2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（文）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（文）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设直线l过点(-2, 0)，且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（ ）
A.±1 B.±12 C.±33 D.±3
2. 设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（ ）
A.∁IS1∩(S2∪S3)=⌀ B.S1⊆(∁IS2∩∁IS3)
C.∁IS1∩∁IS2∩∁IS3=⌀ D.S1⊆(∁IS2∪∁IS3)
3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
A.8π3 B.82π3 C.82π D.32π3
4. 函数f(x)=x3+ax2+3x-9，已知f(x)在x=-3时取得极值，则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF // AB，EF=2，则该多面体的体积为( )
A.23 B.33 C.43 D.32
6. 已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的一条准线为x=32，则该双曲线的离心率为（ ）
A.32 B.32 C.62 D.233
7. 当0
-2x的解集为(1, 3)．
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(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
20. 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．
（1）求甲坑不需要补种的概率；
（2）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）
21. 设正项等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0．
（1）求{an}的通项；
（2）求{nSn}的前n项和Tn．
22. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA→+OB→与a→=(3, -1)共线．
(I)求椭圆的离心率；
(II)设M为椭圆上任意一点，且OM→=λOA→+μOB→(λ, μ∈R)，证明λ2+μ2为定值．
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参考答案与试题解析
2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（文）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.C
3.B
4.D
5.A
6.D
7.C
8.B
9.C
10.C
11.B
12.D
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.155
14.6
15.100
16.①③④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)∵ x=π8是函数y=f(x)的图象的对称轴，
∴ sin(2×π8+φ)=±1，
∴ π4+φ=kπ+π2，k∈Z．
∵ -π<φ<0，φ=-3π4．
由y=sin2x向右平移3π8得到．
(2)由(1)知φ=-3π4，因此y=sin(2x-3π4)．
由题意得2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2，k∈Z．
所以函数y=sin(2x-3π4)的单调增区间为[kπ+π8，kπ+5π8]，k∈Z．
(3)由y=sin(2x-3π4)知
x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
y
-22
-1
0
1
0
-22
故函数y=f(x)在区间[0, π]上图象是
18.(1)证明：如图，
∵ PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
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∴ 由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴ CD⊥面PAD．
又CD⊂面PCD，
∴ 面PAD⊥面PCD．
(2)解：过点B作BE // CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角．
连接AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90∘
在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=5，
∴ cos∠PBE=BEPB=105．
∴ AC与PB所成的角为arccos105．
(3)解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴ △AMC≅△BMC，
∴ BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵ CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN⋅MC=CM2-(AC2)2⋅AC，
∴ AN=32×252=65．
∴ AB=2，
∴ cos∠ANB=AN2+BN2-AB22×AN×BN=-23
故所求的二面角为arccos(-23)．
19.解：(1)∵ f(x)+2x>0的解集为(1, 3)，
∴ f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0．
因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a．①
由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0．②
因为方程②有两个相等的根，所以Δ=[-(2+4a)]2-4a⋅9a=0，
即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-15．
由于a<0，舍去a=1，故a=-15．
将a=-15代入①得f(x)的解析式f(x)=-15x2-65x-35．
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-1+2aa)2-a2+4a+1a，
及a<0，可得f(x)的最大值为-a2+4a+1a．
由-a2+4a+1a>0a<0解得a<-2-3或-2+30，所以210q10=1，解得q=12，因而an=a1qn-1=12n，n=1，2，．
（2）由题意知Sn=12(1-12n)1-12=1-12n，nSn=n-n2n．
则数列{nSn}的前n项和Tn=(1+2++n)-(12+222++n2n)，Tn2=12(1+2++n)-(122+223++n-12n+n2n+1)．
前两式相减，得Tn2=12(1+2++n)-(12+122++12n)+n2n+1=n(n+1)4-12(1-12n)1-12+n2n+1即Tn=n(n+1)2+12n-1+n2n-2．
22.解：(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(c,0)
则直线AB的方程为y=x-c，代入x2a2+y2b2=1，
化简得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0．
令A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1+x2=2a2ca2+b2，x1x2=a2c2-a2b2a2+b2．
∵ OA→+OB→=(x1+x2,y1+y2)，a→=(3,-1)，OA→+OB→与a→共线，
∴ 3(y1+y2)+(x1+x2)=0，又y1=x1-c，y2=x2-c，
∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0，
∴ x1+x2=32c．
即2a2ca2+b2=3c2，
所以a2=3b2．
∴ c=a2-b2=6a3，
故离心率e=ca=63．
(II)证明：由(1)知a2=3b2，
所以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(c,0)可化为x2+3y2=3b2．
设M(x, y)，
由已知得(x, y)=λ(x1, y1)+μ(x2, y2)，
∴ x=λx1+μx2y=λy1+μy2
∵ M(x, y)在椭圆上，
∴ (λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2．
即λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2．①
由(1)知a2=32c2，b2=12c2．
∴ x1+x2=3c2，x1x2=a2c2-a2b2a2+b2=38c2
∴ x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=32c2-92c2+3c2=0．
又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，
代入①得λ2+μ2=1．
故λ2+μ2为定值，定值为1．
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