浙江省2014届理科数学复习试题选编23：数列的综合问题（教师版）

浙江省2014届理科数学复习试题选编23：数列的综合问题（教师版）

浙江省2014届理科数学复习试题选编23：数列的综合问题 一、选择题 ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知各项均不为零的数列,定义向量,则下列命题中是真命题的是 （　　）‎ A．若对任意的,都有∥成立,则数列是等差数列 B．若对任意的,都有∥成立,则数列是等比数列 ‎ C．若对任意的,都有⊥成立,则数列是等差数列 D．若对任意的,都有⊥成立,则数列是等比数列 ‎【答案】A．‎ ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）若数列{an}的前n项和为则下列命题正确的是[来源:学+科+网Z+X+X+K] （　　）‎ A．若数列{ an)是递增数列,则数列{Sn}也是递增数列: ‎ B．数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数; ‎ C．若是等差数列,则对于的充要条件是 D．若是等比数列,则对于的充要条件是 ‎【答案】D ‎ ．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）设实数列分别为等差数列与等比数列,且,则以下结论正确的是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）数列{}定义如下:=1,当时,,若,则的值等于 （　　）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）已知为等差数列,其公差为-2,且是与 的等比中项,为的前n项和,,则的值为: （　　）‎ A．-110 B．‎-90 ‎C．90 D．110‎ ‎【答案】D ‎ ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）若1既是与的等比中项,又是与的等差中项,则的值是 （　　）‎ A．1或 B．1或 C．1或 D．1或 ‎【答案】D ‎ ‎ ‎ ．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）已知数列满足,且,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知数列是1为首项、2为公差的等数列,是1为首项、2为公比的等比数列,设,则当,n的最小值是 （　　）‎ A．7 B．‎9 ‎C．10 D．11‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知数列的前项和满足:,且,那么 （　　）‎ A．1 B．‎9 ‎C．10 D．55‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】,可得,,可得 ‎ ‎,同理可得,故选 （　　）‎ A． ‎ ．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）设是有穷数列,且项数.定义一个变换:‎ 将数列变成,其中.‎ 从数列开始,反复实施变换,直到只剩下一项而不能变换为止.则变换所产生的所有项的乘积为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A数列共有项,它们的乘积为.经过次变换,产生了有项的一个新数列,它们的乘积也为.对新数列进行同样的变换,直至最后只剩下一个数,它也是,变换终止.在变换过程中产生的所有的项,可分为2013组,每组的项数依次为,乘积均为,故答案为. ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知三个不全相等的实数a,b,c成等比数列.则可能成等差数列的是 （　　）‎ A．a , b , c B．a2, b2 ,c2 ‎ C．a3, b3 ,c3 D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）设数列{an}是首项为l的等比数列,若是等差数列,则 的值等于 （　　）‎ A．2012 B．‎2013 ‎C．3018 D．3019‎ ‎【答案】C ‎ 二、填空题 ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有也成等比数列,且公比为;类比上述结论,相应的在公差为3的等差数列中,若是的前项和,则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为______________.‎ ‎【答案】300; ‎ ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知,若(a,‎ t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t=_______.‎ ‎【答案】41 ‎ ‎【解析】照此规律:a=6,t=a2-1=35 ‎ ．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）公差不为0的等差数列{an}的部分项,构成等比数列,且k1=1,k2=2,k3=6,则k4=_______.‎ ‎【答案】22 ‎ ．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,S10=60 ,则S20等于 _________ ‎ ‎【答案】320; ‎ ．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）某种平面分形图如下图所示一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°;;依此规律得到n级分形图.‎ ‎(I)n级分形图中共有_____条线段;(II) ;n级分形图中所有线段长度之和为____‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）若为的各位数字之和,如,,则;记,,,,,则__________.‎ ‎【答案】11. ‎ ．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知,,设是向量与向量的夹角,则数列的前项和为_________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知等差数列首项为,公差为,等比数列首项为,公比为,其中 都是大于1的正整数,且,对于任意的 ‎,总存在,使得成立,则______.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图,将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表,已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列,从第2行起,每一行都是一个公差为的等差数列,若,则=____________. ‎ ‎（第16题图）‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）已知数列满足,(),则数列 的通项公式为____. ‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则a10=____________.‎ ‎【答案】1023 ‎ ‎【解析】累加法. ‎ 三、解答题 ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2.当n≥2时.Sn-1+l, an . Sn+1成筇等差数列.‎ ‎(I)求证:{Sn+1}是等比数列:‎ ‎(II)求数列{nan}的前n项和.