高考数学专题复习:专题3数列 第2讲

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高考数学专题复习:专题3数列 第2讲

专题三 第二讲 一、选择题 ‎1.(2013·重庆模拟)设{an}是等比数列,函数y=x2-x-2013的两个零点是a2、a3,则a‎1a4=(  )‎ A.2013        B.1‎ C.-1 D.-2013‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由条件得,a‎1a4=a‎2a3=-2013.‎ ‎2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}满足bn=(n∈N*),Tn是数列{bn}的前n项和,则T9等于(  )‎ A.     B.    ‎ C.     D. ‎[答案] D ‎[解析] ∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,∴n=1时,a1=2;n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,∴an=2n(n∈N*),∴bn===(-),T9=[(1-)+(-)+…+(-)]=×(1-)=.‎ ‎3.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(x∈R),且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为(  )‎ A.305 B.315 ‎ C.325 D.335‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵f(1)=,f(2)=+,‎ f(3)=++,…,‎ f(n)=+f(n-1),‎ ‎∴{f(n)}是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎∴S20=20×+×=335.‎ ‎4.等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是(  )‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵Sn=na1+d,∴Sn=n2+(a1-)n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,Sn)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧.‎ ‎[点评] 可取特殊数列验证排除,如an=3-n.‎ ‎5.(文)已知函数f(x)=log2x,等比数列{an}的首项a1>0,公比q=2,若f(a2·a4·a6·a8·a10)=25,则‎2f(a1)+f(a2)+…+f(a2012)等于(  )‎ A.21004×2009 B.21005×2009 ‎ C.21005×2011 D.21006×2011‎ ‎[答案] D ‎[解析] f(a2·a4·a6·a8·a10)‎ ‎=log2(a2·a4·a6·a8·a10)=log2(aq25)=25,‎ 即a·q25=225,‎ 又a1>0,q=2,故得到a1=1.‎ ‎2f‎(a1)+f(a2)+…+f(a2012)=‎2f(a1)·‎2f(a2)·…·‎2f(a2012)‎ ‎=2log‎2a1·2log‎2a2·…·2log‎2a2012‎ ‎=a1·a2·…·a2012=a·q1+2+…+2011‎ ‎=12012×2=21006×2011.故选D.‎ ‎(理)(2013·成都市二诊)已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=.若函数f(x)=sin2x+2cos2,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为(  )‎ A.0    B.-‎9 ‎   ‎ C.9    D.1‎ ‎[答案] C ‎[解析] 据已知得2an+1=an+an+2,即数列{an}为等差数列,又f(x)=sin2x+2× ‎=sin2x+1+cosx,因为a1+a9=a2+a8=…=‎2a5=π,故cosa1+cosa9=cosa2+cosa8=…=cosa5=0,又‎2a1+‎2a9=‎2a2+‎2a8=…=‎4a5=2π,故sin‎2a1+sin‎2a9=sin‎2a2+sin‎2a8=…=sin‎2a5=0,故数列{yn}的前9项之和为9,故选C.‎ ‎6.(文)(2014·辽宁协作联校三模)已知数列{an}的通项公式an=2014sin,则a1+a2+…+a2014=(  )‎ A.2012 B.2013 ‎ C.2014 D.2015‎ ‎[答案] C ‎[解析] 数列{an}的周期为4,且a1+a2+a3+a4=2014(sin+sinπ+sin+sin2π)=0,‎ 又∵2014=4×503+2,‎ ‎∴a1+a2+…+a2014=a1+a2=2014sin+2014sinπ=2014.‎ ‎(理)已知an=,数列{an}的前n项和为Sn,关于an及Sn的叙述正确的是(  )‎ A.an与Sn都有最大值 B.an与Sn都没有最大值 C.an与Sn都有最小值 D.an与Sn都没有最小值 ‎[答案] C ‎[解析] 画出an=的图象,‎ 点(n,an)为函数y=图象上的一群孤立点,(,0)为对称中心,S5最小,a5最小,a6最大 二、填空题 ‎7.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距‎10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________(m).‎ ‎[答案] 2000‎ ‎[解析] 设放在第x个坑边,则 S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|)‎ 由式子的对称性讨论,当x=10或11时,‎ S=2000.