2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第八章立体几何与空间向量第7节利用空间向量求空间角

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2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第八章立体几何与空间向量第7节利用空间向量求空间角

www.ks5u.com 第7节 利用空间向量求空间角 考试要求 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题;2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.‎ 知 识 梳 理 ‎1.异面直线所成的角 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 ‎(0,π)‎ 求法 cos β= cos θ=|cos β|= ‎2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos〈a,n〉|=.‎ ‎3.求二面角的大小 ‎(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈,〉.‎ ‎(2)如图②③,n1,n2 分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos〈a,n〉|,不要误记为cos θ=|cos〈a,n〉|.‎ ‎2.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(  )‎ ‎(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(  )‎ ‎(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(  )‎ ‎(4)两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是[0,π].(  )‎ 解析 (1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角;(2)直线的方向向量a,平面的法向量n,直线与平面所成的角为θ,则sin θ=|cosa,n|;(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(老教材选修2-1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(  )‎ A.45° B.135° C.45°或135°    D.90°‎ 解析 cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°.‎ ‎∴两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.‎ 答案 C ‎3.(老教材选修2-1P112A组T4改编)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos 〈m,n〉=,则l与α所成的角为(  )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ 解析 由于cos 〈m,n〉=,所以〈m,n〉=30°,所以直线l与α所成的角为60°.‎ 答案 B ‎4.(2020·漳州模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),‎ ‎∴=(1,-1,2),=(-1,0,2).‎ ‎∴cos〈,〉= ‎= ‎==.‎ 答案 C ‎5.(2019·南阳调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析 设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),‎ 所以=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).‎ 令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=-x+y=0,n·=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1),‎ 设直线BB1与平面ACD1所成的角为θ,‎ 所以sin θ=|cos 〈n,〉|==.‎ 答案 B ‎6.(2020·大连预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.‎ 解析 如图,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P ‎(0,0,1),由题意,AD⊥平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD,‎ 又CD⊥平面PAD,‎ ‎∴CD⊥AE,又PD∩CD=D,从而AE⊥平面PCD.所以=(0,1,0),=分别是平面PAB,平面PCD的法向量,且〈,〉=45°.‎ 故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.‎ 答案 45°‎ 考点一 用空间向量求异面直线所成的角 ‎【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(2020·豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.- 解析 (1)法一 以B为原点,建立如图(1)所示的空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 图(1)           图(2)‎ 则B(0,0,0),B1(0,0,1),C1(1,0,1).‎ 又在△ABC中,∠ABC=120°,AB=2,则A(-1,,0).‎ 所以=(1,-,1),=(1,0,1),‎ 则cos〈,〉= ‎===,‎ 因此,异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.‎ 法二 将直三棱柱ABC-A1B1C1补形成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图(2)),连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1.‎ 则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角),易求得AB1=,BC1=AD1=,B1D1=.‎ 由余弦定理得cos∠B1AD1=.‎ ‎(2)取BD的中点O,连接AO,OC,由CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,得AO⊥BD,CO⊥BD,且OC=,AO=1.在△AOC中,AC2=AO2+OC2,故AO⊥OC,又知BD∩OC=O,因此AO⊥平面BCD,以OB,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),∴=(1,0,-1),=(-1,-,0),设异面直线AB与CD所成角为θ,则cos θ===,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.‎ 答案 (1)C (2)B 规律方法 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量v1,v2;(3)代入公式|cos〈v1,v2〉|=求解.‎ ‎2.两异面直线所成角的范围是θ∈,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.‎ ‎【训练1】 (2019·江西八校联考)在四面体ABCD中,BD⊥AD,CD⊥AD,BD⊥BC,BD=AD=1,BC=2,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析 以D为坐标原点,在平面BCD内过D与BD垂直的直线为x轴,以DB,DA所在的直线分别为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(0,1,0),C(-2,1,0),D(0,0,0),所以=(0,1,-1),=(-2,1,0),则cos〈,〉===,故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.‎ 答案 D 考点二 用空间向量求线面角 ‎【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)证明:PO⊥平面ABC;‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,‎ 所以OP⊥AC,且OP=2.‎ 连接OB,因为AB=BC=AC,‎ 所以AB2+BC2=AC2,‎ 所以△ABC为等腰直角三角形,‎ 且OB⊥AC,OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC且OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)解 如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.‎ 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的一个法向量=(2,0,0).‎ 设M(a,2-a,0)(00,所以与n的夹角β为锐角,则β与θ互为余角,‎ 所以sin θ=cos β==,‎ 易知|cos φ|==,‎ 又由图可知,φ为锐角,所以cos φ=,‎ 所以sin φ=,易知c
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