江苏理科数学高考试题含解析

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江苏理科数学高考试题含解析

‎2016年江苏数学高考试题 数学Ⅰ试题 参考公式 圆柱的体积公式:=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高。‎ 圆锥的体积公式:Sh,其中S是圆锥的底面积,h为高。‎ 一、 填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。‎ ‎1.已知集合则________▲________. ‎ ‎2.复数其中i为虚数单位,则z的实部是________▲________. ‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线的焦距是________▲________. ‎ ‎4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________▲________. ‎ ‎5.函数y=的定义域是 ▲ .‎ ‎6.如图是一个算法的流程图,则输出的a的值是 ▲ .‎ ‎7.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .‎ ‎8.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=3,S5=10,则a9的值是 ▲ .‎ ‎9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ▲ .‎ ‎10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于B,C两点,且 ,则该椭圆的离心率是 ▲ .‎ ‎(第10题)‎ ‎11.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[ −1,1)上,其中若,则f(‎5a)的值是 ▲ .‎ ‎12. 已知实数x,y满足,则x2+y2的取值范围是 ▲ . ‎ ‎13.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,,,则的值是 ▲ . ‎ ‎14.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 ▲ . ‎ 二、解答题 (本大题共6小题,共90分.请在答题卡制定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 在中,AC=6,‎ ‎(1)求AB的长;‎ ‎(2)求的值. ‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且,.‎ 求证:(1)直线DE∥平面A‎1C1F;‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥,下部分的形状是正四棱柱(如图所示),并要求正四棱柱的高的四倍. ‎ 若则仓库的容积是多少?‎ (1) 若正四棱柱的侧棱长为‎6m,则当为多少时,仓库的容积最大?‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2,4)‎ (1) 设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ (2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程;‎ (3) 设点T(t,o)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知函数.‎ (1) 设a=2,b=.‎ ① 求方程=2的根;‎ ② 若对任意,不等式恒成立,求实数m的最大值;‎ ‎(2)若,函数有且只有1个零点,求ab的值。‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 记.对数列和的子集T,若,定义;若,定义.例如:时,.现设是公比为3的等比数列,且当时,.‎ 求数列的通项公式;‎ (1) 对任意正整数,若,求证:;‎ ‎(3)设,求证:.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.【选修4—1几何证明选讲】(本小题满分10分)‎ 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.‎ B.【选修4—2:矩阵与变换】(本小题满分10分)‎ 已知矩阵矩阵B的逆矩阵,求矩阵AB.‎ C.【选修4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.‎ D.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分. 请在答题卡指定区域内作答.‎ 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设m,nN*,n≥m,求证:‎ ‎(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).‎ 参考版解析 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ‎ 已知集合,,则 .‎ ‎;‎ i. 由交集的定义可得.‎ 复数,其中为虚数单位,则的实部是 .‎ ‎5;‎ ii. 由复数乘法可得,则则的实部是5.‎ 在平面直角坐标系中,双曲线的焦距是 .‎ ‎;‎ iii. ‎,因此焦距为.‎ 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .‎ ‎;‎ iv. ‎,.‎ 函数的定义域是 .‎ ‎;‎ v. ‎,解得,因此定义域为.‎ 如图是一个算法的流程图,则输出的值是 .‎ ‎9;‎ i. 的变化如下表:‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎5‎ 则输出时.‎ 将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有个点为正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .‎ ‎;‎ ii. 将先后两次点数记为,则共有个等可能基本事件,其中点数之和大于等于10有六种,则点数之和小于10共有30种,概率为.‎ 已知是等差数列,是其前项和.若,,则的值是 .‎ ‎;‎ iii. 设公差为,则由题意可得,, 解得,,则.‎ 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 .‎ ‎7;‎ iv. 画出函数图象草图,共7个交点.‎ 如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是 .