高考对数学文化的考查教师用书理

高考对数学文化的考查教师用书理

‎【三维设计】（通用版）2017届高三数学二轮复习 第二部分 考前30天 策略三 重视高考对数学文化的考查教师用书 理 ‎2017年《考试大纲》修订内容中增加了数学文化的要求，其主要目的是注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，从而实现考试的社会意义和现实目的．其实，近几年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，将数学知识、方法、文化融为一体，有效考查学生在新情境下对知识的理解及迁移运用能力．只不过前几年考纲未做明确要求，未引起广大师生的重视.2017年考纲作出明确要求后，相信以后的高考关于数学文化的命题会加大，应引起师生们的重点关注．高考将会从以下几个角度实现数学知识与数学文化的有效“嫁接”．　‎ ‎[典例1]　(2008·湖北高考)如图所示，“嫦娥一号”探 月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月 飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个 焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用‎2c1和‎2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用‎2a1和‎2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：‎ ‎①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；‎ ‎③c‎1a2＞a‎1c2；④＜.‎ 其中正确式子的序号是(　　)‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎[解析]　①由题图知‎2a1＞‎2a2，‎2c1＞‎2c2；即a1＞a2，c1＞c2，‎ ‎∴a1＋c1＞a2＋c2，∴①不正确．‎ ‎②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，‎ ‎∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确．‎ ‎③∵a1＞a2＞0，c1＞c2＞0.∴a＞a，c＞c，‎ 又∵a1－c1＝a2－c2.即a1＋c2＝a2＋c1，‎ 即a＋c＋‎2a1c2＝a＋c＋‎2a2c1.‎ ‎∴a－c＋c－a＋‎2a1c2＝‎2a2c1，‎ 即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋‎2a1c2＝‎2a2c1，‎ 整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋‎2a1c2＝‎2a2c1.‎ ‎∵a1＞c1，a1＞a2，c1＞c2，∴‎2a1c2＜‎2a2c1.‎ 即c‎1a2＞a‎1c2，∴③正确．‎ ‎④∵c‎1a2＞a‎1c2，a1＞0，a2＞0，∴＞.‎ 即＞，∴④不正确．‎ ‎[答案]　B ‎[精彩赏析]‎ 本例以“嫦娥一号”卫星为背景，抽象出一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆间的几何性质，并采用数形结合的方式构筑成题，题中所给的有关椭圆基本量的四个式子，形式上采用加、减、乘、除四则运算，并结合相等与不等关系组合而成，搭配对称和谐，富有数学美感，该题对于引导中学数学教育，理论联系实际，关注科普知识、重视数学文化有着非常重要的导向作用．‎ ‎[类题尝试]‎ ‎1.(2007·北京高考)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ.那么cos 2θ的值等于________．‎ 解析：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25.∴每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则 ‎∴两条直角边的长分别为3，4，‎ 又∵直角三角形中较小的锐角为θ，‎ ‎∴cos θ＝，cos 2θ＝2cos2θ－1＝.‎ 答案： ‎[典例2]　(1)(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为(　　)‎ A．9　　　　　　　　　B．18‎ C．20 D．35‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎(3)(2014·湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(4)(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．‎ ‎(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)‎ ‎[解析]　(1)由程序框图知，初始值：‎ n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，‎ 第一次循环：v＝4，i＝1；‎ 第二次循环：v＝9，i＝0；‎ 第三次循环：v＝18，i＝－1.‎ 结束循环，输出当前v的值18.故选B.‎ ‎(2)设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝××5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．故选B.‎ ‎(3)由题意知L2h≈πr2h⇒L2≈πr2，而L≈2πr，代入得π≈.‎ ‎(4)以我国数学名著《数书九章》为题材，考查台体的体积．圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为 V＝πh(r＋r＋r中r下)＝×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为＝＝3(寸)．‎ ‎[答案]　(1)B　(2)B　(3)B　(4)3‎ ‎[精彩赏析]‎ 本例(1)～(4)是以《九章算术》、《数书九章》和《算数书》为背景，相应考查算法、圆锥的体积公式和圆台的体积公式等数学知识．《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系；《数书九章》成书于1247年9月，是对《九章算术》的继承和发展，它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰；《算数书》成书于公元前186年以前，是目前已知最早的中国数学著作，它不仅系统地总结了秦和先秦的数学成就，为中国古代数学的发展奠定了基础，同时对后世的《九章算术》的产生也有一定的影响，而且开创了我国古代数学重应用的特色，标志着我国古代数学理论体系开始初步形成．以上高考试题，介绍了三部数学名著，让学生更加了解《九章算术》《数书九章》和《算数书》等数学名著，从这个意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身．‎ ‎[类题尝试]‎ ‎2．(2016·全国丙卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝(　　)‎ A．7 B．12‎ C．17 D．34‎ 解析：选C　第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(　　)‎ A．0 B．2‎ C．4 D．14‎ 解析：选B　a＝14，b＝18.‎ 第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；‎ 第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；‎ 第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；‎ 第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；‎ 第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；‎ 第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.‎ ‎[典例3]　(2012·湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：‎ ‎(1)b2 012是数列{an}中的第________项；‎ ‎(2)b2k－1＝________．(用k表示)‎ ‎[解析]　由题意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述规律可知：b2k＝a5k＝(k为正整数)，‎ b2k－1＝a5k－1＝＝，‎ 故b2 012＝b2×1 006＝a5×1 006＝a5 030，即b2 012是数列{an}中的第5 030项．