南京市2015年中考数学卷

南京市2015年中考数学卷

江苏省南京市2015年初中毕业生学业考试数学试题 一． 选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)‎ ．计算︱－ 5＋3︱的结果是( )‎ A. － 2 B. ‎2 ‎ C. － 8 D. 8‎ 考点：‎ 有理数的加法；绝对值．.‎ 分析：‎ 先计算﹣5+3，再求绝对值即可．‎ 解答：‎ 解：原式=|﹣2|‎ ‎=2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．‎ ．计算(－xy³)²的结果是( ) ‎ A. x²y6 B. －x²y‎6 ‎ C. x²y9 D. －x²y9‎ 考点：‎ 幂的乘方与积的乘方．.‎ 分析：‎ 根据幂的乘方和积的乘方的运算方法：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）；求出计算（﹣xy3）2的结果是多少即可．‎ 解答：‎ 解：（﹣xy3）2‎ ‎=（﹣x）2•（y3）2‎ ‎=x2y6，‎ 即计算（﹣xy3）2的结果是x2y6．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．‎ ．如图，在△ABC中，DE ∥ BC，，则下列结论中正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．.‎ 分析：‎ 由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．‎ 解答：‎ 解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∵=，‎ ‎∵=，‎ 故A、B选项均错误；‎ ‎∵△ADE∽△ABC，‎ ‎∴==，=（）2=，‎ 故C选项正确，D选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．‎ ．某市2013年底机动车的数量是2×106辆，2014年新增3×105辆．用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是( )‎ A. 2.3‎‎×105辆 B. 3.2×105辆 C. 2.3×106辆 D. 3.2×106辆 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：2014年底机动车的数量为：3×105+2×106=2.3×106．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ．估计介于( )‎ A.0.4‎与0.5之间 B. 0.5与0.6之间 ‎ C. 0.6与0.7之间 D. 0.7与0.8之间 考点：‎ 估算无理数的大小．.‎ 分析：‎ 先估算的范围，再进一步估算，即可解答．‎ 解答：‎ 解：∵2.235，‎ ‎∴﹣1≈1.235，‎ ‎∴≈0.617，‎ ‎∴介于0.6与0.7之间，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了估算有理数的大小，解决本题的关键是估算的大小．‎ ．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( ) ‎ A. B. C. D.2 考点：‎ 切线的性质；矩形的性质．.‎ 分析：‎ 连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果．‎ 解答：‎ 解：连接OE，OF，ON，OG，‎ 在矩形ABCD中，‎ ‎∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，‎ ‎∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，‎ ‎∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，‎ ‎∴四边形AFOE，FBGO是正方形，‎ ‎∴AF=BF=AE=BG=2，‎ ‎∴DE=3，‎ ‎∵DM是⊙O的切线，‎ ‎∴DN=DE=3，MN=MG，‎ ‎∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，‎ 在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，‎ ‎∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，‎ ‎∴NM=，‎ ‎∴DM=3=，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ 一． 填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)‎ ．4的平方根是；4的算术平方根是．‎ 考点：‎ 算术平方根；平方根．.‎ 分析：‎ 如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．‎ 解答：‎ 解：4的平方根是±2；4的算术平方根是2．‎ 故答案为：±2；2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平方根和算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．‎ ．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．‎ 考点：‎ 二次根式有意义的条件．.‎ 分析：‎ 根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：x+1≥0，‎ 解得x≥﹣1，‎ 故答案为：x≥﹣1．‎ 点评：‎ 主要考查了二次根式的意义和性质．‎ 概念：式子（a≥0）叫二次根式．‎ 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ．计算的结果是 ．‎ 考点：‎ 二次根式的乘除法．.‎ 分析：‎ 直接利用二次根式的性质化简求出即可．‎ 解答：‎ 解：=×=5．‎ 故答案为：5．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．‎ ．分解因式(a － b)(a － 4b)＋ab的结果是 ．‎ 考点：‎ 因式分解-运用公式法．.‎ 分析：‎ 首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可．‎ 解答：‎ 解：（a﹣b）（a﹣4b）+ab ‎=a2﹣5ab+4b2+ab ‎=a2﹣4ab+4b2‎ ‎=（a﹣2b）2．‎ 故答案为：（a﹣2b）2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．‎ ．不等式组 的解集是 ．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．.‎ 分析：‎ 分别解每一个不等式，再求解集的公共部分．‎ 解答：‎ 解：，‎ 解不等式①得：x＞﹣1，‎ 解不等式②得：x＜1，‎ 所以不等式组的解集是﹣1＜x＜1．‎ 故答案为：﹣1＜x＜1．‎ 点评：‎ 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．‎ ．已知方程x²＋mx＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．‎ 考点：‎ 根与系数的关系；一元二次方程的解．.‎ 分析：‎ 利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．‎ 解答：‎ 解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，‎ 解得：m=﹣4，a=3．‎ 故答案是：3，﹣4．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．‎ ．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－ 3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A''，则点A''的坐标是( ， )．‎ 考点：‎ 关于x轴、y轴对称的点的坐标．.‎ 分析：‎ 分别利用x轴、y轴对称点的性质，得出A′，A″的坐标进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，‎ ‎∴A′的坐标为：（2，3），‎ ‎∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，‎ ‎∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．‎ 故答案为：﹣2；3．‎ 点评：‎ 此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质．‎ ‎（1）关于x轴对称点的坐标特点：‎ 横坐标不变，纵坐标互为相反数．