‎ ‎;‎ i. 由题意得,直线与椭圆方程联立可得,, 由可得,,, 则,由可得,则.‎ 设是定义在上且周期为2的函数,在区间上 其中,若,则的值是 .‎ ‎;‎ ii. 由题意得,, 由可得,则, 则.‎ 已知实数满足 则的取值范围是 .‎ ‎;‎ i. 在平面直角坐标系中画出可行域如下 为可行域内的点到原点距离的平方. 可以看出图中点距离原点最近,此时距离为原点到直线的距离, ,则, 图中点距离原点最远,点为与交点,则, 则.‎ 如图,在中,是的中点,是上两个三等分点,,, 则的值是 .‎ ‎;‎ ii. 令,,则,,, 则,,,,,, 则,,, 由,可得,,因此, 因此.‎ 在锐角三角形中,,则的最小值是 .‎ ‎8;‎ i. 由,, 可得(*), 由三角形为锐角三角形,则, 在(*)式两侧同时除以可得, 又(#), 则, 由可得,‎ 令,由为锐角可得,‎ 由(#)得,解得 ‎, ,由则,因此最小值为, 当且仅当时取到等号,此时,, 解得(或互换),此时均为锐角.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(本小题满分14分)‎ 在中,,,. ⑴ 求的长; ⑵ 求的值.‎ ⑴;⑵ .‎ 1. ‎,为三角形的内角 ‎,即:;‎ a) 又为三角形的内角 ‎.‎ ‎(本小题满分14分)‎ 如图,在直三棱柱中,分别为的中点,点在侧棱上, 且,.‎ 求证:⑴ 直线平面;‎ ⑵ 平面平面.‎ 见解析;‎ 2. 为中点,为的中位线 又为棱柱,‎ ‎,又平面,且 平面;‎ a) 为直棱柱,平面 ‎,又 且,平面 平面,‎ 又,平面 又平面,‎ 又,,且平面 平面,又 平面平面.‎ ‎(本小题满分14分) 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥,下部分的形状是正四棱柱(如图所示),并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍. ⑴ 若,,则仓库的容积是多少; ⑵ 若正四棱锥的侧棱长为,当为多少时,仓库的容积最大?‎ ⑴;⑵;‎ 1. ‎,则, ,, , 故仓库的容积为;‎ a) 设,仓库的容积为 ‎ 则,,, , , , , 当时,,单调递增, 当时,,单调递减,‎ 因此,当时,取到最大值, 即时,仓库的容积最大.‎ ‎(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆: 及其上一点. ⑴ 设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程; ⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程; ⑶ 设点满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围.‎ ⑴⑵或⑶;‎ 1. 因为在直线上,设,因为与轴相切, 则圆为, 又圆与圆外切,圆:, 则,解得,即圆的标准方程为;‎ a) 由题意得, 设,则圆心到直线的距离, 则,,即, 解得或,即:或;‎ i. ‎,即,即, , 又, 即,解得, 对于任意,欲使, 此时,只需要作直线的平行线,使圆心到直线的距离为, 必然与圆交于两点,此时,即, 因此对于任意,均满足题意, 综上 ‎.‎ ‎(本小题满分14分) 已知函数. ⑴ 设,. ① 求方程的根; ② 若对于任意,不等式恒成立,求实数的最大值; ⑵ 若,,函数有且只有1个零点,求的值.‎ ⑴ ①;②;⑵;‎ 1. ‎① ,由可得, 则,即,则,; ② 由题意得恒成立, 令,则由可得, 此时恒成立,即恒成立 ∵时,当且仅当时等号成立, 因此实数的最大值为.‎ ‎,, 由,可得,令,则递增,‎ 而,因此时, 因此时,,,则; 时,,,则; 则在递减,递增,因此最小值为, ① 若,时,,,则; ‎ ‎ logb2时,,,则; 因此且时,,因此在有零点, 且时,,因此在有零点, 则至少有两个零点,与条件矛盾; ② 若,由函数有且只有1个零点,最小值为, 可得, 由, 因此, 因此,即,即, 因此,则.‎ ‎(本小题满分14分) 记.对数列()和的子集,若,定义;‎ 若,定义.例如:时,.‎ 现设()是公比为的等比数列,且当时,. ⑴ 求数列的通项公式; ⑵ 对任意正整数(),若,求证:; ⑶ 设,,,求证:.‎ ⑴;⑵⑶详见解析;‎ 1. 当时,,因此,从而,;‎ a) ‎;‎ i. 设,,则,,, ,因此原题就等价于证明. 由条件可知. ① 若,则,所以. ② 若,由可知,设中最大元素为,中最大元素为, ‎ ‎ 若,则由第⑵小题,,矛盾. 因为,所以,所以, ,即. 综上所述,,因此.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图,在中,,,为垂足,是中点. 求证:.‎ 详见解析;‎ i. 由可得, 由是中点可得, 则, 由可得, 由可得, 因此, 又可得.‎ B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵,矩阵的逆矩阵,求矩阵.‎ ‎;‎ ii. ‎,因此.‎ C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为,椭圆的参数方程为,设直线与椭圆相交于两点,求线段的长.‎ ‎;‎ i. 直线方程化为普通方程为, 椭圆方程化为普通方程为, 联立得,解得或, 因此.‎ D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)‎ 设,,,求证:.‎ 详见解析;‎ ii. 由可得, .‎ ‎[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(本小题满分10分) 如图,在平面直角坐标系中,已知直线,抛物线. ⑴ 若直线过抛物线的焦点,求抛物线的方程; ⑵ 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.‎ ‎ ①求证:线段上的中点坐标为;‎ ‎ ②求的取值范围.‎ ‎ ‎ ⑴;⑵①见解析;②‎ 1. ‎,与轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为,‎ ‎;‎ a) ① 设点,‎ 则:,即,‎ 又关于直线对称,‎ 即,‎ 又中点一定在直线上 线段上的中点坐标为;‎ ② 中点坐标为 即 ‎,即关于有两个不等根 ‎,,.‎ ‎(本小题满分10分) ⑴ 求的值; ⑵ 设,,求证: .‎ ⑴;⑵详见解析;‎ 1. ‎;‎ a) 对任意的, ① 当时,左边,右边,等式成立, ② 假设时命题成立, 即, 当时, 左边= , 右边, 而, 因此, 因此左边=右边, 因此时命题也成立,‎ 综合①②可得命题对任意均成立.‎ 另解:因为,所以 左边 又由,知 ‎,‎ 所以,左边右边.‎
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