‎ ‎[答案]　(1)5 030　(2) ‎[精彩赏析]‎ 此题是以形为载体，考查数列的通项公式等基础知识，考查特殊与一般的数学思想方法，考查归纳与猜想、推理与计算的能力，试题既合理引用了经典史料，又不刻意增加难度，同时对学生的数感进行了有效地考查，让学生在数学史的背景中，体验数学的理性精神．在数学史上，古希腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起，把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来，得数分为三角形数、正方形数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了．毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边形数推广到多面体数，公元前6世纪，还没有纸，用小石子研究数的性质，既方便又直观，这真是古希腊人的一种创造，也是认识数的一种有趣方法，英语中的“calculation”一词来源于拉丁文“calculus”，就是小石子的意思．‎ ‎[类题尝试]‎ ‎4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　N(n，3)＝n2＋n，‎ 正方形数　N(n，4)＝n2，‎ 五边形数　N(n，5)＝n2－n，‎ 六边形数　N(n，6)＝2n2－n，‎ ‎……‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝__________．‎ 解析：由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推测：‎ 当k为偶数时，N(n，k)＝n2－n，于是N(n，24)＝11n2－10n，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.‎ 答案：1 000‎ ‎[致同学]　数学文化只是一种命题载体，没必要引起广大师生的紧张和恐慌．只要平时多积累和了解一些这方面的常识，解题中注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过表象看本质，问题便可迎刃而解．‎ 一、选择题 ‎1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约(　　)‎ A．134石　　　　　　　B．169石 C．268石 D．338石 解析：选B　设这批米内夹谷约为x石，‎ 根据随机抽样事件的概率得＝，得x≈169.‎ 故选B.‎ ‎2．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是(　　)‎ A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈ 解析：选D　由球体积公式得d＝≈.‎ 因为≈1.777 777 78，≈1.910 828 03，≈1.909 090 91.‎ 而最接近于，所以选D.‎ ‎3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：‎ 第一步：构造数列1，，，，…，.‎ 第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.‎ 则a‎1a2＋a‎2a3＋…＋an－1an等于(　　)‎ A．n2　　　　　　　　　　　B．(n－1)2‎ C．n(n－1) D．n(n＋1)‎ 解析：选C　a‎1a2＋a‎2a3＋…＋an－1an ‎＝·＋·＋…＋· ‎＝n2 ‎＝n2 ‎＝n2·＝n(n－1)．‎ ‎4．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．‎ 已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(　　)‎ A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸 解析：选D　连接OA，OB，OD，‎ 设⊙O的半径为R，‎ 则(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.‎ sin∠AOD＝＝.‎ ‎∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.‎ 故∠AOB≈.‎ ‎∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB ‎＝××132－×10×12≈6.33平方寸．‎ ‎∴该木材镶嵌在墙中的体积为 V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.‎ 二、填空题 ‎5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为________升．‎ 解析：设该数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意 即解得 则a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝－＝.‎ 答案： ‎6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)‎ 若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为________．‎ 解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·x＝12.6.‎ 解得x＝1.6.‎ 答案：1.6‎ ‎7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝________．‎ 解析：由题意，可令1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎8.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐，问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD，芦苇根部O为AB的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P向水岸边点D的过程中，当芦苇经过DF的中点E时，问芦苇的顶端离水面的距离为多少？(注：1丈＝10尺，≈24.5)‎ 解：设水深为x尺，则x2＋52＝(x＋1)2，‎ 解得，x＝12.‎ ‎∴水深为12尺，芦苇长为13尺，‎ 以AB所在的直线为x轴，‎ 芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系，‎ 在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为13的圆，‎ 其方程为x2＋y2＝169(－5≤x≤5，12≤y≤13)，①‎ E点的坐标为.‎ ‎∴OE所在的直线方程为y＝－x，②‎ 由①②联立解得y＝ ≈＝.‎ 则此时芦苇的顶端离水面的距离为－12＝尺．‎ ‎9．(2015·湖北高考)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.‎ ‎(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．‎ ‎(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．‎ 解：(1)证明：如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．‎ 设PD＝DC＝1，BC＝λ(λ＞0)，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(λ，1，0)，C(0，1，0)，＝(λ，1，－1)，因为点E是棱PC的中点，‎ 所以E，＝，‎ 于是＝0，所以PB⊥DE.‎ 又已知EF⊥PB，而DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.‎ 因为＝(0，1，－1)，所以＝0，所以DE⊥PC，‎ 而PB∩PC＝P，所以DE⊥平面PBC.‎ 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，‎ 可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.‎ ‎(2)由PD⊥平面ABCD，‎ 所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．‎ 由(1)知，PB⊥平面DEF，‎ 所以＝(－λ，－1，1)是平面DEF的一个法向量．‎ 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，‎ 结合λ＞0，解得λ＝，所以＝＝.‎ 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，＝.‎