辽宁文科数学高考试题及答案

辽宁文科数学高考试题及答案

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）‎ ‎（1） 已知集合，,则 A∩B=（ ）。‎ ‎（A）｛-1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛0，1，2｝‎ ‎（2）若为实数且,则=（ ）。‎ ‎（A）-4 （B）-3 （C）3 （D）4‎ ‎（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ）。‎ ‎（A） 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著；‎ ‎（B） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 ‎（C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 ‎（D） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎（4）设，，则…………………………………（ ）‎ ‎（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2‎ ‎（5）设是等差数列的前，若 ，则（ ）。‎ ‎（A）5 （B）7 （C）9 （D）11‎ ‎（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如 右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比 值为（ ）。‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）过三点，外接圆的圆心到原点的距离为（ ）。‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入 分别为 14,18，则输出的=‎ ‎（ ）。‎ ‎（A）0 （B）2 （C）4 （D）14‎ ‎（9）已知等比数列满足，‎ ‎，则（ ）。‎ ‎（A）2 （B）1 （C） （D）‎ ‎(10)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90o,C为球面上的动点。若三棱锥O-ABC体积的最大值为36 ，则球O的表面积为（ ）。‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(11) 如图，长方形ABCD的边 AB=2，BC=1，O 是AB的中点，点P沿着边 BC，CD与DA运动，∠BOP=x。将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数，则的图像大致为( ).‎ ‎（ （A） （B） （C） （D）‎ ‎，‎ ‎（12）设函数，则使得成立的的取值范围 是………………………………………………………………………………（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎（13）已知函数的图象过点（-1,4），则 。‎ ‎（14）若满足约束条件，则的最大值为 。‎ ‎（15）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程 为 。‎ ‎（16）已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线相切，则 ‎ 。‎ ‎ 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，。‎ ‎（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求。‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两底分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率表。‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 B地区用户满意度评分的频率表 满意度评分分组 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4。过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。‎ ‎（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；‎ ‎（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。‎ ‎（20）（本小题满分12分） 已知椭圆C：的离心率为，点在C上。‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。‎ 证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值。‎ ‎（21）（本小题满分12分）已知函数。‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围。‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分，做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ‎ 如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边交于M,N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E,F两点。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若AG等于⊙O的半径，且，‎ 求四边形EBCF的面积。‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线(为参数，)，其中。在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ‎，曲线。‎ ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标； （Ⅱ）若与相交于点A，与相交于点B，求|AB|的最大值。‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若，则；‎ ‎（Ⅱ）是的充要条件。‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D B A C B B C C B A ‎【详细解析】‎ ‎1．因为， ，，所以。‎ ‎2. 试题分析：由 ，故选D.‎ ‎3.试题分析：2006年以来，我国二氧化碳排放量与年份负相关，故选D ‎4.，，所以。‎ ‎5.试题解析：，.‎ ‎6.试题分析：截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的 ‎7. 圆心在直线BC的垂直平分线上。。设圆心，由得，解得。圆心到原点的距离。‎ ‎8. 试题分析：输出的a是18,14的最大公约数2‎ ‎9．试题分析：，所以 ，故 。‎ ‎10. 设球的半径为R，则面积为，三棱锥体积最大时，C到平面AOB的最大距离为Ｒ。此时，解得。球的表面积为。‎ ‎11. ，，所以。排除C，D。当时，，可排除A。‎ ‎12.是偶函数，且在是增函数，所以 ‎ .‎ ‎ 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 3 16.‎ ‎【详细解析】‎ ‎13.试题分析：由 .‎ ‎14. 不等式表示的可行域是以（1，1），（2,3），（3,2）为顶点的三角形区域，的最大值在顶点处取得。经验算，时，。‎ ‎15. 试题分析：根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程为 ，把代入得.‎ ‎16. 试题分析：曲线在点处的切线斜率为2，故切线方程为，与 联立得，显然，所以由 。‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：（Ⅰ）平分，由根据三角形内角平分线性质定理知，。根据正弦定理得。又由于，所以。‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 即，解得。所以。‎ ‎（18）（Ⅰ）解：B地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎ 从两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，A地区用户满意度评分比较分散。‎ ‎（Ⅱ）解：A,B两地区评分等级概率如下表：‎ 设事件A表示“A地区的满意度等级为不满意”，则 ‎；设事件B表示“B地区的满意度评分等级为不满意”，则。‎ 因为，所以用户的满意度等级为不满意的概率大。‎ ‎ (19)解:(Ⅰ)交线围成的正方形如右图：‎ 过E点作EM⊥AB,在AB上取MH=6，则EH=10，即 EH=EF。作HG∥AD,交CD于点G。连结FG。四边形EFGH即为所求作的正方形。‎ ‎（Ⅱ）如图，作FN⊥CD，连结MN，则 ‎；‎ ‎。于是 的体积：；‎ 的体积：。‎ 所以。‎ ‎（20）（Ⅰ）解：因为，所以，。因为，所以 因为点在C上，所以。解得，所以，。‎ 椭圆C的方程为。‎ ‎（Ⅱ）设，，，则。两式两端作差得，因式分解得。。因为直线不过原点O且不平行于坐标轴，所以，。两端同时除以，并整理得，即。‎ ‎（21）（Ⅰ）解：因为，所以。定义域为。‎ ‎①.令，解得；令，解得。‎ ‎ 单调递增区间为，单调递减区间为。‎ ‎②.令，解得；令，解集为空集。‎ ‎ 单调递增区间为，无单调递减区间。‎ ‎③若，则。当时，。所以单调递增区间为，无单调递减区间。‎ ‎（Ⅱ）因为有最大值，所以由（Ⅰ）知。当时，。‎ 因为，所以。‎ 若，不成立。若，，不成立。‎ 若，则，所以成立。‎ ‎ 所以的取值范围是。‎ ‎（22）（Ⅰ）证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线。又因为分别与AB，AC相切于点E,F，所以AE=AF。于是AD⊥EF。所以EF∥BC。‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE=AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线。又EF为的弦，所以O在AD上。连结OE，OM，则OE⊥AE。由AG等于的半径得AO=2OE，所以。因此△ABC和△AEF为正三角形。‎ 因为，所以，。因为 ‎，，所以。于是，。‎ ‎ 所以四边形EBCF的面积为 ‎。‎ ‎（23）解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，即；‎ 曲线的普通方程为，即。‎ 联立，解得或，即交点为和。‎ ‎（Ⅱ）,,即。‎ 因为，所以解得A点对应参数。‎ ‎，，。‎ 因为，所以解得B点对应参数。‎ ‎ ‎ ‎。当时，取最大值4.‎ ‎（24）（Ⅱ）是的充要条件。‎ 证明：（Ⅰ），。‎ 因为，，所以。‎ 因此。‎ ‎（Ⅱ）充分性：因为，所以。‎ ‎ 。因为，所以。‎ ‎ ，。所以。‎ ‎ 所以。‎ ‎ 必要性：因为，所以，‎ 即。因为，所以。‎ ‎，，‎ 所以，即。‎ ‎ 综上所述，是的充要条件。‎