2014年山东省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2014年山东省高考数学试卷(理科)

‎2014年山东省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a﹣i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(  )‎ A.5﹣4i B.5+4i C.3﹣4i D.3+4i ‎2.(5分)设集合A={x||x﹣1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=(  )‎ A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)‎ ‎3.(5分)函数f(x)=的定义域为(  )‎ A.(0,) B.(2,+∞) C.(0,)∪(2,+∞) D.(0,]∪[2,+∞)‎ ‎4.(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  )‎ A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 ‎5.(5分)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(  )‎ A.> B.ln(x2+1)>ln(y2+1)‎ C.sinx>siny D.x3>y3‎ ‎6.(5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(  )‎ A.2 B.4 C.2 D.4‎ ‎7.(5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]‎ ‎,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为(  )‎ A.6 B.8 C.12 D.18‎ ‎8.(5分)已知函数f(x)=丨x﹣2丨+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,+∞)‎ ‎9.(5分)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为(  )‎ A.5 B.4 C. D.2‎ ‎10.(5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )‎ A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0‎ ‎ ‎ 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11.(5分)执行如图程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为  .‎ ‎12.(5分)若△ABC中,已知•=tanA,当A=时,△ABC的面积为  .‎ ‎13.(5分)三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D﹣ABE的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,则=  .‎ ‎14.(5分)若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为  .‎ ‎15.(5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈R),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈R),y=h(x)满足:对任意x∈R,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16.(12分)已知向量=(m,cos2x),=(sin2x,n),函数f(x)=•,且y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2).‎ ‎(Ⅰ)求m,n的值;‎ ‎(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<‎ π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.‎ ‎17.(12分)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:C1M∥平面A1ADD1;‎ ‎(Ⅱ)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.‎ ‎18.(12分)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其它情况记0分.对落点在A上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响,求:‎ ‎(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;‎ ‎(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.‎ ‎19.(12分)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令bn=(﹣1)n﹣1,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎20.(13分)设函数f(x)=﹣k(+‎ lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).‎ ‎(Ⅰ)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.‎ ‎21.(14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,‎ ‎(ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;‎ ‎(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2014年山东省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.(5分)(2014•山东)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a﹣i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(  )‎ A.5﹣4i B.5+4i C.3﹣4i D.3+4i ‎【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值,即可得到(a+bi)2的值.‎ ‎【解答】解:∵a﹣i与2+bi互为共轭复数,则a=2、b=1,‎ ‎∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•山东)设集合A={x||x﹣1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=(  )‎ A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)‎ ‎【分析】求出集合A,B的元素,利用集合的基本运算即可得到结论.‎ ‎【解答】解:A={x丨丨x﹣1丨<2}={x丨﹣1<x<3},‎ B={y丨y=2x,x∈[0,2]}={y丨1≤y≤4},‎ 则A∩B={x丨1≤y<3},‎ 故选:C ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•山东)函数f(x)=的定义域为(  )‎ A.(0,) B.(2,+∞) C.(0,)∪(2,+∞) D.(0,]∪[2,+∞)‎ ‎【分析】根据函数出来的条件,建立不等式即可求出函数的定义域.