‎ 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．‎ ‎（2）关于y轴对称点的坐标特点：‎ 横坐标互为相反数，纵坐标不变．‎ 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．‎ ．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．‎ 工种 人数 每人每月工资 元 电工 ‎5‎ ‎7000‎ 木工 ‎4‎ ‎6000‎ 瓦工 ‎5‎ ‎5000‎ 现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 (填“变小”，“不变”或“变大”)．‎ 考点：‎ 方差．.‎ 分析：‎ 利用已知方差的定义得出每个数据减去平均数后平方和增大，进而得出方差变大．‎ 解答：‎ 解：∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，‎ ‎∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大．‎ 故答案为：增大．‎ 点评：‎ 此题主要考查了方差的定义，正确把握方差中每个数据的意义是解题关键．‎ ．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E= °．‎ 考点：‎ 圆内接四边形的性质．.‎ 分析：‎ 连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．‎ 解答：‎ 解：如图，连接CE，‎ ‎∵五边形ABCDE是圆内接五边形，‎ ‎∴四边形ABCE是圆内接四边形，‎ ‎∴∠B+∠AEC=180°，‎ ‎∵∠CED=∠CAD=35°，‎ ‎∴∠B+∠E=180°+35°=215°．‎ 故答案为：215．‎ 点评：‎ 本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．‎ ．如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图像在第一象限内分别交于点A、B，且A为OB的中点．若函数y1= ，则y2与x的函数表达式是 ．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．.‎ 分析：‎ 过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，由于点A在反比例函数y1=上，设A（a，），求得点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果．‎ 解答：‎ 解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，‎ ‎∵点A在反比例函数y1=上，‎ ‎∴设A（a，），‎ ‎∴OC=a，AC=，‎ ‎∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，‎ ‎∴AC∥BD，‎ ‎∴△OAC∽△OBD，‎ ‎∴，‎ ‎∵A为OB的中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BD=2AC=，OD=2OC=2a，‎ ‎∴B（2a，），‎ 设y2=，‎ ‎∴k=2a•=4，‎ ‎∴y2与x的函数表达式是：y=．‎ 故答案为：y=．‎ 点评：‎ 本题主要考查了待定系数法求反比例函数，相似三角形的判定和性质，反比例函数中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．‎ 一． 解答题(本大题共11小题，共88分) ‎ ．（6分）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．.‎ 分析：‎ 不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．‎ 解答：‎ 解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，‎ 移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，‎ 合并同类项，得﹣x≥1，‎ 系数化为1，得x≤﹣1，‎ 这个不等式的解集在数轴上表示为：‎ 点评：‎ 本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ．（7分）解方程 考点：‎ 解分式方程．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：‎ 解：方程两边同乘以x（x﹣3），得2x=3（x﹣3）．‎ 解这个方程，得x=9．‎ 检验：将x=9代入x（x﹣3）知，x（x﹣3）≠0．‎ 所以x=9是原方程的根．‎ 点评：‎ 本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验．‎ ．（7分）计算 考点：‎ 分式的混合运算．.‎ 分析：‎ 首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．‎ 解答：‎ 解：（﹣）÷‎ ‎=[﹣]×‎ ‎=[﹣]×‎ ‎=×‎ ‎=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．‎ ．（8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．‎ (1) 求证：△ACD ∽ △CBD；‎ (2) 求∠ACB的大小．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．.‎ 分析：‎ ‎（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；‎ ‎（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵CD是边AB上的高，‎ ‎∴∠ADC=∠CDB=90°，‎ ‎∵=．‎ ‎∴△ACD∽△CBD；‎ ‎（2）解：∵△ACD∽△CBD，‎ ‎∴∠A=∠BCD，‎ 在△ACD中，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠A+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠BCD+∠ACD=90°，‎ 即∠ACB=90°．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．‎ ．（8分）为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生‎50米跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2010年抽样结果，得到下列统计图．‎ (1) 本次检测抽取了大、中、小学生共名，其中小学生名；‎ (2) 根据抽样的结果，估计2014年该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学生人数为名；‎ (3) 比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测”，可得100000×10%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占45%，即可解答；‎ ‎（2）先计算出样本中50米跑成绩合格的中学生所占的百分比，再乘以10万，即可解答；‎ ‎（3）根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．‎ 解答：‎ 解：（1）100000×10%=10000（人），10000×45%═4500（人）．‎ 故答案为：10000，4500；‎ ‎（2）100000×40%×90%=3600（人）．‎ 故答案为：3600；‎ ‎（3）例如：与2010年相比，2014年该市大学生50米跑成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ ．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张．从中随机取出2张纸币．‎ (1) 求取出纸币的总额是30元的概率；‎ (2) 求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；‎ ‎（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．‎ 解答：‎ 解：（1）列表：‎ 共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，‎ 所以取出纸币的总额是30元的概率=；‎ ‎（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，‎ 所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．‎ 点评：‎ 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．