高考数学总复习简单线性规划知识梳理提高

高考数学总复习简单线性规划知识梳理提高

简单的线性规划 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。‎ ‎2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。‎ ‎3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；‎ ‎4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。‎ ‎5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。‎ ‎【知识网络】‎ 简单的线性规划 二元一次不等式（组）表示的区域 简单应用 不等式（组）的应用背景 ‎【考点梳理】‎ ‎【高清课堂：不等式与不等关系394841 知识要点】‎ 考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）‎ 要点诠释：‎ 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：‎ ‎①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；‎ ‎②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；‎ ‎③确定要画不等式所表示的平面区域。‎ 简称：“直线定界，特殊点定域”方法。‎ 考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.‎ 要点诠释：‎ 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：‎ 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)‎ 最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.‎ 考点三：线性规划的有关概念：‎ ‎①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．‎ ‎②线性目标函数：‎ 关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．‎ ‎③线性规划问题：‎ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．‎ ‎④可行解、可行域和最优解：‎ 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．‎ 由所有可行解组成的集合叫做可行域．‎ 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．‎ 要点诠释：‎ 在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：‎ ‎①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。‎ ‎②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；‎ ‎③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；‎ ‎④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。‎ 考点四：解线性规划问题总体步骤：‎ 设变量→找约束条件，找目标函数 作图，找出可行域求出最优解 要点诠释：‎ 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：‎ ‎ ①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；‎ ‎ ②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1. 用平面区域表示不等式组.‎ ‎【解析】不等式表示直线右下方的区域，‎ 表示直线右上方的区域，‎ 取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】画出不等式组表示的平面区域并求其面积。‎ ‎【解析】如图，面积为；‎ ‎【变式2】由直线，和围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为 。‎ ‎【解析】‎ ‎【变式3】求不等式组表示平面区域的面积.‎ ‎【解析】不等式所表示的平面区域如图 联立方程组得 所以 例2. 画出下列不等式表示的平面区域 ‎(1) ； (2) ‎ ‎【解析】 (1) 原不等式等价转化为或（无解），‎ 故点在区域内，如图：‎ ‎(2) 原不等式等价为或，如图 举一反三：‎ ‎【变式1】用平面区域表示不等式 ‎（1）； （2）； （3）‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎（1） （2） （3）‎ 例3.求满足不等式组的整数解.‎ ‎【解析】设： ，：，：，则 由，得，‎ 由，得 由，得 于是看出区域内点的横坐标在内，取，‎ 当时，代入原不等式组有，即，得＝－2，‎ ‎∴区域内有整点。‎ 同理可求得另外三个整点、、.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求不等式组的整数解。‎ ‎【解析】如图所示，‎ 作直线，，，‎ 在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，‎ 此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。‎ 类型二：图解法解决简单的线性规划问题.‎ ‎【高清课堂：不等式与不等关系394841 基础练习一】‎ 例4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A．12 B．‎10 ‎ C．8 D．2‎ ‎【解析】由约束条件可知可行域如图：‎ 平移知在处取得最大值 答案：B 举一反三：‎ ‎【变式1】求的最大值和最小值，使式中的,满足约束条件.‎ ‎【解析】在平面直角坐标系内作出可行域（如图所示）‎ 作直线，把向右上方平移至位置，‎ 即直线经过可行域上点A时，距原点距离最大，且，‎ 这时目标函数取得最大值.‎ 由方程组 ，解得，∴.‎ 把直线向左下方平移至位置，即直线l经过可行域上点B时，由于，‎ 这时目标函数取得最小值.‎ 由方程组 ，解得，∴.‎ ‎【变式2】给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷个，则的值为 . ‎ ‎【解析】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得.‎ ‎【变式3】如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 要求的最小值只需求出圆心到平面区域的最小值再减去半径1即可。‎ 由图象可以知道圆心到平面区域的最小值就是圆心到直线的距离 ‎（垂足为A）‎ 所以，故选Ａ 例5.已知、满足约束条件，求下列各式的最大值和最小值. ‎ ‎（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 求出交点，，，‎ 作过点的直线:，平移直线，得到一组与平行的直线:,. ‎ 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，‎ 当经过点时的直线所对应的最大，所以；‎ 当经过点时的直线所对应的最小，所以.‎ ‎（2）不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 作过点的直线:，平移直线，得到一组与平行的直线:,. ‎ 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，‎ 当经过线段上的所有点时的直线所对应的最大，所以；‎ 当经过点时的直线所对应的最小，所以.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求的最大值和最小值，使式中的、满足约束条件.‎ ‎【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：‎ 从图示可知，直线在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，‎ 以经过点的直线所对应的最小，‎ 以经过点的直线所对应的最大.‎ 所以，‎ ‎.‎ 类型三：某些实际背景的线性规划问题.‎ 例6.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少?‎ ‎【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件 ‎ 约束条件：， ‎ 目标函数：z=7000x+12000y 如图：目标函数经过A点时，z取得最大值 ‎ ‎， 即A（20，24）‎ ‎∴ 当x=20, y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。‎ 答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？‎ ‎【解析】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：‎ ‎，即 如图所示，作出不等式表示的区域，‎ 作直线，即，‎ 作直线的平行线：‎ 当直线经过可行域内A点时，纵截距最小，‎ 可得A点坐标为。‎ ‎∵z=160x+252y，∴，式中代表该直线的纵截距b，‎ 而直线的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，‎ 即过时，，‎ 但此时，‎ ‎∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，‎ 当x=5，y=2时，点在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求。‎ ‎∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，‎ 即zmin=160×5+2×252=1304（元）.‎