江西省鹰潭市2020届高三第二次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

江西省鹰潭市2020届高三第二次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 鹰潭市2020届高三第二次模拟考试 数学试题(文科)‎ 一､选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合、，然后利用交集的定义可求得集合.‎ ‎【详解】解不等式，即，解得或，，‎ 又，因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2. （ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.‎ ‎【详解】，，‎ - 23 -‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3. 某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）‎ A. 年该工厂的棉签产量最少 B. 这三年中每年抽纸的产量相差不明显 C. 三年累计下来产量最多的是口罩 D. 口罩的产量逐年增加 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；‎ 由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎4. 如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出循环的每一步，可得出输出结果.‎ ‎【详解】，，不成立，，；‎ 不成立，，；‎ 不成立，，；‎ 成立，输出的值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5. 如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.‎ ‎【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：‎ 由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体，‎ 该几何体的体积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎6. 我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过 - 23 -‎ 的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】不超过的素数有：、、、、、，‎ 在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，‎ 其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，‎ 因此，所求事件的概率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7. 已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.‎ ‎【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，.‎ 将点代入函数的解析式得，得，‎ ‎，，则，，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8. 偶函数关于点对称，当时，，求（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可.‎ ‎【详解】由于偶函数的图象关于点对称，则，‎ - 23 -‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 所以，函数是以为周期的周期函数，‎ 由于当时，，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎9. 在原点附近的部分图象大概是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.‎ ‎【详解】令，可得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，‎ - 23 -‎ ‎，则函数为奇函数，排除C、D选项；‎ 当时，，，则，排除B选项.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10. 在三角形中，，，求（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.‎ ‎【详解】，由正弦定理得，整理得，‎ 由余弦定理得，，.‎ 由正弦定理得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11. 抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.‎ ‎【详解】由题意可知点，设点、，设直线的方程为，‎ 由于点是的中点，则，‎ 将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，‎ 由韦达定理得，得，，解得，‎ 因此，直线的斜率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12. 已知 若在定义域上恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，可得出，求出函数的值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】，先解不等式.‎ ‎①当时，由，得，解得，此时；‎ ‎②当时，由，得.‎ 所以，不等式的解集为.‎ 下面来求函数的值域.‎ 当时，，则，此时；‎ 当时，，此时.‎ 综上所述，函数的值域为，‎ 由于在定义域上恒成立，‎ 则不等式定义域上恒成立，所以，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 已知，，求____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 求出向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.‎ ‎【详解】，，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14. 函数在处的切线方程是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.‎ ‎【详解】，则，，.‎ 因此，函数在处的切线方程是，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15. 平面区域的外接圆的方程是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程.‎ - 23 -‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：‎ 由图可知，平面区域为，联立，解得，则点，‎ 同理可得点、，‎ 设的外接圆方程为，‎ 由题意可得，解得，，，‎ 因此，所求圆的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16. 已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三棱锥补成长方体，设，，‎ - 23 -‎ ‎，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】将三棱锥补成长方体，设，，，‎ 设三棱锥的外接球半径为，则，‎ 由勾股定理可得，‎ 上述三个等式全部相加得，，‎ 因此，三棱锥的外接球面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.‎ 三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 是数列前项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列中最小的项.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得出，两式作差可求得数列 - 23 -‎ 的通项公式；‎ ‎（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.‎ ‎【详解】（1）对任意的，由得，‎ 两式相减得，‎ 因此，数列的通项公式为；‎ ‎（2）由（1）得，则.‎ 当时，，即，；‎ 当时，，即，.‎ 所以，数列的最小项为.‎ ‎【点睛】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎18. 秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区年至年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四个季度）统计制成的频率分布直方图. ‎ ‎（1）求直方图中的值，并估计销量的中位数；‎ ‎（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计年的销售量.‎ ‎【答案】（1），中位数为；（2）新能源汽车平均每个季度的销售量为 - 23 -‎ 万台，以此预计年的销售量约为万台.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可计算出的值，利用中位数左边的矩形面积之和为可求得销量的中位数的值；‎ ‎（2）利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，相加可得出销量的平均数，由此可预计年的销售量.‎ ‎【详解】（1）由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为，‎ 则，解得，‎ 由于，因此，销量的中位数为；‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为（万台），‎ 由此预测年的销售量为万台.‎ ‎【点睛】本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19. 如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若底面是正三角形，，在底面投影为，求到平面的距离.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，利用中位线的性质得出，，利用空间平行线的传递性可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；‎ ‎（2）推导出平面，并计算出，由此可得出到平面的距离为，即可得解.‎ ‎【详解】（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，‎ ‎、分别为、的中点，则，同理可得，.‎ 平面，平面，因此，平面；‎ ‎（2）由于在底面的投影为，平面，‎ 平面，，‎ 为正三角形，且为的中点，，‎ ‎，平面，且，‎ 因此，到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ - 23 -‎ ‎20. 已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2），理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；‎ ‎（2）设点的坐标为，求出直线的方程，求出点的坐标，由此计算出直线和的斜率，可计算出的值，进而可求得的值，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，椭圆上焦点为、，‎ 由椭圆的定义可得，可得，，‎ 因此，所求椭圆的方程为；‎ ‎（2）设点的坐标为，则，得，‎ - 23 -‎ 直线的斜率为，所以，直线的方程为，‎ 联立，解得，即点，‎ 直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 所以，，，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21. 有最大值，且最大值大于.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）当时，有两个零点，证明：.‎ ‎(参考数据：)‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；‎ ‎（2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，且.‎ 当时，对任意的，，‎ 此时函数在上为增函数，函数为最大值；‎ 当时，令，得.‎ 当时，，此时函数单调递增；‎ 当时，，此时函数单调递减.‎ 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，‎ 即，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是；‎ ‎（2）当时，，定义域为，‎ ‎，当时，；当时，.‎ 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 由于函数有两个零点、且，，‎ - 23 -‎ ‎，‎ 构造函数，其中，‎ ‎，‎ 令，，当时，，‎ 所以，函数在区间上单调递减，则，则.‎ 所以，函数在区间上单调递减，‎ ‎，，‎ 即，即，‎ ‎，且，而函数在上减函数，‎ 所以，，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线、交于、两点，是曲线上的动点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形为，进而可得出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求出点到直线的最大距离，以及直线截圆所得弦长，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）由曲线的参数方程得，‎ ‎.‎ 所以，曲线的普通方程为，‎ 将曲线的极坐标方程变形为，‎ 所以，曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）曲线是圆心为，半径为为圆，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 所以，点到直线的最大距离为，，‎ 因此，的面积为最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换，同时也考查了直线截圆所形成的三角形面积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎23. 已知，.‎ ‎（1）解；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）在不等式两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式可证得成立.‎ ‎【详解】（1），，由得，‎ 不等式两边平方得，即，解得或.‎ 因此，不等式的解集为；‎ ‎（2），，‎ 由绝对值三角不等式可得.‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎ ‎ - 23 -‎ - 23 -‎