高考数学专题复习：专题5解析几何 第1讲
专题五 第一讲
一、选择题
1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，
2a2≠18，求得a＝－1，
∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为
d＝＝.故选B.
2．(2013·山东潍坊模拟)若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
[答案] B
[解析] 结合圆的几何性质易知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.
3．(文)⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为( )
A. B．4
C. D.
[答案] D
[解析] 由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
圆心O(0,0)到l的距离d＝，⊙O的半径R＝2，
∴截得弦长为2＝2＝.
(理)(2014·哈三中一模)直线x＋y＋＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 弦心距d＝＝1，半径r＝2，
∴劣弧所对的圆心角为.
4．(2014·湖南文，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
[答案] C
[解析] 本题考查了两圆的位置关系．
由条件知C1：x2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r1＝1，r2＝，由两圆外切的性质知，5＝1＋，∴m＝9.
5．(文)(2014·哈三中二模)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为( )
A．x＝1 B．x＝
C．y＝－ D．y＝－1
[答案] D
[解析] ∵A(0,1)是抛物线x2＝4y的焦点，又抛物线的准线为y＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C与定直线l：y＝－1总相切．
(理)(2014·河北衡水中学5月模拟)已知圆的方程x2＋y2＝4，若抛物线过点A(0，－1)、B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0)
[答案] C
[解析] 如图，设圆的切线l为抛物线的准线，F为焦点，过A、B、O作l的垂线，垂足为C、D、E，由抛物线的定义知，|FA|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝2|OE|＝4，由椭圆定义知F
在以A、B为焦点的椭圆上，所以方程为＋＝1，x＝0时不合题意，故选C.
6．(2014·福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝，弦长为|AB|＝2＝，
∴S△OAB＝×|AB|·d＝＝，∴k＝±1，
因此当“k＝1”时，“S△OAB＝”，故充分性成立．
“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，
∴必要性不成立，故选A.
二、填空题
7．(2013·天津耀华中学月考)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．
[答案] 2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
[解析] 本题主要考查直线方程的求法，属中档题．
当直线斜率不存在时，则直线方程为x＝3，则A、B两点到x＝3的距离分别为d1＝5，d2＝1，不符要求．故直线斜率存在，设为k，则直线方程可设为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，
则由题意得＝，解得k＝－或k＝2，
故直线方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
8．(文)(2013·天津耀华中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝
4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
[答案] (－13,13)
[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．
要使圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．
即<1，解|c|<13，
∴－13
0)的焦点在圆C1上．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点A(－1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．
[解析] (1)易求得圆心到直线的距离为，
所以半径r＝＝1.∴圆C1：x2＋y2＝1.抛物线的焦点(0，)在圆x2＋y2＝1上，得p＝2，
所以x2＝4y.
(2)设所求直线的方程为y＝k(x＋1)，
B(x1，y1)，C(x2，y2)．
将直线方程代入抛物线方程可得x2－4kx－4k＝0，
∴x1x2＝－4k.
因为抛物线y＝，所以y′＝，
所以两条切线的斜率分别为、，
所以·＝－1＝，所以k＝1.
故所求直线方程为x－y＋1＝0.
(理)(2014·石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C方程；
(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．
[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得
＝，
化简得x2＝4y.
(2)解法一：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，
由消去y得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，且Δ＝16k2＋16b
以点P为切点的切线的斜率为y′1＝x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，
即y＝x1x－x.
同理过点Q的切线的方程为y＝x2x－x.
两条切线的交点A(xA，yB)在直线x－y－2＝0上，
解得，即A(2k，－b)．
则：2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，
代入Δ＝16k2＋16b＝16k2＋32－32k＝16(k－1)2＋16>0，
|PQ|＝|x1－x2|＝4，
A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝，
S△APQ＝|PD|·d＝4|k2＋b|·＝4(k2＋b)
＝4(k2－2k＋2)＝4[(k－1)2＋1].
当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．
解法二：设A(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x2＝4y上，则以点P为切点的切线的斜率为y1＝x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，
即y＝x1x－y1，
同理以点Q为切点的方程为y＝x2x－y2.