‎ 当x=9或12时,S=20×102=2040,…,当x=1或19时,S=3800.‎ ‎∴Smin=2000(m).‎ ‎8.(2014·广东理,13)若等比数列{an}的各项均为正数,且a‎10a11+a‎9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.‎ ‎[答案] 50‎ ‎[解析] ∵a‎10a11+a‎9a12=2e5,∴a1·a20=e5.‎ 又∵lna1+lna2+…+lna20=ln(a‎1a2…a20)‎ ‎=ln[(a‎1a20)(a‎2a19)…(a‎10a11)]‎ ‎=ln(e5)10=lne50=50.‎ 注意等比数列性质:若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,对数的性质logamn=nlogam.‎ 三、解答题 ‎9.(2013·天津理,19)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.‎ ‎[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即‎4a5=a3,‎ 于是q2==.‎ 又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.‎ 故等比数列{an}的通项公式为an=×(-)n-1=(-1)n-1·.‎ ‎(2)由(1)得 Sn=1-(-)n= 当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,‎ 所以1Sn-≥S2-=-=-.‎ 综上,对于n∈N*,总有-≤Sn-≤.‎ 所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为-.‎ ‎10.(文)(2014·唐山市二模)在公差不为0的等差数列{an}中,a3+a10=15,且a2,a5,a11成等比数列.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=++…+,试比较bn+1与bn的大小,并说明理由.‎ ‎[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得 注意到d≠0,解得a1=2,d=1.‎ 所以an=n+1.(n∈N+).‎ ‎(2)由(1)可知 bn=++…+,bn+1=++…+,‎ 因为bn+1-bn=+-=->0,‎ 所以bn+1>bn.‎ ‎(理)(2013·呼和浩特市二调)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1,S3,S2成等差数列.‎ ‎(1)求{an}的公比q;‎ ‎(2)若a1-a3=-,求数列{n·an}的前n项和Tn.‎ ‎[解析] (1)由已知得2S3=S1+S2,‎ ‎∴2(a1+a2+a3)=a1+(a1+a2),‎ ‎∴a2+‎2a3=0,an≠0,‎ ‎∴1+2q=0,∴q=-.‎ ‎(2)∵a1-a3=a1(1-q2)=a1(1-)=a1=-,‎ ‎∴a1=-2,∴an=(-2)·(-)n-1=(-)n-2,‎ ‎∴nan=n(-)n-2.‎ ‎∴Tn=1·(-)-1+2·(-)0+3·(-)1+…+n·(-)n-2,①‎ ‎∴-Tn=1·(-)0+2·(-)1+3·(-)2+…+n·(-)n-1,②‎ ‎①-②得 Tn=-2+[(-)0+(-)1+(-)2+…+(-)n-2]-n·(-)n-1‎ ‎=--(-)n-1(+n),‎ ‎∴Tn=--(-)n-1(+n).‎ 一、选择题 ‎11.(文)设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于(  )‎ A.n(2n+3) B.n(n+4)‎ C.2n(2n+3) D.2n(n+4)‎ ‎[答案] A ‎[解析] 设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1)⇒k=2,‎ f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+(2×6×1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n.‎ ‎(理)已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1、a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(  )‎ A. B.‎9 ‎ C.±9 D.35‎ ‎[答案] B ‎[解析] ∵{an}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,‎ ‎∴a1·a49=a=3.而an>0,∴a25=.‎ ‎∴a1·a2·a25·a48·a49=a=()5=9,故选B.‎ ‎12.(2014·哈三中二模)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-18,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和等于(  )‎ A.160 B.180 ‎ C.200 D.220‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵a1+a2+a3=-18,a18+a19+a20=78,‎ ‎∴(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=60,‎ ‎∴a1+a20=20,∴S20==10×20=200.‎ ‎13.(2013·福建理,6)阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是(  )‎ A.