‎ ．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为‎45km/h和‎36km/h．经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D位，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O有多远？‎ ‎(参考数据：sin58° ≈ 0.85，cos58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60)‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用．.‎ 分析：‎ 设B处距离码头Oxkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可．‎ 解答：‎ 解：设B处距离码头Oxkm，‎ 在Rt△CAO中，∠CAO=45°，‎ ‎∵tan∠CAO=，‎ ‎∴CO=AO•tan∠CAO=（45×0.1+x）•tan45°=4.5+x，‎ 在Rt△DBO中，∠DBO=58°，‎ ‎∵tan∠DBO=，‎ ‎∴DO=BO•tan∠DBO=x•tan58°，‎ ‎∵DC=DO﹣CO，‎ ‎∴36×0.1=x•tan58°﹣（4.5+x），‎ ‎∴x=≈=13.5．‎ 因此，B处距离码头O大约13.5km．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形中的边角关系是解题的关键．‎ ．（8分）如图，AB ∥ CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．‎ (1) 求证：四边形EGFH是矩形．‎ (2) 小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．过G作MN ∥ EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ ∥ EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP．此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．‎ 小明的证明思路 由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形．要证▱MNQP是菱形, 只要证NM=NQ．由已知条件 ， MN ∥ EF，可证NG = NF，故只要证 GM = FQ，即证△MGE ≌△QFH．易证 ， ， 故只要证 ∠MGE = ∠QFH，∠QFH = ∠GEF，∠QFH=∠EFH， ，即可得证．‎ 考点：‎ 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．.‎ 分析：‎ ‎（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；‎ ‎（2）利用菱形的判定方法首先得出要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证∠MGE=∠QFH得出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵EH平分∠BEF，‎ ‎∴∠FEH=∠BEF，‎ ‎∵FH平分∠DFE，‎ ‎∴∠EFH=∠DFE，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF+∠DFE=180°，‎ ‎∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，‎ ‎∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，‎ ‎∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，‎ 同理可得：∠EGF=90°，‎ ‎∵EG平分∠AEF，‎ ‎∴∠EFG=∠AEF，‎ ‎∵EH平分∠BEF，‎ ‎∴∠FEH=∠BEF，‎ ‎∵点A、E、B在同一条直线上，‎ ‎∴∠AEB=180°，‎ 即∠AEF+∠BEF=180°，‎ ‎∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，‎ 即∠GEH=90°，‎ ‎∴四边形EGFH是矩形；‎ ‎（2）解：答案不唯一：‎ 由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，‎ 要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，‎ 故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FGH．‎ 故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．‎ 点评：‎ 此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质，根据题意得出证明菱形的方法是解题关键．‎ ．(10分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．.‎ 分析：‎ ‎①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．‎ 解答：‎ 解：满足条件的所有图形如图所示：‎ 点评：‎ 此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法．‎ ．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．‎ (1) 求证：∠A=∠AEB．‎ (2) 连接OE，交CD于点F，OE ⊥ CD．求证：△ABE是等边三角形．‎ 考点：‎ 圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；‎ ‎（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠A+∠BCD=180°，‎ ‎∵∠DCE+∠BCD=180°，‎ ‎∴∠A=∠DCE，‎ ‎∵DC=DE，‎ ‎∴∠DCE=∠AEB，‎ ‎∴∠A=∠AEB；‎ ‎（2）∵∠A=∠AEB，‎ ‎∴△ABE是等腰三角形，‎ ‎∵EO⊥CD，‎ ‎∴CF=DF，‎ ‎∴EO是CD的垂直平分线，‎ ‎∴ED=EC，‎ ‎∵DC=DE，‎ ‎∴DC=DE=EC，‎ ‎∴△DCE是等边三角形，‎ ‎∴∠AEB=60°，‎ ‎∴△ABE是等边三角形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．‎ ‎27．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．‎ ‎(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．‎ ‎(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．‎ ‎(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 考点：‎ 二次函数的应用．.‎ 分析：‎ ‎（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；‎ ‎（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；‎ ‎（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；‎ ‎（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，‎ ‎∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；‎ ‎（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，‎ ‎∵经过点（0，120）与（130，42），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），‎ 设产量为xkg时，获得的利润为W元，‎ 当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，‎ ‎∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；‎ 当90≤x130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，‎ ‎∴当x90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，‎ 由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，‎ 因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．‎