《同步导学案》人教七年级数学（下册）第九章 第二课时 不等式的性质
第二课时 不等式的性质
1. 理解不等式的性质,用不等式的性质解不等式．
2. 对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，掌握不等式的解法与方程的解法的联系和区别．
3．重难点：熟练并准确地解一元一次不等式．
知识导入
木屑简单的不等式我们可以直接相处它们的解集，例如ｘ＋2＞5的解集是x大于3.但是对于比较复杂的不等式，例如，直接想出解集较困难.因此还要探讨怎样解不等式.我们先探讨不等式有什么性质.
知识讲解
知识点一：不等式基本性质
①不等式的两边都加(或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.用数学符号语言表示为：如果ａ＞ｂ，那么ａｃ＞ｂ＋ｃ．
②不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用数学符号语言表示为：如果ａ＞ｂ，ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ（或>）.
③不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.用数学符号语言表示为：如果ａ＞ｂ，ｃ<０，那么ａｃ<ｂｃ（或<）.
说明：不等式的性质②③中没有0的原因:如果不等式乘以0，那么不等号变为等号，所以不等式乘以的数就不能为0，否则不等式不成立．不像等式那样，等号是不变的，在一元一次不等式中，不等号是随着加或乘的运算改变；
常见不等式所表示的基本语言与含义还有：
①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于b ；④若a－b≤0，则a不大于b ；⑤若ab＞0或 ，则a、b同号；⑥若ab＜0或 ，则a、b异号。
任意两个实数a、b的大小关系:①a-b>O a>b②a-b=O a=b③a-b
0,但是题目所给信息不能保证在>0，所以（4）是错误的.
（5）中，由＞，到a＞b .不等式的两边同时除以了根据不等式的性质,不等式的符号没有变,据性质2这就必须保证>0.因为“＞”，所以C≠0，否则应有= 所以a＞b是正确的.即(5)是正确的.
点拨 特别注意不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要讨论含字母的式子的正负.
知识点二：利用不等式的性质解不等式
例2 利用利用不等式的性质解下列不等式：
(1) x－7＞26 （2）3x < 2x＋1
（3）x ≥ 50 (4)-4x≤3
分析 解不等式的最终目的就是要使不等式化为ｘ＞ａ或ｘ＜ａ的形式．
解析 (1) x－7＞26
根据等式的性质1，不等式两边都加7，得x－7+7＞26+7
解得：x＞33
这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.1-1
（2）3x < 2x＋1
根据等式的性质1，不等式两边都-2x得：3x-2x < 2x＋1-2x
解得：x<1
这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.1-2
（3）x ≥ 50
根据等式的性质2，不等式的两边同乘以，得：
x ≥ 50×
解得：x ≥7 5
这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.1-3
(4)-4x≤3
根据等式的性质3，不等式两边同时除以-4，得： x≤
这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.1-4
点拨 一元一次不等式与一元一次方程是类似的．求得一元一次不等式的解集可采用与解一元一次方程相类似的步骤．
知识点三：利用不等式解决实际问题
例3 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm，现准备继续向它注水．用V（单位cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围．
分析 新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的体积．
解析 现容器内水体积
V0=3×5×3=45cm3
容器最大水容积
V1=5×3×10=150cm3
可以继续注水最大体积
V1-V0=105cm3
则V的取值范围为：0≤V≤105
在数轴上表示为如图9.1-5：
点拨 解答实际问题时，一定要考虑问题的实际意义.
知识点四：三角形两边的差小于第三边
例4 三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？
分析 三角形任意两边之和大于第三边，后利用不等式变形，得出三角形两边之差与第三边的关系.
解析 如图 9.1-6 设 a、b、c为任意一个三角形的三条边的长，则
a+b＞c, b+c＞a, c+a＞b.
移项，得
a＞c-b, b＞a-c, c＞b-a.
上面的式子说明了:三角形中任意两边之差小于第三边.
点拨 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
知识探究
1.解一元一次不等式
一元一次不等式的解题步骤与一元一次方程的解法步骤类似，只要注意化系数为1时，不等号是否要改变方向.具体步骤如下
步骤
具体做法
注意事项
去分母
利用分式的性质，在不等式两边同乘以分母的最小公倍数
（1）不含分母的项不能漏乘
（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号
（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变.
去括号
由内而外或由外而内去括号，注意顺序
（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项
（2）如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号.
移项
可根据不等式的性质，把含未知数的项都移到不等式的一边（通常是左边），不含未知数的项移到不等式的另一边
移项注意变号.
合并同类项
把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为或的形式
合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变.
化未知数的系数为1
根据不等式的性质，在不等式两边同除以未知数的系数，若且，则不等式的解集为>；若
（1）分子、分母不能颠倒
（2）不等号改不改变由系数的正负性决定.