‎ ‎【解答】解:要使函数有意义,则,‎ 即log2x>1或log2x<﹣1,‎ 解得x>2或0<x<,‎ 即函数的定义域为(0,)∪(2,+∞),‎ 故选:C ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•山东)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  )‎ A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 ‎【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.‎ ‎【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,‎ ‎∴用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是:方程x3+ax+b=0没有实根.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•山东)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(  )‎ A.> B.ln(x2+1)>ln(y2+1)‎ C.sinx>siny D.x3>y3‎ ‎【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.‎ ‎【解答】解:∵实数x,y满足ax<ay(0<a<1),∴x>y,‎ A.若x=1,y=﹣1时,满足x>y,但==,故>不成立.‎ B.若x=1,y=﹣1时,满足x>y,但ln(x2+1)=ln(y2+1)=ln2,故ln(x2+1)>ln(y2+1)不成立.‎ C.当x=π,y=0时,满足x>y,此时sinx=sinπ=0,siny=sin0=0,有sinx>siny,但sinx>siny不成立.‎ D.∵函数y=x3为增函数,故当x>y时,x3>y3,恒成立,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•山东)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(  )‎ A.2 B.4 C.2 D.4‎ ‎【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分上限为2,积分下限为0的积分,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.‎ ‎【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为2,积分下限为0,‎ 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫(4x﹣x3)dx,‎ 而∫(4x﹣x3)dx=(2x2﹣x4)|=8﹣4=4,‎ ‎∴曲边梯形的面积是4,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•山东)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为(  )‎ A.6 B.8 C.12 D.18‎ ‎【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率,即可求出第三组中有疗效的人数得到答案;‎ ‎【解答】解:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为0.36,所以第三组的人数:18人,‎ 第三组中没有疗效的有6人,‎ 第三组中有疗效的有12人.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•山东)已知函数f(x)=丨x﹣2丨+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,+∞)‎ ‎【分析】画出函数f(x)、g(x)的图象,由题意可得函数f(x)的图象(蓝线)和函数g(x)的图象(红线)有两个交点,数形结合求得k的范围.‎ ‎【解答】解:由题意可得函数f(x)的图象(蓝线)‎ 和函数g(x)的图象(红线)有两个交点,‎ 如图所示:KOA=,‎ 数形结合可得 <k<1,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•山东)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为(  )‎ A.5 B.4 C. D.2‎ ‎【分析】由约束条件正常可行域,然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标,代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方,然后由点到直线的距离公式得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作可行域如图,‎ 联立,解得:A(2,1).‎ 化目标函数为直线方程得:(b>0).‎ 由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最小,z最小.‎ ‎∴2a+b=2.‎ 即2a+b﹣2=0.‎ 则a2+b2的最小值为.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•山东)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )‎ A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0‎ ‎【分析】求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出ab关系,即可求解双曲线的渐近线方程.‎ ‎【解答】解:a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,C1的离心率为:,‎ 双曲线C2的方程为﹣=1,C2的离心率为:,‎ ‎∵C1与C2的离心率之积为,‎ ‎∴,‎ ‎∴=,=,‎ C2的渐近线方程为:y=,即x±y=0.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11.(5分)(2014•山东)执行如图程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 3 .‎ ‎【分析】计算循环中不等式的值,当不等式的值大于0时,不满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可.‎ ‎【解答】解:循环前输入的x的值为1,‎ 第1次循环,x2﹣4x+3=0≤0,‎ 满足判断框条件,x=2,n=1,x2﹣4x+3=﹣1≤0,‎ 满足判断框条件,x=3,n=2,x2﹣4x+3=0≤0‎ 满足判断框条件,x=4,n=3,x2﹣4x+3=3>0,不满足判断框条件,‎ 输出n:3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•山东)若△ABC中,已知•=tanA,当A=时,△ABC的面积为  .‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得AB•AC=,再根据△ABC的面积为 AB•AC•sinA,计算求得结果.‎ ‎【解答】解:△ABC中,∵•=AB•AC•cosA=tanA,‎ ‎∴当A=时,有 AB•AC•=,解得AB•AC=,‎ ‎△ABC的面积为 AB•AC•sinA=××=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•山东)三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D﹣ABE的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,则=  .‎ ‎【分析】画出图形,通过底面面积的比求解棱锥的体积的比.