全国统一高考数学试卷文科新课标ⅲ

全国统一高考数学试卷文科新课标ⅲ

‎2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） ‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}‎ ‎2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（　　）‎ A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i ‎3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）若sinα=，则cos2α=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）‎ A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7‎ ‎6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（　　）‎ A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）‎ ‎8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）‎ A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]‎ ‎9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）‎ A． B．2 C． D．2‎ ‎11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．54‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　 　．‎ ‎14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　 　．‎ ‎15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是　 　．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。都17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题，共60分。‎ ‎17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．‎ ‎18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；‎ ‎（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：‎ 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 ‎（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？‎ 附：K2=，‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．‎ ‎（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．‎ ‎20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．‎ ‎（1）证明：k＜﹣；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎（1）求α的取值范围；‎ ‎（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．‎ ‎（1）画出y=f（x）的图象；‎ ‎（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．‎ ‎　‎ ‎2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） ‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}‎ ‎【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，‎ ‎∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（　　）‎ A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若sinα=，则cos2α=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵sinα=，‎ ‎∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）‎ A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7‎ ‎【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．‎ ‎【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，‎ 所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．‎ ‎【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（　　）‎ A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）‎ ‎【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．‎ ‎【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象，‎ 则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．‎ 由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．‎ 则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．‎ 即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）‎ A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]‎ ‎【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2，设P（2+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d==∈[]，由此能求出△ABP面积的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，‎ ‎∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，‎ ‎∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+，），‎ ‎∴点P到直线x+y+2=0的距离：‎ d==，‎ ‎∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，‎ ‎∴△ABP面积的取值范围是：‎ ‎[，]=[2，6]．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查三角表面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．‎ ‎【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．‎ 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），‎ 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，‎ 得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）‎ A． B．2 C． D．2‎ ‎【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，‎ 可得=，即：，解得a=b，‎ 双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，‎ 点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】推导出S△ABC==，从而sinC==cosC，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ ‎△ABC的面积为，‎ ‎∴S△ABC==，‎ ‎∴sinC==cosC，‎ ‎∵0＜C＜π，∴C=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．54‎ ‎【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，‎ 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：‎ O′C==，OO′==2，‎ 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，‎ 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=18．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　　．‎ ‎【分析】利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），‎ ‎∴=（4，2），‎ ‎∵=（1，λ），∥（2+），‎ ‎∴，‎ 解得λ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　分层抽样　．‎ ‎【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解．‎ ‎【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，‎ 为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，‎ 可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，‎ 则最合适的抽样方法是分层抽样．‎ 故答案为：分层抽样．‎ ‎【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是　3　．‎ ‎【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，3）时，z最大．‎ ‎【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域如图：由解得A（2，3）．‎ z=x+y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，‎ 当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大，‎ 最大值为2+3×=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　﹣2　．‎ ‎【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：函数g（x）=ln（﹣x）‎ 满足g（﹣x）=ln（+x）==﹣ln（﹣x）=﹣g（x），‎ 所以g（x）是奇函数．‎ 函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，‎ 可得f（a）=4=ln（﹣a）+1，可得ln（﹣a）=3，‎ 则f（﹣a）=﹣ln（﹣a）+1=﹣3+1=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。都17～‎ ‎21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题，共60分。‎ ‎17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式．‎ ‎（2）当a1=1，q=﹣2时，Sn=，由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m．‎ ‎【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．‎ ‎∴1×q4=4×（1×q2），‎ 解得q=±2，‎ 当q=2时，an=2n﹣1，‎ 当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1，‎ ‎∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．‎ ‎（2）记Sn为{an}的前n项和．‎ 当a1=1，q=﹣2时，Sn===，‎ 由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；‎ 当a1=1，q=2时，Sn===2n﹣1，‎ 由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，‎ 解得m=6．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；‎ ‎（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：‎ 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 ‎（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？‎ 附：K2=，‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；‎ ‎（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；‎ ‎（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，‎ 第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，‎ 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，‎ 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；‎ ‎（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，‎ 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；‎ 由此填写列联表如下； ‎ 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 第二种生产方式 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎（3）根据（2）中的列联表，计算 K2===10＞6.635，‎ ‎∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．‎ ‎【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．‎ ‎（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．‎ ‎【分析】（1）通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CD⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎（2）存在P是AM的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可．‎ ‎【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦所在平面，CM⊂半圆弦所在平面，‎ ‎∴CM⊥AD，‎ M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CD⊥平面AMD，CD⊂‎ 平面CMB，‎ ‎∴平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎（2）解：存在P是AM的中点，‎ 理由：‎ 连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，‎ 所以MC∥平面PBD．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面培训的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．‎ ‎（1）证明：k＜﹣；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．‎ ‎【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k==﹣=﹣‎ 又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣，‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），可得x1+x2=2‎ 由++=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，‎ ‎|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵线段AB的中点为M（1，m），‎ ‎∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：+=1中，可得 ‎，‎ 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴k==﹣=﹣‎ 点M（1，m）在椭圆内，即，‎ 解得0＜m ‎∴．‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），‎ 可得x1+x2=2‎ ‎∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，‎ ‎∴x3=1‎ 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．‎ 则|FA|+|FB|=4﹣，‎ ‎∴|FA|+|FB|=2|FP|，‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．‎ ‎【分析】（1）‎ 由f′（0）=﹣2，可得切线斜率k=﹣2，即可得到切线方程．‎ ‎（2）可得=﹣．可得f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0‎ 只需（x）≥﹣e，即可．‎ ‎【解答】解：（1）=﹣．‎ ‎∴f′（0）=﹣2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=﹣2，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=﹣2x．‎ 即2x+y+1=0为所求．‎ ‎（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，‎ 可得=﹣．‎ 令f′（x）=0，可得，‎ 当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．‎ ‎∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，‎ 注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（@）=4a+1＞0‎ 函数g（x）的图象如下：‎ ‎∵a≥1，∴，则≥﹣e，‎ ‎∴f（x）≥﹣e，‎ ‎∴当a≥1时，f（x）+e≥0．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎（1）求α的取值范围；‎ ‎（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或 ‎，由此能求出α的取值范围．‎ ‎（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），‎ ‎∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，‎ 当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；‎ 当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，‎ ‎∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，‎ ‎∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，‎ ‎∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，‎ ‎∴或，‎ 综上α的取值范围是（，）．‎ ‎（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），‎ 设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），‎ 联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，‎ ‎，‎ ‎=﹣+2，‎ ‎=，=﹣，‎ ‎∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．‎ ‎【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．‎ ‎（1）画出y=f（x）的图象；‎ ‎（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．‎ ‎（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，‎ 当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，‎ 当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，‎ 则f（x）=对应的图象为：‎ 画出y=f（x）的图象；‎ ‎（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，‎ 当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，‎ 当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，‎ 则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，‎ ‎∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，‎ 且各部分直线的斜率的最大值为3，‎ 故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，‎ 即a+b的最小值为5．‎ ‎【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