2014年北京市高考数学试卷(文科)

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2014年北京市高考数学试卷(文科)

‎2014年北京市高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 ‎1.(5分)若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B=(  )‎ A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3}‎ ‎2.(5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是(  )‎ A.y=e﹣x B.y=x C.y=lnx D.y=|x|‎ ‎3.(5分)已知向量=(2,4),=(﹣1,1),则2﹣=(  )‎ A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)‎ ‎4.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )‎ A.1 B.3 C.7 D.15‎ ‎5.(5分)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.(5分)已知函数f(x)=﹣log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)‎ ‎7.(5分)已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎8.(5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(  )‎ A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 ‎ ‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)若(x+i)i=﹣1+2i(x∈R),则x=  .‎ ‎10.(5分)设双曲线C的两个焦点为(﹣,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为  .‎ ‎11.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为  .‎ ‎12.(5分)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则c=  ;sinA=  .‎ ‎13.(5分)若x,y满足,则z=x+y的最小值为  .‎ ‎14.(5分)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由师傅进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:‎ 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料A ‎9‎ ‎15‎ 原料B ‎6‎ ‎21‎ 则最短交货期为   个工作日.‎ ‎ ‎ 三、解答题,共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(13分)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,等比数列{bn}满足b1=4,b4=20.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎16.(13分)函数f(x)=3sin(2x+)的部分图象如图所示.‎ ‎(Ⅰ)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,﹣]上的最大值和最小值.‎ ‎17.(14分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面ABE⊥B1BCC1;‎ ‎(Ⅱ)求证:C1F∥平面ABE;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥E﹣ABC的体积.‎ ‎18.(13分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:‎ 排号 分组 频数 ‎1‎ ‎[0,2)‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎[2,4)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[4,6)‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎[6,8)‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎[8,10)‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎[10,12)‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎[12,14)‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎[14,16)‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎[16,18)‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;‎ ‎(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;‎ ‎(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写结论)‎ ‎19.(14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.‎ ‎20.(13分)已知函数f(x)=2x3﹣3x.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值;‎ ‎(Ⅱ)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)问过点A(﹣1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)‎ ‎ ‎ ‎2014年北京市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 ‎1.(5分)(2014•北京)若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B=(  )‎ A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3}‎ ‎【分析】直接利用交集的运算得答案.‎ ‎【解答】解:∵A={0,1,2,4},B={1,2,3},‎ ‎∴A∩B={0,1,2,4}∩{1,2,3}={1,2}.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•北京)下列函数中,定义域是R且为增函数的是(  )‎ A.y=e﹣x B.y=x C.y=lnx D.y=|x|‎ ‎【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:A.函数的定义域为R,但函数为减函数,不满足条件.‎ B.函数的定义域为R,函数增函数,满足条件.‎ C.函数的定义域为(0,+∞),函数为增函数,不满足条件.‎ D.函数的定义域为R,在(0,+∞)上函数是增函数,在(﹣∞,0)上是减函数,不满足条件.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•北京)已知向量=(2,4),=(﹣1,1),则2﹣=(  )‎ A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)‎ ‎【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案.‎ ‎【解答】解:由=(2,4),=(﹣1,1),得:‎ ‎2﹣=2(2,4)﹣(﹣1,1)=(4,8)﹣(﹣1,1)=(5,7).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•北京)执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )‎ A.1 B.3 C.7 D.15‎ ‎【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值,根据条件确定跳出循环的k值,计算输出的S值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值,‎ ‎∵跳出循环的k值为3,‎ ‎∴输出S=1+2+4=7.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•北京)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】本题考查的判断充要条件的方法,我们可以根据充要条件的定义进行判断,此题的关键是对不等式性质的理解.‎ ‎【解答】解:因为a,b都是实数,由a>b,不一定有a2>b2,如﹣2>﹣3,但(﹣2)2<(﹣3)2,所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件;‎ 反之,由a2>b2也不一定得a>b,如(﹣3)2>(﹣2)2,但﹣3<﹣2,所以“a>b”是“a2>b2”的不必要条件.