高考数学专题复习:专题3数列 第2讲
专题三 第二讲
一、选择题
1.(2013·重庆模拟)设{an}是等比数列,函数y=x2-x-2013的两个零点是a2、a3,则a1a4=( )
A.2013 B.1
C.-1 D.-2013
[答案] D
[解析] 由条件得,a1a4=a2a3=-2013.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}满足bn=(n∈N*),Tn是数列{bn}的前n项和,则T9等于( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,∴n=1时,a1=2;n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,∴an=2n(n∈N*),∴bn===(-),T9=[(1-)+(-)+…+(-)]=×(1-)=.
3.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(x∈R),且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为( )
A.305 B.315
C.325 D.335
[答案] D
[解析] ∵f(1)=,f(2)=+,
f(3)=++,…,
f(n)=+f(n-1),
∴{f(n)}是以为首项,为公差的等差数列.
∴S20=20×+×=335.
4.等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )
[答案] C
[解析] ∵Sn=na1+d,∴Sn=n2+(a1-)n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,Sn)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧.
[点评] 可取特殊数列验证排除,如an=3-n.
5.(文)已知函数f(x)=log2x,等比数列{an}的首项a1>0,公比q=2,若f(a2·a4·a6·a8·a10)=25,则2f(a1)+f(a2)+…+f(a2012)等于( )
A.21004×2009 B.21005×2009
C.21005×2011 D.21006×2011
[答案] D
[解析] f(a2·a4·a6·a8·a10)
=log2(a2·a4·a6·a8·a10)=log2(aq25)=25,
即a·q25=225,
又a1>0,q=2,故得到a1=1.
2f(a1)+f(a2)+…+f(a2012)=2f(a1)·2f(a2)·…·2f(a2012)
=2log2a1·2log2a2·…·2log2a2012
=a1·a2·…·a2012=a·q1+2+…+2011
=12012×2=21006×2011.故选D.
(理)(2013·成都市二诊)已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=.若函数f(x)=sin2x+2cos2,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为( )
A.0 B.-9
C.9 D.1
[答案] C
[解析] 据已知得2an+1=an+an+2,即数列{an}为等差数列,又f(x)=sin2x+2×
=sin2x+1+cosx,因为a1+a9=a2+a8=…=2a5=π,故cosa1+cosa9=cosa2+cosa8=…=cosa5=0,又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π,故sin2a1+sin2a9=sin2a2+sin2a8=…=sin2a5=0,故数列{yn}的前9项之和为9,故选C.
6.(文)(2014·辽宁协作联校三模)已知数列{an}的通项公式an=2014sin,则a1+a2+…+a2014=( )
A.2012 B.2013
C.2014 D.2015
[答案] C
[解析] 数列{an}的周期为4,且a1+a2+a3+a4=2014(sin+sinπ+sin+sin2π)=0,
又∵2014=4×503+2,
∴a1+a2+…+a2014=a1+a2=2014sin+2014sinπ=2014.
(理)已知an=,数列{an}的前n项和为Sn,关于an及Sn的叙述正确的是( )
A.an与Sn都有最大值
B.an与Sn都没有最大值
C.an与Sn都有最小值
D.an与Sn都没有最小值
[答案] C
[解析] 画出an=的图象,
点(n,an)为函数y=图象上的一群孤立点,(,0)为对称中心,S5最小,a5最小,a6最大
二、填空题
7.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________(m).
[答案] 2000
[解析] 设放在第x个坑边,则
S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|)
由式子的对称性讨论,当x=10或11时,
S=2000.
当x=9或12时,S=20×102=2040,…,当x=1或19时,S=3800.
∴Smin=2000(m).
8.(2014·广东理,13)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.
[答案] 50
[解析] ∵a10a11+a9a12=2e5,∴a1·a20=e5.
又∵lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)
=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]
=ln(e5)10=lne50=50.
注意等比数列性质:若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,对数的性质logamn=nlogam.
三、解答题
9.(2013·天津理,19)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,
于是q2==.
又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.
故等比数列{an}的通项公式为an=×(-)n-1=(-1)n-1·.
(2)由(1)得
Sn=1-(-)n=
当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,
所以1
Sn-≥S2-=-=-.
综上,对于n∈N*,总有-≤Sn-≤.
所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为-.
10.(文)(2014·唐山市二模)在公差不为0的等差数列{an}中,a3+a10=15,且a2,a5,a11成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=++…+,试比较bn+1与bn的大小,并说明理由.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得
注意到d≠0,解得a1=2,d=1.
所以an=n+1.(n∈N+).
(2)由(1)可知
bn=++…+,bn+1=++…+,
因为bn+1-bn=+-=->0,
所以bn+1>bn.
(理)(2013·呼和浩特市二调)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=-,求数列{n·an}的前n项和Tn.
[解析] (1)由已知得2S3=S1+S2,
∴2(a1+a2+a3)=a1+(a1+a2),
∴a2+2a3=0,an≠0,
∴1+2q=0,∴q=-.
(2)∵a1-a3=a1(1-q2)=a1(1-)=a1=-,
∴a1=-2,∴an=(-2)·(-)n-1=(-)n-2,
∴nan=n(-)n-2.
