中考数学专题复习练习:相似

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中考数学专题复习练习:相似

‎《相似》教材分析 ‎ 其知识结构框图如下:‎相似图形 相似多边形 相似三角形 位似图形 对应角相等 对应边的比相等 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 相似三角形的判定 应用 ‎∽ ‎ 平行型 ‎ 斜交型 ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ 旋转 平移 垂直型 特殊 特殊 平移 相似三角形的常见图形及其变换:‎ ‎(1)相似三角形的判定 方法:①平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形,与原三角形相似。‎ ‎②如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。‎ ‎③如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。‎ ‎④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。‎ 在学生了解所有的判定方法后,可以安排适当的题组进行训练,总结规律,形成技能。‎ 例1、(2006苏州)梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E、F分别为AB、BC的中点,EF与BD交于M。‎ (1) 求证:△EDM∽△FBM;‎ (2) 若DB=9,求MB的长。‎ 例2、(1)如图1,△ABC中,BD⊥AC于D,‎ CE⊥AB于E,BD、CE交于H,指出图中哪几个三角形相似?‎ ‎(2)连接ED后,(如图2)新增加哪些三角形相似?‎ 例3、已知:如图AD为△ABC的角平分线,‎ AD的垂直平分线交BC的延长线于E,交AB于F。‎ 求证:(1)△BAE∽△ACE;(2)。‎ 例4、(2008.1西城)如图,和都是直角三角形,‎ ‎,DE与BC相交于点F,AB=6, ‎ AC=9,CD=4,CE=6,问是否为等腰三角形?‎ 试说明理由。‎ 例5、(2007.5西城)在△ABC中,∠C=90°,D、E在BC上,BD=DE=EC=AC,指出图中哪两个三角形相似,并证明你的结论。‎ 例6、如图:△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连接BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R。‎ ‎(1)求证:△BFG∽△FEG,并求出BF的长。‎ ‎(2)观察图形,请你提出一个与点P相关的 问题,并解答。‎ 例7、已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:BP2=PE·PF.‎ 例8、已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,以BC为边向外作正方形BEDC,连结AE交BC于F,作FG∥BE交AB于G.‎ 求证:FG=FC.‎ 判定方法的总结 ‎(2)相似三角形的性质及其应用:‎ 相似三角形的基本性质:‎ ‎①对应角相等;‎ ‎②对应边成比例;‎ ‎③对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比;‎ ‎④周长比等于相似比;‎ ‎⑤面积比等于相似比的平方。‎ 例1、(2007.5朝阳)如图,要在一个三角形ABC的花坛中,种满花草,工作人员沿与AB平行的方向画一条直线,将原花坛分割出一片三角形的的地块,测出△CDE的面积为10m2, CE长为4m,BE长为6m,请你根据测得的数据,计算出整个花坛△ABC的面积是多少?‎ 例2、(2007.5海淀)如图7,在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=3cm,点E是BC边上一点,且BE=1cm,求点D到AE的距离.‎ 例3、梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD相交于点O.已知=1:3,求.‎ 例4、如图:在△ABC中,∠C=90°AC=CB,点D在BC上,∠ADC=60°,在AD上取一点E,使AE=2ED.过点E作EF∥BC,交AB于点F,连接CF,交AD于点P,‎ 求.‎ 例5 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,CE平分∠BCD,CE⊥AD于E,DE=2AE.已知△CED的面积为1,求四边形ABCE的面积.‎ 例6、如图,P为△ABC内部任意一点,过点P作各边的平行线,把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别为1、1、2,求△ABC的面积.‎ 例7、(2006南通)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点为,B(5,0),M为等腰梯形OBCD底边OB上一点,OD=BC=2,∠DMC=∠DOB=60°.‎ ‎(1)求直线CB的解析式;‎ ‎(2)求点M的坐标;‎ ‎(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α (30°<α<60°)后,得到∠D1MC1(点D1,C1依次与点D,C对应),射线MD1交直线DC于点E,射线MC1交直线CB于点F ,设DE=m,BF=n .求m与 n的函数关系式.‎ C A BA DA OA EA FA ‎(3)位似:‎ 例1、如图,是由经过位似变换得到的,点是位似中心,分别是的中点,则与的面积比是( )‎ A. B. C. D.‎ 例2、给定△ABC,作一个正方形,使其一边在BC上,两个顶点分别在AB、AC上.‎ 例3、在已知半圆内作一个内接正方形,使它的一边在半圆的直径上,其它两个顶点在半圆上.‎ ‎1‎ O x y ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ A B C D E 例4、(2008陕西)如图,矩形的长、宽分别为和1,且,点,连接.(1)求经过三点的抛物线的表达式;‎ ‎(2)若以原点为位似中心,将五边形放大,使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍.请在下图网格中画出放大后的五边形;‎ ‎(3)经过三点的抛物线能否由(1)中的抛物线平移得到?请说明理由.‎ 图形的变换是新课标中加强的部分,这部分教学应注意:‎ 巩固基本知识与基本技能,并注意基本规律的总结。‎ 通过大量地观察、动手操作、图案设计等实践活动理解其内涵,抓关键点。‎ 注意观察现实生活中图形变换的案例,认识和欣赏各种图形变换在现实生活中的作用。‎ 认真审题,注意观察图形在变换过程中哪些元素是不变的,哪些元素是变化的,怎么变的,从而抓住变化过程中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量,不变关系或特殊关系,通过建立函数模型或方程模型来解题 ‎(三)把握难度要求,适当进行综合题分类训练 ‎1.