‎ 故选D ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•北京)已知函数f(x)=﹣log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)‎ ‎【分析】可得f(2)=2>0,f(4)=﹣<0,由零点的判定定理可得.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=﹣log2x,‎ ‎∴f(2)=2>0,f(4)=﹣<0,‎ 满足f(2)f(4)<0,‎ ‎∴f(x)在区间(2,4)内必有零点,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•北京)已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎【分析】根据圆心C到O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°,可得PO=AB=m,可得m≤6,从而得到答案.‎ ‎【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径为1,‎ ‎∵圆心C到O(0,0)的距离为5,‎ ‎∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6.‎ 再由∠APB=90°可得,以AB为直径的圆和圆C有交点,‎ 可得PO=AB=m,故有m≤6,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•北京)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(  )‎ A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 ‎【分析】由提供的数据,求出函数的解析式,由二次函数的图象与性质可得结论.‎ ‎【解答】解:将(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入p=at2+bt+c,可得,‎ 解得a=﹣0.2,b=1.5,c=﹣2,‎ ‎∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2,对称轴为t=﹣=3.75.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)(2014•北京)若(x+i)i=﹣1+2i(x∈R),则x= 2 .‎ ‎【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i,由复数相等的定义可得.‎ ‎【解答】解:∵(x+i)i=﹣1+2i,‎ ‎∴﹣1+xi=﹣1+2i,‎ 由复数相等可得x=2‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•北京)设双曲线C的两个焦点为(﹣,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为 x2﹣y2=1 .‎ ‎【分析】利用双曲线C的两个焦点为(﹣,0),(,0),一个顶点是(1,0),可得c=,a=1,进而求出b,即可得出双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:∵双曲线C的两个焦点为(﹣,0),(,0),一个顶点是(1,0),‎ ‎∴c=,a=1,‎ ‎∴b=1,‎ ‎∴C的方程为x2﹣y2=1.‎ 故答案为:x2﹣y2=1.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2014•北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为 2 .‎ ‎【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长,由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高,利用勾股定理即可求出最长棱BD的长.‎ ‎【解答】解:由主视图知CD⊥平面ABC,设AC中点为E,则BE⊥AC,且AE=CE=1;‎ 由主视图知CD=2,由左视图知BE=1,‎ 在Rt△BCE中,BC=,‎ 在Rt△BCD中,BD=,‎ 在Rt△ACD中,AD=2.‎ 则三棱锥中最长棱的长为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•北京)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则c= 2 ;sinA=  .‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理列出关系式,将a,b,以及cosC的值代入求出c的值,由cosC的值求出sinC的值,再由a,c的值,利用正弦定理即可求出sinA的值.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,‎ ‎∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4,即c=2;‎ ‎∵cosC=,C为三角形内角,‎ ‎∴sinC==,‎ ‎∴由正弦定理=得:sinA===.‎ 故答案为:2;.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•北京)若x,y满足,则z=x+y的最小值为 1 .‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 化目标函数z=x+y为,‎ 由图可知,当直线过C(0,1)时直线在y轴上的截距最小.‎ 此时.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•北京)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由师傅进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:‎ 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料A ‎9‎ ‎15‎ 原料B ‎6‎ ‎21‎ 则最短交货期为 42  个工作日.‎ ‎【分析】先完成B的加工,再完成A的加工即可.‎ ‎【解答】解:由题意,徒弟利用6天完成原料B的加工,由师傅利用21天完成精加工,与此同时,徒弟利用9天完成原料A的加工,最后由师傅利用15天完成精加工,故最短交货期为6+21+15=42 个工作日.‎ 故答案为:42.‎ ‎ ‎ 三、解答题,共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(13分)(2014•北京)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,等比数列{bn}满足b1=4,b4=20.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【分析】(1)由等差数列的通项公式求出公差,由此能求出数列{an}的通项公式;由等比数列{bn}通项公式求出公比q,由此能求出数列{bn}的通项公式.‎ ‎(2)由等比数列{bn}的首项和公比能求出数列{bn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(1)∵{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,‎ ‎∴3+3d=12,解得d=3,‎ ‎∴an=3+(n﹣1)×3=3n.‎ ‎∵等比数列{bn}满足b1=4,b4=20,‎ ‎∴4q3=20,解得q=,‎ ‎∴bn=4×()n﹣1.‎ ‎(2)∵等比数列{bn}中,,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn==.‎ ‎ ‎ ‎16.(13分)(2014•北京)函数f(x)=3sin(2x+)的部分图象如图所示.‎ ‎(Ⅰ)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,﹣]上的最大值和最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题目所给的解析式和图象可得所求;(Ⅱ)由x∈[﹣,﹣]可得2x+∈[﹣,0],由三角函数的性质可得最值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=3sin(2x+),‎ ‎∴f(x)的最小正周期T==π,‎ 可知y0为函数的最大值3,x0=;‎ ‎(Ⅱ)∵x∈[﹣,﹣],‎ ‎∴2x+∈[﹣,0],‎ ‎∴当2x+=0,即x=时,f(x)取最大值0,‎ 当2x+=,即x=﹣时,f(x)取最小值﹣3‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)(2014•北京)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面ABE⊥B1BCC1;‎ ‎(Ⅱ)求证:C1F∥平面ABE;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥E﹣ABC的体积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)证明AB⊥B1BCC1,可得平面ABE⊥B1BCC1;‎ ‎(Ⅱ)证明C1F∥平面ABE,只需证明四边形FGEC1为平行四边形,可得C1F∥EG;‎ ‎(Ⅲ)利用VE﹣ABC=,可求三棱锥E﹣ABC的体积.