‎ ‎【答案】(I)证明:∵,,成等差数列 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 即 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴是首项为,公比为的等比数列 ‎ ‎(II)解:由(I)可知 ∴ ‎ 当时, ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ (1) ‎ ‎ (2) ‎ ‎(1)-(2)得: ‎ ‎- ‎ ‎∴ ‎ ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列与的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,,求().‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知函数,数列满足:.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,若对一切成立,求最小正整数.‎ ‎【答案】解:(1)由题知, ‎ 故,数列是以1为首项,为公差的等差数列, ‎ 所以 ‎ ‎(2) ‎ 所以, ‎ 所以,,即:对一切成立 ‎ 又随着单调递增,且, ‎ 所以,故 ‎ 所以的最小值为2016 ‎ ．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）设数列的前项和为,满足且成等差数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若数列满足,求证数列是等比数列.‎ ‎(3) 求满足的最小正整数.‎ ‎【答案】解:(1)由,解得 ‎ ‎,所以数列是一个以3为首项,公比为3的等比数列 ‎ ‎(3)由(2)知,即 ‎ 所以数列的通项公式是 ‎ ‎,即,所以,所以n的最小正整数为4 ‎ ．（浙江省重点中学2013届高三上学期期中联谊数学（理）试题）数列的前项和为,,‎ ‎,等差数列满足,‎ ‎(I)分别求数列,的通项公式;‎ ‎(II)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I)由----①得----②, ‎ ①②得,; ‎ 由得 ‎ ‎ ‎ ‎; ‎ ‎(II), ‎ 对恒成立, 即对恒成立, ‎ 令,, ‎ 当时,,当时,, ‎ ‎, ‎ ．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）在公差的等差数列和公比的等比数列中,,‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和.‎ ‎【答案】解:(1)∵,解得 ‎ ‎∴ ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知三个正整数按某种顺序排列成等差数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若等差数列的首项.公差都为,等比数列的首项.公比也都为,前项和分别为 ‎,且,求满足条件的正整数的最大值.‎ ‎【答案】(1)是正整数,是正整数,, ‎ ‎ ‎ ‎(2), ‎ ‎,, ‎ ‎,即 ‎ 是正整数,的最大值是9 ‎ ．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设数列为等比数列,数列满足,,已知,,其中.‎ ‎(1) 求数列通项(用m表示);‎ ‎(2) 设为数列的前项和,若对于任意的正整数,都有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 由已知,所以, ‎ ‎, 所以, ‎ 解得,所以数列的公比. ‎ ‎(2), ‎ 因为,所以,由得, ‎ 注意到,当为奇数时,当为偶数时, ‎ 所以最大值为,最小值为. ‎ 对于任意的正整数都有, ‎ 所以,. ‎ 即所求实数的取值范围是. ‎ ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设公比大于零的等比数列的前n项和为,且,,数列的前n项和为,满足.‎ ‎(1)求数列、的通项公式;‎ ‎(2)设是单调递减数列,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知正项数列中,,点在抛物线 上;数列中,点在过点,斜率为的直线上.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)若,问是否存在,使成立,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)求证:,,‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）若是各项均不为零的等差数列,公差为,为其前项和,且满足,.‎ 数列满足,为数列的前项和.‎ ‎(Ⅰ)求和;‎ ‎(Ⅱ)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)在中,令,解得, ‎ 从而,, ‎ 于是 ‎ ‎(Ⅱ)假设否存在正整数,使得成等比数列,则 ‎ ‎,可得, ‎ 由分子为正,解得, ‎ 由,得,此时, ‎ 当且仅当,时,成等比数列 ‎ ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）设数列的前n项和为,数列满足.‎ ‎(1)若成等比数列,求m的值;‎ ‎(2)是否存在m,使得数列中存在某项满足成等差数列?若存在,则求出所有符合题意的m的值;若不存在,则请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.‎ ‎(1)求; (2)若,求 ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: ‎ ‎ ; ‎ ‎(Ⅱ)由(1)知,当时,, ‎ ‎①当时, ‎ ‎ ‎ ‎②当时, ‎ ‎ ‎ 所以,综上所述:; ‎ ．（浙江省杭州市2013届高三上学期期中七校联考数学（理）试题）已知数列中,,且点()在直线上.‎ ‎⑴ 求数列的通项公式;‎ ‎⑵若函数且,求函数的最小值;‎ ‎⑶设,表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式, 使得对于一切不小于2的自然数恒成立?若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)把点代入直线得:, ‎ ‎∴是公差为1的等差数列,又,因此可得: ‎ ‎(2)由(1) ‎ ‎∵ ‎ ‎∴是递增数列 ‎ 因此,即 ‎ ‎(3)∵,∴. ‎ 有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,存在,且 ‎ ．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）在等差数列和等比数列中,a1=2b1=2,b6=32,的前20项和S20=230.‎ ‎(Ⅰ)求和;‎ ‎(Ⅱ)现分别从和的前4中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求所取两项中,满足an>bn的概率.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知公差不为零的等差数列与等比数列中,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式 ‎(Ⅱ)设数列满足:且恒成立,求实数取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)令 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