且，则不等式的解集为<；若且，则不等式的解集为<；若且，则不等式的解集为>；
通过下面的解方程和不等式认真体会这两者解题间的异同：
-1= -1≥
解：3x-6=4(2x+1) 1、去分母： 解：3x-6≥4(2x+1)
3x-6=8x+4 2、去括号： 3x-6≥8x+4
3x-8x=4+6 3、移项： 3x-8x≥4+6
-5x=10 4、合并同类项： -5x≥10
x=-2 5、系数化为1： x≤-2
x=-2是原方程的解 x≤-2是原不等式的解集
注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
1.特殊值法
例 若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（ ）
A、 B、ab＜0 C、 D、
解析 法一:直接利用不等式的性质:由a＜b＜0, 不等式a＜b两边同时除以a或b都要变号.同除以a时可以得到1>,即<1.同除以b时可以得到>1.所以选D.
法二:特殊值法.在选择题中常用到特殊值法解答题目.本题不妨取满足a＜b＜0的值:a=-2,b=-1,代入四个选项中利用排除法解答.也可得到答案D.
2.特殊解的方程与不等式
中考题中常有些题目以方程为背景来设置，既考查解方程又考查解不等式.遇到此类题目往往先按解方程用一未知数表示另一未知数,再根据题目所要求解答.
例关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（ ）
A、m≥2 B、m≤2 C、m＞2 D、m＜2
分析 根据题意可得x＞0，用m表示x，然后根据x的取值范围即可求出m的取值范围．
解析 由mx﹣1=2x，得：x=1m﹣2．
因为方程mx﹣1=2x的解为正实数，
所以1m﹣2＞0，又因分子为正，则分母为正，
即m-2>0.解得m＞2．故选C．
例 当k取何值时，方程x-2k=3(x-k)+1的解为负数。
分析 应先解关于x的字母系数方程，用k来表示出x，再根据x<0解出k值即可.
解析 解关于x的方程：x-2k=3(x-k)+1
去分母： x-4k=6(x-k)+2
去括号： x-4k=6x-6k+2
移项： x-6x=-6k+2+4k
合并同类项： -5x=2-2k
系数化为1：x=.
要使x为负数，即x=<0，
因为 分母=5>0，所以 2k-2<0, 所以 k<1，
所以 当k<1时，方程x-2k=3(x-k)+1的解是负数.
易错辨析
题1 已知关于的不等式2＜的解集为＜，则的取值范围是（ ）
A．＞0 B.＞1 C.＜0 D.＜1
错解 2＜的解集为＜，不等号方向没变，所以1-a>0.则的取值范＜1
辨析 据2＜的解集若为<,不等号没变.但实际为＜,观察可知符号变化了.所以1-a<0.即a>1.
正解 2＜的解集为＜，可知不等号变化了，所以1-a<0.即a>1.
答案为B.
题2 解关于x的不等式m（x-3）＞x-3.
错解 化简，得（m-1）x＞3（m-1），所以x＞3.
辨析 错解在默认为m-1＞0，实际上m-1还可能小于或等于0.
正解 化简，得（m-1）x＞3（m-1），
① 当m-1＞0时，x＞3；
② 当m-1＜0时，x＜3；
③ 当m-1=0时，无解.
1. 利用不等式的性质填“>”, “<” :
(1)若a>b,则3a 3b；
(2)若-2y<8,则y -4；
(3)若a0,则ac-2 bc-2；
(4)若a>b,c<0,则ac+3 bc+3.
2.当x 时，2-3x为非正数.
3.当x 时，式子3x5的值大于5x + 3的值
4. 已知有理数a,b,c,若a>b,则下列各式成立的是( )
A. ac>bc B. acbc2 D. ac2 bc2
5.解不等式，并将解集在数轴上表示出来．
例 根据给定条件，求出a的取值范围: 若a2>a，则a的取值范围是____________；
分析 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
有时直接比较这两个式子的大小有困难，但是将两式作差所得到的结果与0比,大小比较容易证明．这种方法我们叫做作差法. 本题根据 a2>a,可得 a2－a>0, 即a(a－1)>0
分类讨论即可解得答案
解析 （1）因为 a2>a, 所以 a2－a>0, 即a(a－1)>0,
所以 或 解得a>1或a<0.
所以 a的取值范围是a<0或a>1。
点拨 比较这两个式子的大小有困难时，可通过将两式作差所得到的结果与0的大小来判断.
练习 A＝ａ２－ａ＋5，B＝ａ２＋5ａ－19，若A>B求a的取值范围.
参考答案
课时检测
1.（1）> (2) > (3) < (4) < 2.x≥ 3.x<4. 4.D
5．解：去分母得：
移项合并同类项得 解得
在数轴上表示如下图
拓展提升
答：若A>B则A-B>0,即ａ２－ａ＋５-(ａ２＋５ａ－１９)= ａ２－ａ＋５-ａ２-５ａ+１９=-6a+24>0解得:a<-4.