‎ ‎【解答】解:如图,三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,‎ 三棱锥D﹣ABE的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,‎ ‎∴A到底面PBC的距离不变,底面BDE底面积是PBC面积的=,‎ ‎∴==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•山东)若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为 2 .‎ ‎【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,通过x幂指数为3,求出ab关系式,然后利用基本不等式求解表达式的最小值.‎ ‎【解答】解:(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,‎ 所以Tr+1==,‎ 令12﹣3r=3,∴r=3,,‎ ‎∴ab=1,‎ a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号.‎ a2+b2的最小值为:2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•山东)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈R),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈R),y=h(x)满足:对任意x∈R,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是 (2,+∞) .‎ ‎【分析】根据对称函数的定义,将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:根据“对称函数”的定义可知,,‎ 即h(x)=6x+2b﹣,‎ 若h(x)>g(x)恒成立,‎ 则等价为6x+2b﹣>,‎ 即3x+b>恒成立,‎ 设y1=3x+b,y2=,‎ 作出两个函数对应的图象如图,‎ 当直线和上半圆相切时,圆心到直线的距离d=,‎ 即|b|=2,‎ ‎∴b=2或﹣2,(舍去),‎ 即要使h(x)>g(x)恒成立,‎ 则b>2,‎ 即实数b的取值范围是(2,+∞),‎ 故答案为:(2,+∞)‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16.(12分)(2014•山东)已知向量=(m,cos2x),=(sin2x,n),函数f(x)=•,且y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2).‎ ‎(Ⅰ)求m,n的值;‎ ‎(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意可得 函数f(x)=msin2x+ncos2x,再由y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2),解方程组求得m、n的值.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2sin(2x+),根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)=2sin(2x+2φ+)的图象,再由函数g(x)的一个最高点在y轴上,求得φ=,可得g(x)=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得x的范围,可得g(x)的增区间.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可得 函数f(x)=•=msin2x+ncos2x,‎ 再由y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2),可得 .‎ 解得 m=,n=1.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=sin2x+cos2x=2(sin2x+cos2x)=2sin(2x+).‎ 将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后,‎ 得到函数g(x)=2sin[2(x+φ)+]=2sin(2x+2φ+)的图象,显然函数g(x)最高点的纵坐标为2.‎ y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,‎ 故函数g(x)的一个最高点在y轴上,‎ ‎∴2φ+=2kπ+,k∈Z,结合0<φ<π,可得φ=,‎ 故g(x)=2sin(2x+)=2cos2x.‎ 令2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 kπ﹣≤x≤kπ,‎ 故y=g(x)的单调递增区间是[kπ﹣,kπ],k∈Z.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2014•山东)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:C1M∥平面A1ADD1;‎ ‎(Ⅱ)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)连接AD1,易证AMC1D1为平行四边形,利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1;‎ ‎(Ⅱ)作CP⊥AB于P,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间坐标系,易求C1(﹣1,0,),D1,(0,0,),M(,,0),=(1,1,0),=(,,﹣),设平面C1D1M的法向量=(x1,y1,z1),可求得=(0,2,1),而平面ABCD的法向量=(1,0,0),从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)连接AD1,∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱,∴CDC1D1,‎ 又M为AB的中点,∴AM=1.‎ ‎∴CD∥AM,CD=AM,‎ ‎∴AMC1D1,‎ ‎∴AMC1D1为平行四边形,∴AD1∥MC1,又MC1⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,‎ ‎∴C1M∥平面A1ADD1;‎ ‎(Ⅱ)解法一:∵AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,‎ ‎∴面D1C1M与ABC1D1共面,‎ 作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角,‎ 在ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,‎ ‎∴CN=,‎ 在Rt△D1CN中,CD1=,CN=,‎ ‎∴D1N=‎ ‎∴cos∠D1CN===‎ 解法二:作CP⊥AB于P,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间坐标系 则C1(﹣1,0,),D1,(0,0,),M(,,0),‎ ‎∴=(1,0,0),=(,,﹣),‎ 设平面C1D1M的法向量=(x1,y1,z1),‎ 则,∴=(0,2,1).‎ 显然平面ABCD的法向量=(0,0,1),‎ cos<,>|===,‎ 显然二面角为锐角,‎ ‎∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•山东)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其它情况记0分.