标是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 解析：将化成参数方程，设，则 ‎，‎ 其中，‎ 当时，。‎ 此时可以取得，从而可得到。故选A。‎ 点评：化椭圆，利用三角函数的方法将最值转化为角变量来确定。‎ 三、利用重要不等式求最值 例3. 已知圆C过坐标原点，则圆心C到直线l：距离的最小值等于（ ）‎ A. B. ‎2 C. D. ‎ 解析：圆C过原点，则。圆心C（a，b）到直线l：的距离 所以圆心到直线l距离的最小值为。‎ 点评：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽视等号成立的条件。‎ 四、利用圆锥曲线的定义求最值 例4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ 解析：由双曲线的第一定义，得 又，‎ 所以，‎ 从而 由双曲线的第二定义可得，‎ 所以。又，‎ 从而。故选B。‎ 点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。‎ 五、利用几何性质求最值 例5. 已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（）‎ A. 10 B. ‎ C. D. ‎ 解析：易知A（3，2）在椭圆内，B（－4，0）是椭圆的左焦点（如图2），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知：‎ 图2‎ ‎，‎ 所以。‎ 由平面几何知识，‎ ‎，‎ 即 而，‎ 所以。‎ 点评：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论。‎ 高考中向量背景下的解析几何问题 向量这几年时间逐渐成为高考中的重要角色，很多时候向量与解析几何在一起，成为解析几何的一部分，但纵观与向量与解析几何的问题，不外以下几类：‎ 一类是可以转化为平面几何语言的；第二类是不可以或者转化比较麻烦；还有一类是平面几何背景问题，但是我们转化为用向量来解决比较方便的.‎ 对于第一类和第三类，我们常常要进行转化，或是把向量问题转化为平面几何问题，然后用平面几何的知识和方法解决问题；或是把平面几何问题转化为向量问题，借助向量来解决平面几何问题。比较这两个方法，用向量来解决有以下优点：免去讨论斜率是否存在的问题；但用向量方法同时存在缺点：用向量会涉及到两个变量，常常会不利于求解。‎ 处理方法有三类：‎ 1. 不作任何变换，直接由向量概念向点的坐标转化 2. 转换为平面几何语言，用纯解析知识来解决 3. 把平面几何语言转化为向量语言，然后用向量知识来解决。‎ ‎1．（2005江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎ ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎ ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；‎ ‎ ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎ ④双曲线有相同的焦点.‎ ‎ 其中真命题的序号为 ③④ （写出所有真命题的序号）‎ ‎（江西卷） O A B P F ‎　‎ 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.‎ ‎（1）求△APB的重心G的轨迹方程.‎ ‎（2）证明∠PFA=∠PFB.‎ 解：（1）设切点A、B坐标分别为，‎ ‎∴切线AP的方程为：‎ ‎ 切线BP的方程为：‎ 解得P点的坐标为：‎ 所以△APB的重心G的坐标为 ，‎ 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：‎ ‎ （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ‎∴‎ 同理有 ‎∴∠AFP=∠PFB.‎ 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：‎ 即 所以P点到直线BF的距离为：‎ 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.‎ ‎②当时，直线AF的方程：‎ 直线BF的方程：‎ 所以P点到直线AF的距离为：‎ 同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.‎ ‎2.(全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．‎ 解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1‎ 将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0‎ 设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则 从而 亦即 ‎(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得 ‎ 故四边形面积 ‎ ‎ Q P N M F O 令=得 ‎∵=≥2‎ 当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数 ‎∴‎ ‎②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2‎ 综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。‎ ‎3．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．‎ ‎（Ⅰ）证明·为定值；‎ ‎（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．‎ 解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，‎ 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， ‎ 将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③‎ 解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，‎ 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．‎ 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，‎ 即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．‎ 解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分 所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0‎ 所以·为定值，其值为0．　　　……7分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．‎ ‎|FM|＝＝ ‎＝ ‎＝＝＋．‎ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 ‎|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．‎ 于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)3，‎ 由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．‎