【数学】2018届一轮复习北师大版基本初等函数、函数与方程及函数的应用教案
第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
基本初等函数的图象及性质 自主练透 夯实双基
1．指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝.
注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
2．指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0
1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当00且a≠1)的图象恒过定点P(m，2)，则m＋n＝________．
[解析] 当2x－4＝0，即x＝2时，y＝1＋n，即函数图象恒过点(2，1＋n)，又函数图象恒过定点P(m，2)，所以m＝2，1＋n＝2，即m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.
[答案] 3
3．(2016·高考浙江卷)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
[解析] 由于a＞b＞1，则logab∈(0，1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.
[答案] 4 2
研究指数、对数函数图象应注意的问题
(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．
(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件．
函数的零点 数学思想 活学活用
1．函数的零点的定义
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
2．确定函数零点的常用方法
(1)解方程法；
(2)利用零点存在性定理；
(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
(1)函数f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(2016·郑州市第二次质量检测)已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当0＜x≤1时，f(x)＝logx，则方程f(x)－1＝0在(0，6)内的所有根之和为( )
A．8 B．10
C．12 D．16
【解析】 (1)令f(x)＝0，则4－x2＝，分别作出函数g(x)＝4－x2，h(x)＝的图象，由图可知，显然h(x)与g(x)的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.
(2)因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期函数，其周期
T＝4.
当0＜x≤1时，f(x)＝logx，故f(x)在(0，6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f(x)－1＝0在(0，6)内的根共有4个，其和为x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
(1)判断函数零点个数的方法
①直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
②零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在(a，b)上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(2)数学思想
①本例(2)利用了数形结合的思想，解答本题的思路是由已知条件确定函数的周期，然后借助于周期性作出y＝f(x)的图象，然后把f(x)－1＝0的根转化为y＝f(x)与y＝1两函数图象的交点问题，问题即可求解．
②利用数形结合思想还可以解决本专题中的函数单调性、最值、比较大小等问题．
[题组通关]
1．已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
B [解析] 因为a＞1，0＜b＜1，则函数f(x)为增函数，又f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
2．若函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，且a∈R)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为________．
[解析] 由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.
作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，观察可以知道，当－2200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
【答案】B
解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．
[题组通关]
1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [解析] 设甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6－x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)．则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，所以y＝20x＋960(x∈N，0≤x≤6)．若y≤1 000，则20x＋960≤1 000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N，所以0≤x≤2，x∈N，所以x＝0，1，2，即有3种调运方案．
2.A、B两艘船分别从东西方向上相距145 km的甲、乙两地同时开出．A船从甲地自东向西行驶，B船从乙地自北向南行驶，A船的速度是40 km/h，B船的速度是16 km/h，经过________h，A、B两艘船之间的距离最短．
[解析] 设经过x h，A、B两艘船之间的距离为y km，由题意可得y＝＝，易知当x＝－＝时，y取得最小值，即A、B两艘船之间的距离最短．
[答案]
课时作业
1．函数y＝的定义域为( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
A [解析] 使函数有意义需满足
解得＜x＜1.
2．(2016·贵州省适应性考试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D [解析] 设幂函数f(x)＝xa，则f(3)＝3a＝，解得a＝，则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
3．(2016·高考全国卷甲)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
D [解析] 法一：(通性通法)函数y＝10lg x的定义域为(0，＋∞)，又当x＞0时，y＝10lg x＝x，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D选项符合．
法二：(光速解法)易知函数y＝10lg x中x＞0，排除选项A、C；又10lg x必为正值，排除选项B.故选D.
4．(2016·贵州省适应性考试)函数y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是( )
A．(0，0) B．(0，－1)
C．(－2，0) D．(－2，－1)
C [解析] 法一：因为函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C正确．
法二：令x＋2＝0，x＝－2，得f(－2)＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C正确．
5．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
C [解析] 易知f(x)为减函数，因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．
6.(2016·沈阳市教学质量监测(一))若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )
B [解析] 由函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象可知，a＝3，所以y＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)均为减函数，只有y＝x3是增函数，选B.
7．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是( )
C [解析] 随着时间的增加，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.
8．(2016·石家庄市第一次模考)已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，若a＝f(－3)，b＝f，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
D [解析] 由函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，得y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3), 所以a＞c＞b，选项D正确．
9．已知函数f(x)＝ln x－2[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f(x)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [解析] 设g(x)＝ln x，h(x)＝2[x]－3，当00，当－1
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