对落点在A上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响,求:‎ ‎(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;‎ ‎(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.‎ ‎【分析】(Ⅰ)分别求出回球前落点在A上和B上时,回球落点在乙上的概率,进而根据分类分布原理,可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;‎ ‎(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的取值有0,1,2,3,4,6六种情况,求出随机变量ξ的分布列,代入数学期望公式可得其数学期望Eξ.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)小明回球前落点在A上,回球落点在乙上的概率为+=,‎ 回球前落点在B上,回球落点在乙上的概率为+=,‎ 故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×(1﹣)+(1﹣)×=+=.‎ ‎(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,6‎ 其中P(ξ=0)=(1﹣)×(1﹣)=;‎ P(ξ=1)=×(1﹣)+(1﹣)×=;‎ P(ξ=2)=×=;‎ P(ξ=3)=×(1﹣)+(1﹣)×=;‎ P(ξ=4)=×+×=;‎ P(ξ=6)=×=;‎ 故ξ的分布列为:‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ P 故ξ的数学期望为E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•山东)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令bn=(﹣1)n﹣1,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=.对n分类讨论“裂项求和”即可得出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,‎ ‎∴Sn==n2﹣n+na1,‎ ‎∵S1,S2,S4成等比数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴,化为,解得a1=1.‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=(﹣1)n﹣1==.‎ ‎∴Tn=﹣++…+.‎ 当n为偶数时,Tn=﹣++…+﹣‎ ‎=1﹣=.‎ 当n为奇数时,Tn=﹣++…﹣+=1+=.‎ ‎∴Tn=.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2014•山东)设函数f(x)=﹣k(+lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).‎ ‎(Ⅰ)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出导函数,根据导函数的正负性,求出函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,等价于它的导函数f′(x)在(0,2)内有两个不同的零点.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),‎ ‎∴f′(x)=﹣k(﹣)‎ ‎=(x>0),‎ 当k≤0时,kx≤0,‎ ‎∴ex﹣kx>0,‎ 令f′(x)=0,则x=2,‎ ‎∴当0<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;‎ 当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增,‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,‎ 故f(x)在(0,2)内不存在极值点;‎ 当k>0时,设函数g(x)=ex﹣kx,x∈(0,+∞).‎ ‎∵g′(x)=ex﹣k=ex﹣elnk,‎ 当0<k≤1时,‎ 当x∈(0,2)时,g′(x)=ex﹣k>0,y=g(x)单调递增,‎ 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;‎ 当k>1时,‎ 得x∈(0,lnk)时,g′(x)<0,函数y=g(x)单调递减,‎ x∈(lnk,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增,‎ ‎∴函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1﹣lnk)‎ 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点 当且仅当 解得:e 综上所述,‎ 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为(e,)‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2014•山东)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,‎ ‎(ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;‎ ‎(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式,结合等边三角形的性质,求出的p值;‎ ‎(2)(ⅰ)设出点A的坐标,求出直线AB的方程,利用直线l1∥l,且l1‎ 和C有且只有一个公共点E,求出点E的坐标,写出直线AE的方程,将方程化为点斜式,可求出定点;‎ ‎(ⅱ) 利用弦长公式求出弦AB的长度,再求点E到直线AB的距离,得到关于面积的函数关系式,再利用基本不等式求最小值.‎ ‎【解答】解:(1)当点A的横坐标为3时,过点A作AG⊥x轴于G,‎ A(3,),F(,0),,‎ ‎∴.‎ ‎∵△ADF为正三角形,‎ ‎∴.‎ ‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴p=2.‎ ‎∴C的方程为y2=4x.‎ 当D在焦点F的左侧时,.‎ 又|FD|=2|FG|=2(﹣3)=p﹣6,‎ ‎∵△ADF为正三角形,‎ ‎∴3+=p﹣6,解得p=18,‎ ‎∴C的方程为y2=36x.此时点D在x轴负半轴,不成立,舍.‎ ‎∴C的方程为y2=4x.‎ ‎ (2)(ⅰ)设A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,‎ ‎∴D(x1+2,0),‎ ‎∴kAD=﹣.‎ 由直线l1∥l可设直线l1方程为,‎ 联立方程,消去x得①‎ 由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0,∴y1m=﹣2,‎ 这时方程①的解为,代入得x=m2,∴E(m2,2m).‎ 点A的坐标可化为,直线AE方程为y﹣2m=(x﹣m2),‎ 即,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴直线AE过定点(1,0);‎ ‎(ⅱ)直线AB的方程为,即.‎ 联立方程,消去x得,‎ ‎∴,‎ ‎∴=,‎ 由(ⅰ)点E的坐标为,点E到直线AB的距离为:‎ ‎=,‎ ‎∴△ABE的面积=,‎ 当且仅当y1=±2时等号成立,‎ ‎∴△ABE的面积最小值为16.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;maths;qiss;sxs123;刘长柏;wfy814;豫汝王世崇;沂蒙松;静定禅心;minqi5(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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