设两条切线均过点A(x0，y0)，则
点P，Q的坐标均满足方程
y0＝xx0－y，即直线PQ的方程为：y＝x0x－y0，
代入抛物线方程x2＝4y消去y可得：
x2－2x0x＋4y0＝0
|PQ|＝|x1－x2|
＝
A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝，
S△APQ＝|PQ|d·|x－4y0|·
＝(x－4y0)
＝(x－4x0＋8)＝[(x0－2)2＋4]
当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．
10．已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|－|＝|＋|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设P(x，y)，
则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，
·＝－(x≠±2)，
整理得曲线C的方程为＋＝1(x≠±2)．
(2)若|－|＝|＋|，则⊥.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．
由⊥得·＝－1，又＋＝1.
解得直线MN方程为x＝±.原点O到直线MN的距离d＝.
若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.
由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∴x1＋x2＝，x1·x2＝. (*)
由⊥得·＝－1，整理得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.
代入(*)式解得7m2＝12(k2＋1)．
此时(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0中Δ>0.
此时原点O到直线MN的距离
d＝＝.
故原点O到直线MN的距离恒为d＝.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2＋y2＝.
一、选择题
11．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
[答案] A
[解析] 设圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C(－1,2)，又D(－2,3)，
故直线CD的斜率kCD＝＝－1，
则由CD⊥l知直线l的斜率kl＝－＝1，
故直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
12．过点(2，－1)的直线l与圆x2＋y2－2y＝1相切，则直线l的倾斜角的大小为( )
A．30°或150° B．45°或135°
C．75°或105° D．105°或165°
[答案] D
[解析] 设直线l为y＝k(x－2)－1，代入x2＋y2－2y＝1，得(1＋k2)x2－4k(k＋1)x＋4(k＋1)2－2＝0，由Δ＝16k2(k＋1)2－4(1＋k2)[4(k＋1)2－2]＝0，得k＝－2±，倾斜角为105°或165°.
13．(2013·宣城市六校联考)过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[答案] D
[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．
14．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0和圆：x2＋y2＋2x－4＝0相切，则a的取值范围是( )
A．a>7或a<－3
B．a>或a<－
C．－3≤a≤－或≤a≤7
D．a≥7或a－3
[答案] C
[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，
由得－7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a≤－或≤a≤7，故选C.
二、填空题
15．(2013·杭州质检)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A＋sin2B＝sin2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．
[答案] 2
[解析] 由正弦定理得a2＋b2＝c2，
∴圆心到直线距离d＝＝＝，
∴弦长l＝2＝2＝2.
16．(2013·合肥质检)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦长为2，则m＝________.
[答案] 0
[解析] 圆的半径为2，弦长为2，∴弦心距为1，即得d＝＝1，解得m＝0.
三、解答题
17．(文)(2013·海口调研)已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)经过点(1，)．
(1)求圆C的方程；
(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系＝＋(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
[解析] (1)由圆C：x2＋y2＝r2，再由点(1，)在圆C上，得r2＝12＋()2＝4，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．
①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，
联立消去y得，
(1＋k2)x2＋2k(k＋1)x＋k2＋2k－3＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋，
x1x2＝＝1＋，
y1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝－3，
因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，
因此，得x＋y＝4，x＋y＝4，
由＝＋得，x0＝，y0＝，
由于点M也在圆C上，则()2＋()2＝4，
整理得＋3·＋x1x2＋y1y2＝4，
即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋＋(－3)＝0，
从而得，k2－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为
y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
②若直线l的斜率不存在，
则A(－1，)，B(－1，－)，M(，)
()2＋()2＝4－≠4，
故点M不在圆上与题设矛盾，
综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.
(理)已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；
(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．
[解析] (1)因为a＝，e＝，所以c＝1，
则b＝1，即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝，
∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x.
又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．
∴kPQ＝－1，kOP＝1，
∴kOP·kPQ＝－1，
即OP⊥PQ，
故直线PQ与圆O相切．
(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±)，
则y＝2－x，kPF＝，kOQ＝－，
∴直线OQ的方程为y＝－x，
∴点Q(－2，)，
∴kPQ＝＝
＝＝－，又kOP＝.
∴kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切．