∴Tn=1·(-)-1+2·(-)0+3·(-)1+…+n·(-)n-2,①
∴-Tn=1·(-)0+2·(-)1+3·(-)2+…+n·(-)n-1,②
①-②得
Tn=-2+[(-)0+(-)1+(-)2+…+(-)n-2]-n·(-)n-1
=--(-)n-1(+n),
∴Tn=--(-)n-1(+n).
一、选择题
11.(文)设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )
A.n(2n+3) B.n(n+4)
C.2n(2n+3) D.2n(n+4)
[答案] A
[解析] 设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1)⇒k=2,
f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+(2×6×1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n.
(理)已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1、a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( )
A. B.9
C.±9 D.35
[答案] B
[解析] ∵{an}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,
∴a1·a49=a=3.而an>0,∴a25=.
∴a1·a2·a25·a48·a49=a=()5=9,故选B.
12.(2014·哈三中二模)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-18,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和等于( )
A.160 B.180
C.200 D.220
[答案] C
[解析] ∵a1+a2+a3=-18,a18+a19+a20=78,
∴(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=60,
∴a1+a20=20,∴S20==10×20=200.
13.(2013·福建理,6)阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是( )
A.计算数列{2n-1}的前10项和
B.计算数列{2n-1}的前9项和
C.计算数列{2n-1}的前10项和
D.计算数列{2n-1}的前9项和
[答案] A
[解析] 由框图结合k=10可知此框图进行了10次运算,结果为1+2+4+9+…+29,故选A.
二、填空题
14.(2014·河北名校名师俱乐部模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a3=________.
[答案]
[解析] 解法1:∵S6=4S3,∴a4+a5+a6=3(a1+a2+a3)=(a1+a2+a3)q3,
∴q3=3,∴q=,∴a3=a1q2=.
解法2:∵a1=1,S6=4S3,∴=,
∴1+q3=4,
∴q3=3,∴q=,∴a3=a1q2=.
15.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N*,其中Sn是数列{an}的前n项和,若a⊥b,则数列{}的最大项的值为________.
[答案]
[解析] ∵a⊥b,∴a·b=2Sn-n(n+1)=0,
∴Sn=,∴an=n,
∴==,当n=2时,n+取最小值4,此时取到最大值.
三、解答题
16.(2014·沈阳市质检)在△ABC中,角A、B、C的对应边分别是a、b、c,满足b2+c2=bc+a2.
(1)求角A的大小;
(2)已知等差数列{an}的公差不为零,若a1cosA=1,且a2,a4,a8成等比数列,求{}的前n项和Sn.
[解析] (1)∵b2+c2-a2=bc,
∴==,
∴cosA=,
又∵A∈(0,π),∴A=.
(2)设{an}的公差为d,由已知得a1==2,
且a=a2·a8,
∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且d不为零,
∴d=2,
∴an=2n.
∴==-,
∴Sn=(1-)+(-)+(-)…+(-)=1-=.
17.(文)定义:若数列{An}满足An+1=A,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上,其中n为正整数.
(1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),
求Tn关于n的表达式;
(3)记bn=log2an+1Tn,求数列{bn}的前n项之和Sn,并求使Sn>2012成立的n的最小值.
[解析] (1)证明:由题意得an+1=2a+2an,
∴2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2.
所以数列{2an+1}是“平方递推数列”.
令cn=2an+1,所以lgcn+1=2lgcn.
因为lg(2a1+1)=lg5≠0,
所以=2.
所以数列{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)由(1)知lg(2an+1)=(lg5)×2n-1,
∴2an+1=10(lg5)×2n-1=52n-1,
∴Tn=520×521×522×…×52n-1=520+21+…+2n-1=52n-1.
(3)∵bn=log2an+1Tn==2-()n-1,
∴Sn=b1+b2+…+bn=2n-
=2n-2+,
由2n-2=2012得n=1007,
∴S1006=2×1006-2+∈(2010,2011),S1007=2×1007-2+∈(2012,2013).
故使Sn>2012成立的n的最小值为1007.
(理)已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=-的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{xn},其中x1=.
(1)求xn与xn+1的关系式;
(2)令bn=+,求证:数列{bn}是等比数列;
(3)若cn=3n-λbn(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.
[分析] (1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系,而(xn,yn)在曲线xy=1上,有xnyn=1,消去yn得xn与xn+1的关系;(2)由定义证为常数;(3)转化为恒成立的问题解决.
[解析] (1)过点An(xn,yn)的直线方程为y-yn=-(x-xn),
联立方程,消去y得
x2-x+1=0.
解得x=xn或x=.
由题设条件知xn+1=.
(2)证明:=
====-2.
∵b1=+=-2≠0,∴数列{bn}是等比数列.
(3)由(2)知,bn=(-2)n,要使cn+1>cn恒成立,由cn+1-cn=[3n+1-λ(-2)n+1]-[3n-λ(-2)n]=2·3n+3λ(-2)n>0恒成立,
即(-1)nλ>-n-1恒成立.
①当n为奇数时,即λ-n-1恒成立,
又-n-1的最大值为-,∴λ>-,
即-<λ<1.又λ为非零整数,
∴λ=-1,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn.