【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第十章第一讲　两个计数原理、排列与组合作业

【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第十章第一讲　两个计数原理、排列与组合作业

第十章　计数原理 第一讲　两个计数原理、排列与组合 ‎ ‎ ‎1.[2020洛阳市第一次联考]某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(　　)‎ A.16 B.18 C.24 D.32‎ ‎2.[2020江西临川一中第一次联考]将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中,每个盒子中放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为(　　)‎ A.40 B.60 C.80 D.100‎ ‎3.[2019四省八校联考]现将3名男医生和3名女医生分成两个组,去支援两个山区,每组至少2人,女医生不能全在同一组,且每组不能全为女医生,则不同的派遣方法有(　　)‎ A.36种　B.54种 C.24种 D.60种 ‎4.[2019长春市高三第一次质量监测]要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为(　　)‎ A.6 B.12 C.24 D.36‎ ‎5.[2020浙江温州九校第一次联考]4名学生参加3个兴趣小组活动,每人参加1个或2个小组,那么3个兴趣小组都恰有2人参加的情况共有　　　　种. ‎ ‎6.[2020北京市通州区模拟]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中百位上的数字是5的四位数共有　　　　个.(用数字作答) ‎ ‎7.[2020四川模拟]某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数学、英语为必选科目.从物理、化学、生物、历史、地理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他选择的组合方式有　　　　种(用数字作答). ‎ ‎8.[2019开封市高三模拟]从甲、乙等5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,乙只能参加数学竞赛,则不同的参赛方案种数为　　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎9.[2020南京高三调考]某校毕业典礼上有6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)‎ A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 ‎10.[2020陕西西安二检]将“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为(　　)‎ A.72 B.120 C.192 D.240‎ ‎11.[2019长沙四校联考]某校为了解高三年级的学情和教情,从该年级6个班中选10名学生参加座谈会,要求每班至少派1名学生参加,其中高三(1)班至少派2名学生参加,则不同的选派方式有(　　)‎ A.72种 B.60种 C.50种 D.56种 ‎12.[2019河南濮阳模拟]安排A,B,C,D,E,F 六位义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人的住址距离问题,不安排义工A照顾老人甲,不安排义工B照顾老人乙,则不同的安排方法共有(　　)‎ A.30种 B.40种 C.42种 D.48种 ‎13.[2019蓉城名校高三第一次联考]高考阅卷组抽调A,B,C,D,E,F 6名阅卷老师和甲、乙2名阅卷组长,现将他们分成两个小组(每组4人)分别派往成都、绵阳两地指导高考备考.两地都要求既要有阅卷老师又要有阅卷组长,而且A由于工作原因只能去成都,则不同的选派方案共有　　　　　　种. ‎ ‎14.[2019合肥市高三调研检测]将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内,如图10-1-1,‎ 图10-1-1‎ 要求任意两颗棋子不同行、不同列,且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上,则不同的放法共有　　　　种.  ‎ ‎15.[原创题]“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号“——”和“— —”,其中“——”在二进制中记作“1”,“— —”在二进制中记作“0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为(　　)‎ A.0,1,2,3　　　B.0,1,2　　　C.0,1　　　D.1,2‎ ‎16.[2020陕西省百校第一次联考][新情境题]某型号智能手机有“星河银”“罗兰紫”“翡冷翠”“亮黑色”四种颜色.现甲、乙等四位市民准备分别购买一部该型号的手机,且所购买手机的颜色互不相同.若甲购买“亮黑色”或“星河银”的手机,则乙不购买“罗兰紫”的手机,那么这四位市民不同的购买方案有　　　　种. ‎ ‎17.[2019江西红色七校第一次联考][数学文化题]小明有中国古代四大名著《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》各一本,他要将这四本书全部借给三位同学,每位同学至少一本,但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人,则不同的借法 有　　　　种. ‎ 第一讲　两个计数原理、排列与组合 ‎1.C　第一步,将3辆不同型号的车进行排列,有A‎3‎‎3‎种方法;第二步,把剩余的4个车位看成一个元素,插入3辆车所形成的4个空位中,有C‎4‎‎1‎种方法.由分步计数原理可知,不同的停放方法共有A‎3‎‎3‎·C‎4‎‎1‎=24(种).故选C.‎ ‎2.A　根据题意,在六个盒子中任选三个,分别放入与其编号相同的小球,不同的选法共有C‎6‎‎3‎=20(种).‎ 再将其余三个盒子中分别放入一个与其编号不同的小球,有2种放法.‎ 则不同的放法有20×2=40(种).故选A.‎ ‎3.A　分组情况有2,4型和3,3型.2,4型只能是1男1女和2男2女,此时有C‎3‎‎1‎C‎3‎‎1‎种分法;3,3型只能是2男1女和1男2女,此时有C‎3‎‎2‎C‎3‎‎1‎种分法.综上,不同的派遣方法共有(C‎3‎‎1‎C‎3‎‎1‎+C‎3‎‎2‎C‎3‎‎1‎)A‎2‎‎2‎=36(种).故选A.‎ ‎4.B　由题意可知,可以分两类,第一类,甲与另一人一同被分到A班,分法有C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎=6(种);第二类,甲单独被分到A班,分法有C‎3‎‎2‎A‎2‎‎2‎=6(种).所以甲被分到A班的分法共有12种.故选B. ‎ ‎5.90　由题意得,4名学生中恰有2名学生各参加2个兴趣小组,其余2 名学生各参加1个兴趣小组.‎ 第一步,从4名学生中抽出2名参加2个兴趣小组的学生,不同的抽法共有C‎4‎‎2‎=6(种).‎ 第二步,对参加兴趣小组的情况进行讨论:参加2个兴趣小组的2名学生参加的兴趣小组完全相同,不同的情况共有C‎3‎‎2‎=3(种);参加2个兴趣小组的2名学生参加的兴趣小组有一个相同,不同的情况共有C‎3‎‎2‎C‎2‎‎1‎A‎2‎‎2‎=12(种).‎ 故不同的情况共有6×(3+12)=90(种).‎ ‎6.48　依题意,组成的没有重复数字的四位数的百位上的数字为5,分两步进行分析:①组成的四位数的千位上的数字不能为0,则千位上的数字有4种选法;②在剩下的4个数字中选出2个,分别安排在十位和个位上,不同的安排方法共有A‎4‎‎2‎=12(种).则符合条件的四位数共有12×4=48(个).‎ ‎7.30　“物理和化学两科中至多选一科”的选法可分两类.第一类,不选物理和化学,选法有C‎5‎‎3‎=10(种);第二类,选物理和化学中的一门,选法有C‎2‎‎1‎C‎5‎‎2‎=20(种).所以他选择的组合方式共有10+20=30(种).‎ ‎8.36　分三种情形讨论:①甲、乙都选,不同的参赛方案有C‎2‎‎1‎A‎3‎‎2‎=12(种);②选乙不选甲,不同的参赛方案有A‎3‎‎3‎=6(种);③选甲不选乙,不同的参赛方案有C‎3‎‎1‎A‎3‎‎3‎=18(种).所以满足条件的不同的参赛方案种数为12+6+18=36.‎ ‎9.A　解法一　记演出顺序为1~6号,对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占1和2号,2和3号,3和4号,4和5号,5和6号,其排法种数分别为A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎,A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎,C‎2‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎,C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎,C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎,故总编排方案有A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎+A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎+C‎2‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎+C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎+C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎=120(种).故选A.‎ 解法二　记演出顺序为1~6号,按甲的编排进行分类,‎ ‎①当甲在1号位置时,丙、丁相邻的情况有4种,则编排方案有C‎4‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎=48(种);‎ ‎②当甲在2号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,编排方案共有C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎=36(种);‎ ‎③当甲在3号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,编排方案共有C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎=36(种).