相似与圆:‎ 例1、(2008.6西城)如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC 于E点,AE=2,ED=4. ‎ ‎(1)求证: ~;‎ ‎(2) 求的值; ‎ A C D E B ‎(3)延长BC至F,连接FD,使的面积等于,求的度数.‎ 例2、(2008陕西)如图,在中,,,,是的角平分线.过三点的圆与斜边交于点,连接.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求外接圆的半径.‎ C O B A D M E N 例3、(2008青海)已知,如图,直线交⊙O于两点,是直径,平分交⊙O于,过作于.‎ ‎(1)求证:是⊙O的切线;‎ ‎(2)若cm,cm,求的半径.‎ ‎2.相似中的分类讨论:‎ 例1、已知两数是4和8,试写出第三个数,使这三个数中,其中一个数是其余两个数的比例中项,问第三个数是多少?‎ 例2、矩形ABCD中,M是BC边上且与B、C不重合的点,点P是射线AM上的点,若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似,这样的点有几个?‎ 例3、在△ABC中,点D是AC边上的一点,过D的直线交AB边于点E,若△ADE与△ABC相似,试问这样的直线有多少条?‎ 例4、P是Rt△ABC斜边上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有多少条?‎ 例5、已知:Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB的中点,点C为折线OAB上的一动点,线段PC把Rt△ABC分割成两部分。‎ 问:点C在什么位置时,分割得到的三角形与Rt△ABC相似?(在图上画出符合要求的线段PC,并求出相应的点C的坐标)‎ 例5图 例6图 例6、如图,已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点,且PB=3,BF⊥BP,垂足为B,请在射线BF上找一点M,使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似(注意:全等图形是相似图形的特殊情况)‎ ‎3.相似三角形与动点问题 例1、 如图:已知△ABC的高AE=5,BC=,∠ABC=45°,F是AE上的点,G 是点E关于F的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于H,与AC交于I,连接IF并延长交BC于J,连接HF并延长交BC于K。‎ (1) 请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形,并对你得到的结论予以证明;‎ 例1图 例2图 (2) 当点F在AE上运动并使点H、I、J、K都在△ABC的三条边上时,求线段AF长的取值范围。‎ 例2、(利用相似)如图在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC上一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使△ABD∽△DCE,且点D与点E是对应顶点。‎ (1) 求∠ADE的度数。‎ (2) 设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。‎ (3) 当点D在线段BC的什么位置时,AE的长度最短?请说明理由,并求出AE的最短长度是多少?‎ (4) 当△ADE是等腰三角形时,求AE的长。‎ 例3、如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3厘米,BC=4厘米,点P在AB边上由A向B匀速运动,点Q在CB边上由C向B匀速运动,它们同时出发,速度都为1厘米/秒,当点Q先到达点B时,点P也停止运动。设运动时间为t秒。‎ (1) 若△CPQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围。‎ (2) 当△CPQ为直角三角形时,它的面积为多少平方厘米?‎ (3) 分析发现P、Q两点的运动速度相同时,无论t为何值,△CPQ都不可能是正三角形。那么在“保持点P运动速度不变”的条件下,是否能通过改变Q的运动速度,使△CPQ在运动过程中成为正三角形?若能,请求出点Q改变后的运动速度v和此时t的值;若不能,请说明理由。‎ 例4、已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设动点的移动时间为t秒。‎ ‎(1)求出点A、B的坐标;‎ ‎(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?‎ ‎(3)求出(2)中,当△APQ与△AOB相似时,线段PQ所在直线的解析式。‎ ‎4.相似三角形中的存在性问题(题组示例):‎ 例1、如图在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P为下底BC边上一点(不与B、C重合),连接AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B。‎ (1) 求证:△ABP∽△PCE;‎ (2) 求等腰梯形的腰AB的长;‎ (3) 在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3? 如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由。‎ 例2、(点的存在)在△ABC中,试问:在AB边上(不包括A、B两个顶点)是否存在一点D,使得AC=AB·AD?若存在,请加以说明;若不存在,请说明理由。‎ ‎(分类:∠ACB>∠B; ∠ACB<∠B两种情况)‎ 例3、(2006深圳)如图9,抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧),抛物线上另有一点在第一象限,满足   ∠为直角,且恰使△∽△.‎ ‎(1)求线段的长.‎ ‎(2)求该抛物线的函数关系式.‎ ‎(3)在轴上是否存在点,使△为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 例4、(值的存在)已知:在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC于E,交AB于F,连接FC(AB>AE).‎ ‎(1)△AEF与△EFC是否相似?若相似,证明你的结论:若不相似,请说明理由;‎ ‎(2)设=k,是否存在这样的k,使得△AEF∽△BCF?若存在,证明你的结论并求出k的值:若不存在,请说明理由;‎ 例4图 例5图 例5、(2006成都)已知:如图,在正方形ABCD中,AD=12,点E是边CD上的动点(点E不与端点C、D重合),AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G,交AB的延长线于点P.‎ ‎(1)设DE=m(0
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