计算数列{2n-1}的前10项和 B.计算数列{2n-1}的前9项和 C.计算数列{2n-1}的前10项和 D.计算数列{2n-1}的前9项和 ‎[答案] A ‎[解析] 由框图结合k=10可知此框图进行了10次运算,结果为1+2+4+9+…+29,故选A.‎ 二、填空题 ‎14.(2014·河北名校名师俱乐部模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a3=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 解法1:∵S6=4S3,∴a4+a5+a6=3(a1+a2+a3)=(a1+a2+a3)q3,‎ ‎∴q3=3,∴q=,∴a3=a1q2=.‎ 解法2:∵a1=1,S6=4S3,∴=,‎ ‎∴1+q3=4,‎ ‎∴q3=3,∴q=,∴a3=a1q2=.‎ ‎15.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N*,其中Sn是数列{an}的前n项和,若a⊥b,则数列{}的最大项的值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ∵a⊥b,∴a·b=2Sn-n(n+1)=0,‎ ‎∴Sn=,∴an=n,‎ ‎∴==,当n=2时,n+取最小值4,此时取到最大值.‎ 三、解答题 ‎16.(2014·沈阳市质检)在△ABC中,角A、B、C的对应边分别是a、b、c,满足b2+c2=bc+a2.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)已知等差数列{an}的公差不为零,若a1cosA=1,且a2,a4,a8成等比数列,求{}的前n项和Sn.‎ ‎[解析] (1)∵b2+c2-a2=bc,‎ ‎∴==,‎ ‎∴cosA=,‎ 又∵A∈(0,π),∴A=.‎ ‎(2)设{an}的公差为d,由已知得a1==2,‎ 且a=a2·a8,‎ ‎∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且d不为零,‎ ‎∴d=2,‎ ‎∴an=2n.‎ ‎∴==-,‎ ‎∴Sn=(1-)+(-)+(-)…+(-)=1-=.‎ ‎17.(文)定义:若数列{An}满足An+1=A,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上,其中n为正整数.‎ ‎(1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列;‎ ‎(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(‎2a1+1)(‎2a2+1)…(2an+1),‎ 求Tn关于n的表达式;‎ ‎(3)记bn=log2an+1Tn,求数列{bn}的前n项之和Sn,并求使Sn>2012成立的n的最小值.‎ ‎[解析] (1)证明:由题意得an+1=‎2a+2an,‎ ‎∴2an+1+1=‎4a+4an+1=(2an+1)2.‎ 所以数列{2an+1}是“平方递推数列”.‎ 令cn=2an+1,所以lgcn+1=2lgcn.‎ 因为lg(‎2a1+1)=lg5≠0,‎ 所以=2.‎ 所以数列{lg(2an+1)}为等比数列.‎ ‎(2)由(1)知lg(2an+1)=(lg5)×2n-1,‎ ‎∴2an+1=10(lg5)×2n-1=52n-1,‎ ‎∴Tn=520×521×522×…×52n-1=520+21+…+2n-1=52n-1.‎ ‎(3)∵bn=log2an+1Tn==2-()n-1,‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn=2n- ‎=2n-2+,‎ 由2n-2=2012得n=1007,‎ ‎∴S1006=2×1006-2+∈(2010,2011),S1007=2×1007-2+∈(2012,2013).‎ 故使Sn>2012成立的n的最小值为1007.‎ ‎(理)已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=-的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{xn},其中x1=.‎ ‎(1)求xn与xn+1的关系式;‎ ‎(2)令bn=+,求证:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(3)若cn=3n-λbn(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.‎ ‎[分析] (1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系,而(xn,yn)在曲线xy=1上,有xnyn=1,消去yn得xn与xn+1的关系;(2)由定义证为常数;(3)转化为恒成立的问题解决.‎ ‎[解析] (1)过点An(xn,yn)的直线方程为y-yn=-(x-xn),‎ 联立方程,消去y得 x2-x+1=0.‎ 解得x=xn或x=.‎ 由题设条件知xn+1=.‎ ‎(2)证明:= ‎====-2.‎ ‎∵b1=+=-2≠0,∴数列{bn}是等比数列.‎ ‎(3)由(2)知,bn=(-2)n,要使cn+1>cn恒成立,由cn+1-cn=[3n+1-λ(-2)n+1]-[3n-λ(-2)n]=2·3n+3λ(-2)n>0恒成立,‎ 即(-1)nλ>-n-1恒成立.‎ ‎①当n为奇数时,即λ-n-1恒成立,‎ 又-n-1的最大值为-,∴λ>-,‎ 即-<λ<1.又λ为非零整数,‎ ‎∴λ=-1,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn.‎
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