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,‎ ‎∴BB1⊥AB,‎ ‎∵AB⊥BC,BB1∩BC=B,‎ ‎∴AB⊥平面B1BCC1,‎ ‎∵AB⊂平面ABE,‎ ‎∴平面ABE⊥B1BCC1;‎ ‎(Ⅱ)证明:取AB中点G,连接EG,FG,则,‎ ‎∵F是BC的中点,‎ ‎∴FG∥AC,FG=AC,‎ ‎∵E是A1C1的中点,‎ ‎∴FG∥EC1,FG=EC1,‎ ‎∴四边形FGEC1为平行四边形,‎ ‎∴C1F∥EG,‎ ‎∵C1F⊄平面ABE,EG⊂平面ABE,‎ ‎∴C1F∥平面ABE;‎ ‎(Ⅲ)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,‎ ‎∴AB=,‎ ‎∴VE﹣ABC===.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2014•北京)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:‎ 排号 分组 频数 ‎1‎ ‎[0,2)‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎[2,4)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[4,6)‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎[6,8)‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎[8,10)‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎[10,12)‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎[12,14)‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎[14,16)‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎[16,18)‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;‎ ‎(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;‎ ‎(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写结论)‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数,再根据频率=求频率;‎ ‎(Ⅱ)根据小矩形的高=求a、b的值;‎ ‎(Ⅲ)利用平均数公式求得数据的平均数,可得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由频率分布表知:1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90,‎ ‎∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9;‎ ‎(Ⅱ)由频率分布表知:数据在[4,6)的频数为17,∴频率为0.17,∴a=0.085;‎ 数据在[8,10)的频数为25,∴频率为0.25,∴b=0.125;‎ ‎(Ⅲ)数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68(小时),‎ ‎∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2014•北京)已知椭圆C:x2+2y2=4.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)椭圆C:x2+2y2=4化为标准方程为,求出a,c,即可求椭圆C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)先表示出线段AB长度,再利用基本不等式,求出最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)椭圆C:x2+2y2=4化为标准方程为,‎ ‎∴a=2,b=,c=,‎ ‎∴椭圆C的离心率e==;‎ ‎(Ⅱ)设A(t,2),B(x0,y0),x0≠0,则 ‎∵OA⊥OB,‎ ‎∴=0,‎ ‎∴tx0+2y0=0,∴t=﹣,‎ ‎∵,‎ ‎∴|AB|2=(x0﹣t)2+(y0﹣2)2=(x0+)2+(y0﹣2)2=x02+y02++4=x02+++4=+4(0<x02≤4),‎ 因为≥4(0<x02≤4),当且仅当,即x02=4时等号成立,所以|AB|2≥8.‎ ‎∴线段AB长度的最小值为2.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2014•北京)已知函数f(x)=2x3﹣3x.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值;‎ ‎(Ⅱ)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)问过点A(﹣1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用导数求得极值点比较f(﹣2),f(﹣),f(),f(1)的大小即得结论;‎ ‎(Ⅱ)利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0,设g(x)=4x3﹣6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”,‎ 等价于“g(x)有3个不同的零点”.利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况,得出结论;‎ ‎(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论写出即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=2x3﹣3x得f′(x)=6x2﹣3,‎ 令f′(x)=0得,x=﹣或x=,‎ ‎∵f(﹣2)=﹣10,f(﹣)=,f()=﹣,f(1)=﹣1,‎ ‎∴f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值为.‎ ‎(Ⅱ)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),‎ 则y0=2﹣3x0,且切线斜率为k=6﹣3,‎ ‎∴切线方程为y﹣y0=(6﹣3)(x﹣x0),‎ ‎∴t﹣y0=(6﹣3)(1﹣x0),‎ 即4﹣6+t+3=0,‎ 设g(x)=4x3﹣6x2+t+3,‎ 则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”,等价于“g(x)有3个不同的零点”.‎ ‎∵g′(x)=12x2﹣12x=12x(x﹣1),‎ ‎∴g(x)与g′(x)变化情况如下:‎ ‎ x ‎(﹣∞,0)‎ ‎ 0‎ ‎ (0,1)‎ ‎ 1‎ ‎(1,+∞)‎ ‎ g′(x)‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ g(x)‎ ‎↗‎ ‎ t+3‎ ‎↘‎ ‎ t+1‎ ‎↗‎ ‎∴g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.‎ 当g(0)=t+3≤0,即t≤﹣3时,g(x)在区间(﹣∞,1]和(1,+∞)上分别至多有一个零点,故g(x)至多有2个零点.‎ 当g(1)=t+1≥0,即t≥﹣1时,g(x)在区间(﹣∞,0]和(0,+∞)上分别至多有一个零点,故g(x)至多有2个零点.‎ 当g(0)>0且g(1)<0,即﹣3<t<﹣1时,∵g(﹣1)=t﹣7<0,g(2)=t+11>0,‎ ‎∴g(x)分别在区间[﹣1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点,由于g(x)在区间(﹣∞,0)和[1,+∞)上单调,‎ 故g(x)分别在区间(﹣∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.‎ 综上所述,当过点过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(﹣3,﹣1).‎ ‎(Ⅲ)过点A(﹣1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;‎ 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;‎ 过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;maths;清风慕竹;lincy;caoqz;刘长柏;sllwyn;zlzhan;liu老师(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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