‎ 所以编排方案共有48+36+36=120(种).故选A.‎ ‎10.D　若将“124467”重新排列后所得数为偶数,则末位数字应为偶数,(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以偶数有‎5×4×3×2×1‎‎2‎=60(个);(2)若末位数字为6,同理偶数有‎5×4×3×2×1‎‎2‎=60(个);(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以偶数有5×4×3×2×1=120(个).综上可知,‎ 不同的偶数共有60+60+120=240(个).故选D.‎ ‎11.D　首先需满足高三(1)班选2名学生,其余班级各选1名学生.然后只需分配剩下的3个名额,这3个名额可以分到一个班,有C‎6‎‎1‎种分法;也可以分到两个班,其中一个班1个,一个班2个,有A‎6‎‎2‎种分法;还可以分到三个班,每班1个,有C‎6‎‎3‎种分法.因此不同的选派方式共有C‎6‎‎1‎+A‎6‎‎2‎+C‎6‎‎3‎=56(种).故选D.‎ ‎12.C　解法一　先按A分类,兼顾考虑B,分类如下. ‎ A照顾乙,B照顾甲,有安排方法C‎4‎‎1‎·C‎3‎‎1‎=12(种);‎ A照顾乙,B照顾丙,有安排方法C‎4‎‎1‎·C‎3‎‎1‎=12(种);‎ A照顾丙,B照顾甲,有安排方法C‎4‎‎1‎·C‎3‎‎1‎=12(种);‎ A照顾丙,B照顾丙,有安排方法C‎4‎‎2‎=6(种).‎ 综上分析可得,不同的安排方法共有12+12+12+6=42(种).故选C.‎ 解法二　(间接法)六位义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人,共有安排方法C‎6‎‎2‎C‎4‎‎2‎=90(种).‎ 其中A照顾老人甲的情况有C‎5‎‎1‎C‎4‎‎2‎=30(种);‎ B照顾老人乙的情况有C‎5‎‎1‎C‎4‎‎2‎=30(种);‎ A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有C‎4‎‎1‎C‎3‎‎1‎=12(种).‎ 所以符合题意的安排方法有90- 30- 30+12=42(种).故选C.‎ ‎【解后反思】　特殊元素和特殊位置优先分析策略,是解决排列、组合问题最常用的方法.若用特殊元素分析法,需优先安排特殊元素,再安排其他元素;若用特殊位置分析法,需先考虑特殊位置上的元素的安置,再考虑其他位置上的元素的安置.对于有多个约束条件的问题,在考虑一个约束条件的同时,还需兼顾其他约束条件. 对于限制条件较多的问题,也可采用间接法进行求解.‎ ‎ 13.20　先将2名阅卷组长分别派往成都、绵阳两地,选派方案有A‎2‎‎2‎=2(种);由于A只能派往成都,所以只需从剩余的5名阅卷老师中选派2名去成都,其余的阅卷老师派往绵阳即可,即选派方案有C‎5‎‎2‎=10(种).所以选派方案共有2×10=20(种).‎ ‎14.24　要想任意两颗棋子不在同一行、同一列和同一条对角线上,则三颗棋子必有一颗在正方形方格的顶点,另两颗在对角顶点的两侧,如图D 10- 1- 2所示,由于正方形有四个顶点,故有四个不同的相对位置,又三颗棋子颜色不同,故不同的放法共有4A‎3‎‎3‎=24(种).‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 图D 10- 1- 2‎ ‎15.A　根据题意,从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.‎ 第一类:由两个“——”组成,二进制数为11,转化为十进制数,为3.‎ 第二类:由两个“— —”组成,二进制数为00,转化为十进制数,为0.‎ 第三类:由一个“——”和一个“— —”组成,二进制数为10,01,转化为十进制数,为2,1.‎ 所以从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3.故选A.‎ ‎16.20　根据甲实际购买的手机的颜色进行分类.‎ 第一类,甲实际购买的手机的颜色为“亮黑色”或“星河银”,则满足题意的购买方案有C‎2‎‎1‎×C‎2‎‎1‎‎×‎A‎2‎‎2‎=8(种);‎ 第二类,甲实际购买的手机的颜色既不是“亮黑色”,也不是“星河银”,则满足题意的购买方案有C‎2‎‎1‎×A‎3‎‎3‎=12(种).由分类加法计数原理可知,这四位市民不同的购买方案有8+12=20(种).‎ ‎17.30　根据题意,分两步进行分析:①将四本书分成3组,其中1组两本,其他2组各一本,分组方法有C‎4‎‎2‎C‎2‎‎1‎C‎1‎‎1‎A‎2‎‎2‎=6(种),但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人,即这两本书不能分在同一组,《西游记》《红楼梦》分在同一组的情况有1种,故四本书分成3组,符合题意的分法有6- 1=5(种);②将分好的3组全排列,对应三位同学,情况有A‎3‎‎3‎=6(种).则不同的借法有5×6=30(种).‎