高考第一轮复习数学51向量的概念向量的加法与减法实数与向量的积

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高考第一轮复习数学51向量的概念向量的加法与减法实数与向量的积

七.平面向量 ‎7.1 本章说明 充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份,是数形结合的重要体现,因此,平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。‎ ‎7.2基本知识储备:‎ ‎7.2.1基本概念 ‎1.向量的基本要素:大小和方向. ‎2.向量的表示:几何表示法 ;字母表示:a;‎ 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).因此向量可以分解为任意不共线的两个方向的向量之和。‎ ‎3.向量的长度:即向量的大小,记作|a|. ‎4.特殊的向量:零向量a=O|a|=O. 单位向量aO为单位向量|aO|=1. ‎5.相等的向量:大小相等,方向相同(x1,y1)=(x2,y2) ‎6. 相反向量:a=-bb=-aa+b=0‎ ‎7.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. ‎(1)平面向量基本定理 e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. ‎(2)两个向量平行的充要条件 a∥ba=λb(b≠0)x1y2-x2y1=O. ‎(3)两个向量垂直的充要条件 a⊥ba·b=Ox1x2+y1y2=O. ‎7.2.2 向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质(坐标+几何)‎ 向量的 加法 ‎1.平行四边形法则 ‎2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 , 数 乘 向 量 ‎1.是一个向量,满足: ‎2.>0时, 同向;‎ <0时, 异向;‎ =0时, .‎ 向 量 的 数 量 积 是一个数 ‎1.时,‎ .‎ ‎2. ‎ 说明:1.加减法的几何表示 ‎2.运算性质运用时通常是代数与几何结合使用。‎ ‎3.向量的数量积:‎ ‎①a·b=|a||b|cosθ, ‎ 夹角公式:;‎ ‎ 平行:A||bb=λa ;‎ ‎ 垂直:ab(a0)a·b=0。‎ ‎②||cos称为在的方向上的投影,·的几何意义是:的长度||在的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零),而不是向量。 ‎ ‎4. 向量的数量积与实数的积的相同点:‎ 实数的乘积 向量的数量积 运算的结果是一个实数 运算的结果是一个实数 交换律 分配律 ‎ 且 ‎ |‎ 向量的数量积与实数的积的不同点:‎ 实数的乘积 向量的数量积 结合律 或 ‎ ‎ ‎7.2.3 向量的运用 ‎1. 线段的定比分点公式 设点P分有向线段所成的比为λ,即,则 =+ (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式) 当λ=1时,得中点公式: =(+)或 ‎ ‎2. 平移公式 点按向量a=平移后得到点 ‎ 始终不变的是这个关系式:=+a, 即 ,故有:‎ m= m= 但向量平移,向量的坐标是不会变化的。‎ ‎3. 正、余弦定理 正弦定理: 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC. ‎ 附:三角形的五个“心”设为所在平面上一点,角所对边长分别为:‎ 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点 ‎ 三角形面积计算公式:‎ 设△ABC的三边为a,b,c,其高分别为ha,hb,hc,半周长为P,外接圆、内切圆的半径为R,r.‎ ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/‎2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式] ‎ ⑥S△=1/2(b+c-a)ra=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb ‎[注]:到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心.‎ ‎7.3 考查方式 ‎7.3.1 考题主要特点 特点一:考小题,重在于基础.‎ 有关平面向量的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,平面向量数量积、加减运算是考查的重点,向量共线,向量垂直,向量的模,坐标运算等内容的试题都突出了对平面向量基础知识的考查.‎ 特点二:考大题,与其它知识结合.‎ 考查平面向量的大题,经常与三角、圆锥曲线、函数结合,与三角函数相结合的试题难度不大,属中档题,与圆锥曲线、函数相结合的试题,属中等偏难,主要考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.‎ 特点三:考方法,常体现数形结合的思想方法.‎ 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标, 体现了数形结合的思想。‎ 7.3.2 主要考查内容:‎ ‎1.考查向量的基本概念和几何意义,这部分以小题为主:‎ A组 题型1:平面向量的概念 例1.(1)给出下列命题:‎ ‎①若||=||,则=;‎ ‎②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;‎ ‎③若=,=,则=;‎ ‎④=的充要条件是||=||且//;‎ ‎⑤ 若//,//,则//;‎ 其中正确的序号是 。‎ ‎(2)设为单位向量,(1)若为平面内的某个向量,则=||·;(2)若与a0‎ 平行,则=||·;(3)若与平行且||=1,则=。上述命题中,假命题个数是( )‎ A.0 B.‎1 ‎ C.2 D.3‎ 解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同;‎ ‎②正确;∵ ,∴ 且,‎ 又 A,B,C,D是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则,且,‎ 因此,。‎ ‎③正确;∵ =,∴ ,的长度相等且方向相同;‎ 又=,∴ ,的长度相等且方向相同,‎ ‎∴ ,的长度相等且方向相同,故=。