【数学】2019届一轮复习北师大版函数、不等式恒成立问题学案
热点四 函数、不等式中恒成立问题
纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查，重点是涉及到一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.往往与导数相结合，在处理复杂问题时转化成为“恒成立问题”.解答这类题目应首先克服畏惧心理，通过总结高中阶段出现的这类问题的类型，形成完整的知识、方法体系，提高应对能力.
一. 函数性质法
1.一次函数
若内恒有,则根据函数的图像
可得可合并成,同理若内恒有则有
例1对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围.
【答案】或.
【解析】在不等式中出现了两个变量 、,并且是给出了的范围要求的相应范围，直接从的不
等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 看作自变量，看成参变量，则上述问题即可转化为
在[-2，2]内关于的一次函数函数值大于0恒成立求参变量的范围的问题.
解 原不等式可化为,令,则原问题等价于
在上恒成立，故有
o
y
2
-2
x
y
-2
2 x
方法一 或∴或.
方法二 即解得 ∴或.
2. 二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解
有以下几种基本类型 学
类型1 设
（1） 上恒成立；
（2）上恒成立．
类型2 设
（1）当时，上恒成立
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
例2【2018届内蒙古包钢第一中学高三上第一次月考】若不等式对一切实数恒成立,则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对一切实数恒成立,所以,
所以0
y>0的实数x、y恒成立，
∴，令=t>1，
∴， ，
当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;
当时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。
∴当时,f(t)取得最小值, .
∴实数c的最大值为.
三． 主参换位——反客为主法
某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度 “反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．
例6【2018届高三数学训练】对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．
【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)
四． 数形结合
若所给不等式进行合理的变形化为（或）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．
例7．求证 ，对于恒有成立.
【答案】.
【解析】原方程可化为，由图像可知，，函数单调递增
，故得证.
五． 消元转化法
例8．已知是定义在上的奇函数，且，若，若
对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】
【解析】本题不等式中有三个变量，可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得是定义在
上的增函数，所以在[-1，1]上最大值是，问题可转化为 对于所有的
恒成立，把问题的到转化.
六． 应用导数研究恒成立问题
通过导数证明不等式或研究不等式恒成立问题的基本思路是 以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最（极）值为助手，利用转化与化归思想，从数形结合、分类讨论等多视角进行探究，经常是把不等式问题转化为判断函数的单调性、求函数的最值，利用最值得出相应结论，其中分类讨论是经常用到的数学思想方法．
例9【2018届皖江名校高三12月份大联考】已知函数（其中）在点处的切线斜率为1.学
（1）用表示；[ 学 ]
（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；
（3）在（2）的前提下，如果，证明 .
【答案】（1）；（2）；（III）证明见解析.
【解析】试题分析 （1）由题意即得；
（2）在定义域上恒成立，即，由恒成立，得，再证当时， 即可；
（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，需要证明，令，可证得在上单调递增， 即可证得.
试题解析
（1），由题意
（2）在定义域上恒成立，即。
解法二 （分离变量）恒成立，分离变量可得
对恒成立，
令，则。
这里先证明，记，则，
易得在上单调递增，在上单调递减， ，所以。
因此， ，且时，
所以，实数的取值范围是。
（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，
当时，不妨设，要证明，等价于，
只需要证明，这里，
令
，求导得
.
注意当时， ， ，（可由基本不等式推出）又
因此可得，当且仅当时等号成立。[ 学 ]
所以在上单调递增， ，也即，
因此，此时都在单调递增区间上，
所以，得
【反思提升】上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法 一是利用二次函数在区间上的最值 处理；二是分离参数，再去求函数的最值 处理，一般后者比较简单.（5）值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景，度过有意义的时光.
