2021高考数学一轮复习专练31等比数列及其前n项和含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练31等比数列及其前n项和含解析理新人教版

专练31　等比数列及其前n项和 命题范围：等比数列的概念与性质、等比数列的通项公式、前n项和公式 ‎　　　‎ ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·广东惠州一调]等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝(　　)‎ A. B．2‎ C. D．3‎ ‎2．[2020·福建宁德质检]已知等比数列{an}满足a1＝，‎4a2a4＝‎4a3－1，则a2＝(　　)‎ A．± B. C．± D. ‎3．等比数列{an}中，若an>0，a‎2a4＝1，a1＋a2＋a3＝7，则公比q＝(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ ‎4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且‎4a1,‎2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)‎ A．7 B．8‎ C．15 D．16‎ ‎5．[2020·长沙市长郡中学高三测试]设{an}是公比为q＞1的等比数列，若a2 010和a2 011是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 012＋a2 013＝(　　)‎ A．18 B．10‎ C．25 D．9‎ ‎6．[2020·张家界高三测试]已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取得最大值时，n的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ ‎7．[2020·广东七校联合体二联]已知等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)‎ A．12 B．－ C．1或－ D．－1或 ‎8．在等比数列{an}中，a2＝，a3＝，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．[2020·山东青岛测试]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)‎ A．10 B．15‎ C．20 D．25‎ 二、填空题 ‎10．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.‎ ‎11．若等比数列{an}的各项均为正数，且a‎10a11＋a‎9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.‎ ‎12．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·全国卷Ⅱ]数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)‎ ‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 5‎ ‎14．[2020·湖南湘潭高三测试]设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)‎ A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2‎ C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an ‎15．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.‎ ‎16．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________．‎ 专练31　等比数列及其前n项和 ‎1．B　由题意可得即得选B.‎ ‎2．A　因为‎4a2a4＝‎4a3－1，所以‎4aq4＝‎4a1q2－1，又a1＝，解得q＝±2，所以a2＝a1·q＝×(±2)＝±.故选A.‎ ‎3．B　由等比数列的性质得a＝a‎2a4＝1，结合an>0，得a3＝1.由a1＋a2＋a3＝7，得＋＋a3＝7，则＋＝6，结合q>0，得q＝，故选B.‎ ‎4．C　∵‎4a1,‎2a2，a3成等差数列，∴‎4a2＝‎4a1＋a3.又{an}为等比数列，∴4q＝4＋q2，∴q＝2.又a1＝1，‎ ‎∴S4＝＝＝15.‎ ‎5．A　由题意可得：a2010＝，a2011＝，又{an}为等比数列，‎ ‎∴q＝3.‎ ‎∴a2012＋a2013＝＋＝18.‎ ‎6．C　设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－，q3＝，q＝，此等比数列各项均为负数，当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2＝(－24)2×＝24×8＝192，‎ T4＝(－24)46＝84×＝＞192，‎ T6＝(－24)615＝86×9＝＝×＜，T4最大，选择C.‎ ‎7．C　若q＝1，因为a3＝7，所以S3＝3×7＝21，符合题意；若q≠1，则，解得q＝－.所以公比q的值为1或－，故选C.‎ ‎8．D　∵{an}为等比数列，∴q＝＝，‎ 又＝＝＝.‎ ‎9．C　由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5，可得S8－S4＝S4＋5.又由等比数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2.于是a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.故选C.‎ ‎10．32‎ 解析：设{an}的首项为a1，公比为q，则 解得所以a8＝×27＝25＝32.‎ ‎11．50‎ 解析：∵{an}为等比数列，∴a‎10a11＝a‎9a12，‎ 又a‎10a11＋a‎9a12＝2e5，∴a‎10a11＝e5，‎ ‎∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a‎1a2……a20)＝ln(a10·a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50‎ ‎12．－8‎ 解析：由{an}为等比数列，设公比为q.‎ 即 显然q≠1，a1≠0，‎ 得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，‎ 所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.‎ ‎13．C　由am＋n＝aman，令m＝1可得an＋1＝a1an＝2an，∴数列{an}是公比为2的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.则ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k＋1＋2k＋2＋…＋2k＋10＝＝2k＋11－2k＋1＝215－25，∴k＝4.故选C.‎ ‎14．D　∵a1＝1，q＝，‎ ‎∴Sn＝＝3＝3－2·n－1＝3－2an ‎15. 解析：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．‎ 通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.‎ 优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a‎2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.‎ ‎16．64‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∴ 即解得 ‎∴a‎1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)‎ ‎＝ ‎＝，‎ 当n＝3或4时，取到最小值－6，此时取到最大值26，所以a‎1a2…an的最大值为64.‎