‎ ‎ ④不正确;当//且方向相反时,即使||=||,也不能得到=,故||=||且//不是=的充要条件,而是必要不充分条件;‎ ‎ ⑤不正确;考虑=这种特殊情况;‎ ‎ 综上所述,正确命题的序号是②③。‎ 点评:本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多,因而容易遗忘。为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。‎ ‎(2)向量是既有大小又有方向的量,与||模相同,但方向不一定相同,故(1)是假命题;若与平行,则与方向有两种情况:一是同向二是反向,反向时=-||,故(2)、(3)也是假命题。综上所述,答案选D。‎ 点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。‎ 题型2:平面向量的运算法则 例2.(1)如图所示,已知正六边形ABCDEF,O是它的中心,若=,=,试用,将向量,,, 表示出来。‎ ‎(2)(06上海理,13)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )‎ A.= B.+= C.-= D.+= ‎(3)(06广东,4)如图1所示,D是△ABC的边AB 上的中点,则向量( )‎ A. B. C. D. ‎(1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量,来表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。‎ 因为六边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心O及顶点A,B,C四点构成平行四边形ABCO,‎ 所以,=+,= =+,‎ 由于A,B,O,F四点也构成平行四边形ABOF,所以=+=+=++=2+,‎ 同样在平行四边形 BCDO中,===+(+)=+2,==-。‎ 点评:其实在以A,B,C,D,E,F及O七点中,任两点为起点和终点,均可用 ,表示,且可用规定其中任两个向量为,,另外任取两点为起点和终点,也可用,表示。‎ ‎(2)C.‎ ‎(3),故选A。‎ 例3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:‎ ‎①,②,③。‎ 解析:①原式= ;‎ ‎②原式= ;‎ ‎③原式= 。‎ 例4.设为未知向量,、为已知向量,解方程2-(5+3-4)+ -3=0‎ 解析:原方程可化为:(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0,‎ ‎∴ =+ 。‎ 点评:平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时兼顾到向量的性质。‎ 题型3:平面向量的坐标及运算 例5.已知中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,1),BC边上的高为AD,求。‎ 解析:设D(x,y),则 ‎∵ 得 所以。‎ 例6.已知点,试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标。‎ 解析:设,则 因为是与的交点,所以在直线上,也在直线上。‎ 即得,由点得,。‎ 得方程组,解之得。‎ 故直线与的交点的坐标为。‎ 题型4:平面向量的性质 例7.平面内给定三个向量,回答下列问题:‎ ‎(1)求满足的实数m,n;‎ ‎(2)若,求实数k;‎ ‎(3)若满足,且,求。‎ 解析:(1)由题意得,所以,得。‎ ‎(2),‎ ;‎ ‎(3) 由题意得,得或。‎ 例8.已知 ‎(1)求;‎ ‎(2)当为何实数时,与平行, 平行时它们是同向还是反向?‎ 解析:(1)因为 所以 则 ‎(2), 因为与平行,所以即得。‎ 此时,,则,即此时向量与方向相反。‎ 点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。‎ 题型5:共线向量定理及平面向量基本定理 例9.(2002天津文12,理10)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )‎ A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5‎ C.2x-y=0 D.x+2y-5=0‎ 解法一:设,则。‎ 由得,‎ 于是,先消去,由得。‎ 再消去得,所以选取D。‎ 解法二:由平面向量共线定理,‎ 当,时,A、B、C共线。‎ 因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得即选D。‎ 点评:熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向量平行的坐标表示;运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。‎ 例10.(1)(06福建理,11)已知︱︱=1,︱︱=,=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于( )‎ A. B.‎3 C. D. A B O M 图 ‎(2)(06湖南文,10)如图:OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对(x,y)可以是( )‎ A.     B. C. D. 解析:(1)B;(2)C。‎ 练习:‎ 例1、(07北京)已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( A )‎ A. B. ‎ C. D. 例2(07浙江)若非零向量满足,则( C )‎ A. B. C. D. 例3(07山东) 在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是( C )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) 例4(08全国)在中,,.若点满足,则( A )‎ A. B. C. D. 例5、(2007陕西)如图,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,‎ ‎|| =,若=λ+μ(λ,μ∈R),‎ 则λ+μ的值为 6 .‎ 例6(2008湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与( A )‎ A.反向平行 B.同向平行 ‎ C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 例7(2008安徽)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则( B )‎ A. (-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) ‎ 例8(2009上海)直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若,则的可能值个数是( B )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 例9(2008广东)在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则( B )‎ A. B. C. D. ‎2. 考查向量的数量积和相关运算 平面向量本身的综合,特别是平面向量的坐标表示,线性运算,基本定理以及内积的应用,以及课本例题的教学价值,例如2002年的选择题 ‎ (2002—文(12),理(10))‎ 平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,,若点满足,其中,且,则点的轨迹方程为(   ).‎ ‎  (A)  (B) ‎(C)      (D) 这道题可以用向量的坐标表示计算。‎ 设,由题意.‎ 于是        ‎ ‎①+②×2得 ‎    . ‎ 于是点的轨迹方程为.‎ 但是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题例5,已知不共线,,,则有 ,‎ 如果用表示,表示,则有.  ‎ 这里给出了共线的一个条件.而2002年选择题恰恰就是这个例题的变化,因此点在两点确定的直线上,利用两点式直线方程公式立即有 ‎  ,即 .‎ 从这道试题可以启发我们,在教学中一定要落实课本,落实课本的例题,挖掘课本例题在培养数学能力上的作用.‎ 题型1:数量积的概念 例1.判断下列各命题正确与否:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3)若,则;‎ ‎(4)若,则当且仅当时成立;‎ ‎(5)对任意向量都成立;‎ ‎(6)对任意向量,有。‎ 解析:(1)错;(2)对;(3)错;(4)错;(5)错;(6)对。‎ 点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚为零向量,而为零。‎ 例2.(1)(2002上海春,13)若、、为任意向量,m∈R,则下列等式不一定 成立的是( )‎ A. B. C.m()=m+m D. ‎(2)(2000江西、山西、天津理,4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ‎①(·)-(·)= ②||-||<|-| ③(·)-(·)不与垂直 ‎④(3+2)(3-2)=9||2-4||2中,是真命题的有( )‎ A.①② B.②③ C.③④ D.②④‎ 解析:(1)答案:D;因为,而;而方向与方向不一定同向。‎ ‎(2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知||、||、|-|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;③因为[(·)-(·)]·=(·)·-(·)·=0,所以垂直.故③假;④(3+2)(3-2)=9··-4·=9||2-4||2成立。故④真。‎ 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。‎ 题型2:向量的夹角 例3.(1)(06全国1文,1)已知向量、满足、,且,则与的夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎(2)(06北京文,12)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且,那么与的夹角的大小是 。‎ ‎(3)已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角。‎ ‎(4)(2005北京3)| |=1,| |=2,= + ,且⊥,则向量与的夹角为 ‎ ‎ ( )‎ ‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ 解析:(1)C;(2);‎ ‎(3)由题意,,且与的夹角为,‎ 所以,,‎ ,‎ ,‎ 同理可得。‎ 而,‎ 设为与的夹角,‎ 则。‎ ‎(4)C;设所求两向量的夹角为 ‎     ‎   即: 所以 点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握。‎ 例4.(1)(06全国1理,9)设平面向量、、的和。如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与同向,其中,则( )‎ A.-++= B.-+= C.+-= D.++= ‎(2)(06湖南理,5)已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是( )‎ A. B. C. D. 解析:(1)D;(2)B;‎ 点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问题。‎ 题型3:向量的模 例5.(1)(06福建文,9)已知向量与的夹角为,则等于( )‎ ‎ A.5    B.‎4 ‎   C.3    D.1‎ ‎(2)(06浙江文,5)设向量满足,,则( )‎ A.1 B.‎2 C.4 D.5‎ 解析:(1)B;(2)D;‎ 点评:掌握向量数量积的逆运算,以及。‎ 例6.已知=(3,4),=(4,3),求x,y的值使(x+y)⊥,且|x+y|=1。‎ 解析:由=(3,4),=(4,3),有x+y=(3x+4y,4x+3y);‎ 又(x+y)⊥(x+y)·=03(3x+4y)+4(4x+3y)=0;‎ 即25x+24y=0 ①;‎ 又|x+y|=1|x+y|2=1;‎ (3x+4y)2+(4x+3y)2=1;‎ 整理得25x2+48xy+25y2=1即x(25x+24y)+24xy+25y2=1 ②;‎ 由①②有24xy+25y2=1 ③;‎ 将①变形代入③可得:y=±;‎ 再代回①得:。‎ 点评:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想。‎ 题型4:向量垂直、平行的判定 例7.(2005广东12)已知向量,,且,则 。‎ 解析:∵,∴,∴,∴。‎ 例8.已知,,,按下列条件求实数的值。(1);(2);。‎ 解析: ‎(1);‎ ‎(2);‎ 。‎ 点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。‎ ‎3. 考查平面向量与其它知识的结合。‎ A.与平面几何的结合:‎ ‎①在平行四边形中,‎ 若,则,即菱形模型。‎ 若,则,即矩形模型。‎ ‎②在中,‎ ,是的外心;‎ 一定过的中点;通过的重心;‎ ,是的重心;‎ ,是的垂心;‎ 通过的内心;‎ 则是的内心;‎ .‎ 例11.(2002年高考题)已知两点,且点P(x,y)使得,成公差小于零的等差数列。‎ ‎(1)求证;‎ ‎(2)若点P的坐标为,记与的夹角为,求。‎ 解析:(1)略解:,由直接法得 ‎(2)当P不在x轴上时,‎ 而 所以,当P在x轴上时,,上式仍成立。‎ 图1‎ 点评:由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系,由面积相等法建立等量关系。‎ 例12.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角。‎ 已知:如图,AB是⊙O的直径,点P是⊙O上任一点(不与A、B重合),求证:∠APB=90°。‎ 证明:联结OP,设向量,则且, ,即∠APB=90°。‎ 点评:平面向量是一个解决数学问题的很好工具,它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。‎ 题型7:平面向量在物理中的应用 例13.如图所示,正六边形PABCDE的边长为b,有五个力、作用于同一点P,求五个力的合力。‎ 解析:所求五个力的合力为,如图3所示,以PA、PE为边作平行四边形PAOE,则,由正六边形的性质可知,且O点在PC上,以PB、PD为边作平行四边形PBFD,则,由正六边形的性质可知,且F点在PC的延长线上。‎ 由正六边形的性质还可求得 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为,方向与的方向相同。‎ B.与代数的结合 弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点:‎ 代数不等式:由, ,可得 ‎ 。‎ 例9.已知。‎ ‎ 分析:,可以看作向量的模的平方,而则是、的数量积,从而运用数量积的性质证出该不等式。‎ ‎ 证明:设 ‎ 则。‎ 点评:在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如等。‎ 例10.已知,其中。‎ ‎ (1)求证:与互相垂直;‎ ‎ (2)若与()的长度相等,求。‎ ‎ 解析:(1)因为 ‎ ‎ 所以与互相垂直。‎ ‎ (2),‎ ‎ ,‎ ‎ 所以,‎ ‎ ,‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 有,‎ ‎ 因为,故,‎ ‎ 又因为,‎ 所以。‎ 点评:平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化,从而提高解题的速度。‎ C.与解析几何结合 ‎①定比分点公式 若,则是的定比分点,为定比,满足。‎ ‎②点向式直线方程 已知点及方向向量,可确定过,以为方向向量的直线方程为 ‎ ‎ ‎(3)精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。‎ 例1、已知a=,b,c=a+b,是否存在实数,使a 与c的夹角为锐角,若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由。(考查数量积的应用及严密的推理能力)‎ 例2、在坐标平面上有两个向量a,b,其中。‎ ‎(Ⅰ)证明(a+b)(a- b);‎ ‎(Ⅱ) ka+b = a-kb ,求的值,其中为非零常数。(考查数量积与三角函数综合)‎ 例3、已知的面积为,且。‎ ‎(Ⅰ)若,求向量与的夹角的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)记,(),,若以为中心,为焦点的椭圆经过点,当取得最小值时,求此椭圆方程。(考查平面向量的数量积,三角函数的值,解析几何,函数最值的综合)‎ 例4、已知,,,若,,()。‎ ‎(Ⅰ)求的解析式;‎ ‎(Ⅱ)若点在曲线上运动,求在时的最小值;‎ ‎(Ⅲ)把的图像按向量a平移得到曲线,过坐标原点作交于两点,直线交轴于点,当为锐角时,求的取值范围。(考查平面向量数量积的坐标表示,函数的最值,图像的平移,解不等式,解析几何的有关知识)‎ 例5、是否存在4个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量的和与其余两个向量之和垂直。(存在性问题,向量的基本运算与平面几何综合)‎ 例6、一条河的两岸平行,河宽,一小船从处出发航行到对岸,小船速 度为v1,且 v1 /秒,水流速度为v2, v2 /秒。‎ ‎(Ⅰ)当v1,v2夹角为多大时,船才能到达对岸处,此时位移的大小,方向怎样?时间是多少?‎ ‎(Ⅱ) 当v1,v2夹角为多大时,小船航行的时间最少?此时位移的大小方向怎样?时间是多少?‎ ‎7.4 本章历年真题 ‎08‎ ‎1. 已知数列|an|对任意的p,q∈Nm满足ap+q=ap+aq,且aP=-6,那么ap+q等于 ‎(A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21‎ ‎2. 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b·(‎2a+b)的值为    。‎ ‎07‎ ‎1. 已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎06‎ ‎1. 若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的 ‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎ ‎05 ‎ ‎1. 若,且,则向量与的夹角为 ‎ (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°‎
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