高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

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高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

‎2013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷II)‎ 一、选择题:‎ ‎1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=(  ).‎ A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D..{-3,-2,-1}‎ ‎2. =(  ).‎ A. B.‎2 C. D..1‎ ‎3.设x,y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是(  ).‎ A.-7 B.-‎6 C.-5 D.-3‎ ‎4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,,,则△ABC的面积为(  ).‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F‎1F2,∠PF‎1F2=30°,则C的离心率为(  ).‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知sin 2α=,则=(  ).‎ A. B. C. D.‎ ‎7.执行下面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=(  ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.设a=log32,b=log52,c=log23,则(  ).‎ A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ‎9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为(  ).‎ ‎10.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(  ).‎ A.y=x-1或y=-x+1 B.y=或y=‎ C.y=或y= D.y=或y=‎ ‎11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(  ).‎ A.∃x0∈R,f(x0)=0‎ B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0‎ ‎12.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(  ).‎ A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是__________.‎ ‎14.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=__________.‎ ‎15.已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为__________.‎ ‎16.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移个单位后,与函数y=的图像重合,则φ=__________.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.‎ ‎18. (本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.‎ ‎19. (本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎(1)将T表示为X的函数;‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.‎ ‎20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.‎ ‎(1)求f(x)的极小值和极大值;‎ ‎(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程;‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:‎ ‎(1)ab+bc+ca≤;‎ ‎(2)≥1.‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 ‎(新课标全国卷II)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.‎ 答案:C 解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选C.‎ ‎2.‎ 答案:C 解析:∵=1-i,∴=|1-i|=.‎ ‎3.‎ 答案:B 解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函数可化为,先画出l0:y=,当z最小时,直线在y轴上的截距最大,故最优点为图中的点C,由可得C(3,4),代入目标函数得,zmin=2×3-3×4=-6.‎ ‎4. ‎ 答案:B 解析:A=π-(B+C)=,‎ 由正弦定理得,‎ 则,‎ ‎∴S△ABC=.‎ ‎5. ‎ 答案:D 解析:如图所示,在Rt△PF‎1F2中,|F‎1F2|=‎2c,‎ 设|PF2|=x,则|PF1|=2x,‎ 由tan 30°=,得.‎ 而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=‎2a=3x,‎ ‎∴,∴.‎ ‎6. ‎ 答案:A 解析:由半角公式可得,‎ ‎=.‎ ‎7. ‎ 答案:B 解析:由程序框图依次可得,输入N=4,‎ T=1,S=1,k=2;‎ ‎,,k=3;‎ ‎,S=,k=4;‎ ‎,,k=5;‎ 输出.‎ ‎8.‎ 答案:D 解析:∵log25>log23>1,∴log23>1>>>0,即log23>1>log32>log52>0,∴c>a>b.‎ ‎9. ‎ 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:‎ 则它在平面zOx的投影即正视图为,故选A.‎ ‎10. ‎ 答案:C 解析:由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.‎ 当直线l的斜率大于0时,如图所示,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.‎ 设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,‎ 在△AMK中,由,得,‎ 解得x=2t,则cos∠NBK=,‎ ‎∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.‎ ‎∴斜率k=tan 60°=,故直线方程为y=.‎ 当直线l的斜率小于0时,如图所示,同理可得直线方程为y=,故选C.‎ ‎11.‎ 答案:C 解析:若x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故C不正确.‎ ‎12.‎ 答案:D 解析:由题意可得,(x>0).‎ 令f(x)=,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x使原不等式成立.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.答案:0.2‎ 解析:该事件基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}共有10个,记A=“其和为‎5”‎={(1,4),(2,3)}有2个,∴P(A)==0.2.‎ ‎14.答案:2‎ 解析:以为基底,则,‎ 而,,‎ ‎∴.‎ ‎15.答案:24π 解析:如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=×S正方形ABCD·|OO1|=××|OO1|=,‎ ‎∴|OO1|=,|AO1|=,‎ 在Rt△OO‎1A中,OA==,即,‎ ‎∴S球=4πR2=24π.‎ ‎16.答案:‎ 解析:y=cos(2x+φ)向右平移个单位得,=cos(2x-π+φ)=,而它与函数的图像重合,令2x+φ-=2x++2kπ,k∈Z,‎ 得,k∈Z.‎ 又-π≤φ<π,∴.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.‎ 解:(1)设{an}的公差为d.‎ 由题意,=a‎1a13,‎ 即(a1+10d)2=a1(a1+12d).‎ 于是d(‎2a1+25d)=0.‎ 又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.‎ 故an=-2n+27.‎ ‎(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.‎ 由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.‎ 从而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.‎ ‎18. ‎ ‎(1)证明:BC1∥平面A1CD;‎ ‎(2)设AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C-A1DE的体积.‎ 解:(1)连结AC1交A‎1C于点F,则F为AC1中点.‎ 又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD,BC1平面A1CD,‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)因为ABC-A1B‎1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.‎ 由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB‎1A1.‎ 由AA1=AC=CB=2,得∠ACB=90°,,,,A1E=3,‎ 故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.‎ 所以VC-A1DE==1.‎ ‎19.‎ 解:(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000.‎ 当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.‎ 所以 ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.‎ 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎20.‎ 解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.‎ 由题设y2+2=r2,x2+3=r2.‎ 从而y2+2=x2+3.‎ 故P点的轨迹方程为y2-x2=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0).由已知得.‎ 又P点在双曲线y2-x2=1上,‎ 从而得 由得 此时,圆P的半径r=.‎ 由得 此时,圆P的半径.‎ 故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.‎ ‎21.‎ 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),‎ f′(x)=-e-xx(x-2).①‎ 当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(0,2)时,f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增.‎ 故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;‎ 当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.‎ ‎(2)设切点为(t,f(t)),‎ 则l的方程为y=f′(t)(x-t)+f(t).‎ 所以l在x轴上的截距为m(t)=.‎ 由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).‎ 令h(x)=(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[,+∞);‎ 当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).‎ 所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[,+∞).‎ 综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[,+∞).‎ 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.‎ ‎22.‎ 解:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,‎ 所以∠DCB=∠A.‎ 由题设知,‎ 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.‎ 因为B,E,F,C四点共圆,‎ 所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.‎ 所以∠CBA=90°,‎ 因此CA是△ABC外接圆的直径.‎ ‎(2)连结CE,因为∠CBE=90°,‎ 所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,‎ 由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.‎ 而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.‎ ‎23.‎ 解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),‎ 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离 d=(0<α<2π).‎ 当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.‎ ‎24.‎ 解:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,‎ 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.‎ ‎(2)因为,,,‎ 故≥2(a+b+c),‎ 即≥a+b+c.‎ 所以≥1.‎
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