高考第一轮复习数学134函数的连续性及极限的应用

高考第一轮复习数学134函数的连续性及极限的应用

‎13.4 函数的连续性及极限的应用 ‎●知识梳理 ‎1.函数的连续性.‎ 一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：‎ ‎（1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.‎ ‎2.如果f（x）是闭区间［a,b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［a,b］上有最大值和最小值.‎ ‎3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数f［u（x）］在点x0处也连续.‎ 特别提示 ‎ （1）连续必有极限,有极限未必连续.‎ ‎（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的.‎ ‎●点击双基 ‎1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.‎ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.‎ 答案：A ‎2.f（x）=的不连续点为 A.x=0‎ B.x=（k=0,±1,±2,…）‎ C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）‎ D.x=0和x=（k=0,±1,±2,…）‎ 解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=.‎ 又x=0也不是连续点,故选D 答案：D ‎3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是 A.① B.②③ C.①④ D.③④‎ 答案：A ‎4.四个函数:①f（x）=;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）‎ 答案：②③④‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 （1）讨论函数f（x）= ‎（2）讨论函数f（x）=在区间［0,3］上的连续性.‎ 剖析：（1）需判断f（x）=f（x）=f（0）.‎ ‎（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.‎ 解:（1）∵f（x）=－1, f（x）=1,‎ f（x）≠f（x）,‎ ‎∴f（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续.‎ ‎（2）∵f（x）在x=3处无定义,‎ ‎∴f（x）在x=3处不连续.‎ ‎∴f（x）在区间［0,3］上不连续.‎ ‎【例2】 设f（x）=当a为何值时,函数f（x）是连续的.‎ 解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）,‎ 即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,‎ f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.‎ 评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.‎ ‎【例3】 如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a（a＞0）个单位后,向左转90°,前进a r（0＜r＜1＝个单位,再向左转90°,又前进a r2个单位,…,如此连续下去.‎ ‎（1）若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?‎ ‎（2）若其中的r为变量,且0＜r＜1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?‎ 剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置.‎ ‎（2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.‎ 解:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（x,y）,则 x=a－ar2+ar4－…==,‎ y=ar－ar3+ar5－…=,‎ ‎∴大本营应在点（,）附近去寻找小分队.‎ ‎（2）由消去r得（x－）2+y2=（其中x＞,y＞0）,‎ 即行动的最终目的地在以（,0）为圆心,为半径的圆上.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.函数f（x）=则有 A.f（x）在x=1处不连续 B.f（x）在x=2处不连续 C.f（x）在x=1和x=2处不连续 D.f（x）处处连续 解析：f（x）=0, f（x）=1,‎ ‎∴f（x）在x=1处不连续.‎ 答案：A ‎2.若f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上 A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 D.以上均不正确 解析：有定义不一定连续.‎ 答案：C ‎3.已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续 A.处处连续 B.x=1‎ C.x=0 D.x= 解析：f（x）= f（x）=f（）.‎ 答案：D ‎4.有以下四个命题:‎ ‎①f（x）=在［0,1］上连续;‎ ‎②若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值;‎ ‎③=4;‎ ‎④若f（x）=则f（x）=0.‎ 其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上）‎ 答案：③‎ ‎5.抛物线y=b（）2、x轴及直线AB:x=a围成了如图（1）的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值,求S.‎ 解：S=［b·（）2+b·（）2+b·（）2+…+b·（）2］2· ‎=·ab ‎=·ab=ab.‎ 培养能力 ‎6.求y=f（x）=的不连续点.‎ 解：易求f（x）的定义域为{x|x≠－1,0,1},所以f（x）的不连续点为x=－1,x=0和x=1.‎ ‎7.（2002年春季上海）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.‎ ‎（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a３，并用k、n和b表示ak（不必证明）;‎ ‎（2）证明：ak＞ak＋1（k＝1，2，…，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；‎ ‎（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求Pn（b）（可用公式 （1－）n=）. ‎ ‎（1）解：a1＝，a2＝（1－）·b，a3＝（1－）2·b，…，ak＝（1－）k－1·b.‎ ‎（2）证明:ak－ak＋1＝（1－）k－1·b＞０，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则.‎ ‎（3）解:设fk（b）表示发给第k位职工后所剩余额，则f1（b）＝（1－）·b，f2（b）＝（1－）2·b，…，f k（b）＝（1－）k·b，‎ 得Ｐn（b）＝fn（b）＝（1－）n·b,‎ 故Ｐn（b）＝.‎ 探究创新 ‎8.（2003年北京）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（n∈N*）.‎ ‎（1）证明{an}是等比数列；‎ ‎（2）求（a1+a2+…+an）的值.‎ ‎（1）证明:记rn为圆On的半径，‎ 则r1=tan30°=l.‎ =sin30°=,∴rn=rn－1（n≥2）.‎ 于是a1=πr12=,=（）2=,‎ ‎∴{an}成等比数列.‎ ‎（2）解：因为an=（）n－1·a1（n∈N*）,‎ 所以（a1+a2+…+an）==.‎ ‎●思悟小结 ‎1.函数f（x）在点x0处连续反映到函数f（x）的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数f（x）在点x0处不连续（间断）大致有以下几种情况（如下图所示）.‎ 图甲表示的是f（x）在点x0处的左、右极限存在但不相等,即f（x）不存在.‎ 图乙表示的是f（x）在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于f（x）不存在的情况.‎ 图丙表示的是f（x）存在,但函数f（x）在点x0处没有定义.‎ 图丁表示的是f（x）存在,但它不等于函数在这一点处的函数值f（x0）.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.函数f（x）在点x0处连续与f（x）在点x 0处有极限的联系与区别:‎ 其联系是:f（x）在点x0处连续是依据f（x）在点x0处的极限来定义的,它要求f（x）存在.‎ 其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,f（x）在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于f（x）的定义域,也可以不属于f（x）的定义域,即与f（x0）是否有意义无关,而f（x）在点x0处连续,要求f（x）在点x0及其附近都有定义;其次,f（x）在点x0处的极限（值）与f（x）在点x0处的函数值f（x0）可以无关,而f（x）在点x0处连续,要求f（x）在点x0处的极限（值）等于它在这一点的函数值f（x0）.‎ 我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.‎ ‎2.函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件:‎ 函数f（x）在点x=x0处有定义;‎ 函数f（x）在点x=x0处有极限;‎ 函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值,即f（x）=f（x0）.‎ 这三个条件缺一不可,是我们判断函数在一点处是否连续的重要工具.‎ ‎●拓展题例 ‎【例题】 一弹性小球自h0=‎5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间.‎ 解：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0==10（m/s）,那么第二,第三,…,第n+1次落地速度分别为v1=v0,v2=（）2v0,…,vn=（）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h0=‎5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2×=10×（.‎ 小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2,则L2=2×=10×（）4.‎ 由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为Ln=10×（）2n.‎ 故从第一次到第n+1次所经过的路程为 Sn+1=h0+L1+L2+…+Ln,则整个过程总路程为 S=Sn+1=5+10×=5+10=20.3（m）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t0==1（s）.‎ 小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2×=2×,同理可得 tn=2×（）n,tn+1=t0+t1+t2+…+tn,则t=tn+1=1+2×=8（s）.‎ 上例是借助数学工具来解决物理问题,这样有利于学生对数学知识的进一步理解,增强学生对数学的应用意识,培养学生的数学应用能力.‎