数学文卷·2018届黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学东北三省三校高三第二次模拟考试（2018

数学文卷·2018届黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学东北三省三校高三第二次模拟考试（2018

东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）‎ ‎2018届高三第二次模拟考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知平面向量，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，则使成立的必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．等比数列中，，，则（ ）‎ A． B．4 C． D． ‎ ‎6．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎8．如图所示，一个三棱锥的的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ ‎9．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．矩形中，，，沿将三角形折起，当平面平面时，四面体的外接球的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．双曲线:的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点，连接分别与直线：交于点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则下列正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数的值域为 .‎ ‎14．设实数满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎15．写出下列命题中所有真命题的序号 . ‎ ‎①两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中时，必有相应的；④回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小.‎ ‎16．数列中，，，设数列的前项和为，则 . ‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．中的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的最大值，并求出取得最大值时角的值.‎ ‎18．某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（满分为100分），将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：‎ ‎（1）写出的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）现从成绩在内的学生中任选出两名同学，从成绩在内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若同学的数学成绩为43分，同学的数学成绩为分，求两同学恰好都被选出的概率.‎ ‎19．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎ ‎ ‎20．在平面直角坐标系中，动点总满足关系式.‎ ‎（1）点的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程； ‎ ‎（2）坐标原点到直线：的距离为，直线与的轨迹交于不同的两点，若，求的面积.‎ ‎21．已知定义域为的函数（常数）.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的最大整数值.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线：.以为极点，轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程； ‎ ‎（2）射线（）与曲线的异于极点的交点为，与曲线的交点为，求.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）设的解集为集合，求集合； ‎ ‎（2）已知为集合中的最大自然数，且（其中为正实数），设.求证：.‎ 文科数学答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B D B A C C B A C C A 二、填空题 ‎13. 14. 18 15. （2）（4） 16. ‎ 三、解答题 ‎17．（1），‎ 整理得，‎ 即，‎ 因为，则.‎ ‎（2）由（1）知，则，‎ 于是，‎ 由，则，‎ 故当时，的最大值为2，此时.‎ ‎18. (1)‎ 估计本次考试全年级学生的数学平均分为 ‎.‎ ‎（2）设数学成绩在内的四名同学分别为，‎ 成绩在内的两名同学为，‎ 则选出的三名同学可以为：‎ ‎、、、、、、、、、、、，共有12种情况.‎ 两名同学恰好都被选出的有、、，共有3种情况，‎ 所以两名同学恰好都被选出的概率为.‎ ‎19.（1）证明：连接，由直三棱柱知，‎ ‎∵又有，‎ ‎∴平面 ‎∵分别为的中点，则，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ 所以，，‎ 平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）设点到平面的距离为，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面 由知，，‎ 即，解得.‎ 点到平面的距离为.‎ ‎20.(1)由化简，得，‎ 所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，‎ 它的标准方程为.‎ ‎（2）由点到直线：的距离为1，得，即，‎ 设，‎ 消去，得 ‎，‎ ‎.‎ ‎∵，∴，‎ 解得，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎21. （1）当时，（），∴，‎ 令，有，∴在上为增函数，‎ 令，有，∴在上为减函数，‎ 综上，在上为减函数，在上为增函数.‎ ‎（2）∵对于恒成立，‎ 即对于恒成立，‎ 由（1）知 ‎①当时，在上为增函数，∴，‎ ‎∴恒成立 ‎∴‎ ‎②当时，在上为减函数，在上为增函数.‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 设，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上递增，而 ‎，‎ ‎∴在上存在唯一使得，且，‎ ‎∵，∴最大整数值为2，使，即最大整数值为2，‎ 有对于恒成立.‎ ‎22. （1）曲线的参数方程（为参数）‎ 可化为普通方程，‎ 由，可得曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）射线（）与曲线的交点的极径为，‎ 射线（）与曲线的交点的极径满足，解得 ‎，‎ 所以.‎ ‎23．（1）即 当时，不等式化为，∴；‎ 当时，不等式化为，不等式恒成立；‎ 当时，不等式化为，∴.‎ 综上，集合.‎ ‎（2）由（1）知，则.‎ 则，同理，则 ‎，即.‎