2019版一轮复习理数通用版第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用
教材复习课 “基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过
指数与对数的基本运算
[过双基]
一、根式与幂的运算
1．根式的性质
(1)(n a)n＝a.
(2)当 n 为奇数时，n an＝a.
(3)当 n 为偶数时，n an＝|a|＝ a a≥0，
－a a<0.
(4)负数的偶次方根无意义．
(5)零的任何次方根都等于零．
2．有理数指数幂
(1)分数指数幂：
①正分数指数幂：am
n
＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n >1)．
②负分数指数幂：a－m
n
＝ 1
am
n
＝
1
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n >1)．
③0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质．
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
二、对数及对数运算
1．对数的定义
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 x＝loga N，
其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数．
2．对数的性质
(1)loga1＝0，logaa＝1.
(2)alogaN＝N，logaaN＝N.
(3)负数和零没有对数．
3．对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M >0，N >0，那么
(1)loga(M N)＝logaM＋loga N.
(2)loga
M
N
＝logaM－loga N.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(4)换底公式 logab＝logmb
logma(a>0 且 a≠1，b>0，m>0，且 m≠1)．
1．化简
a
2
3 ·b－1
1
2 ·a
1
2 ·b
1
3
6 a·b5
(a>0，b>0)的结果是( )
A．a B．ab
C．a2b D.1
a
解析：选 D 原式＝
a 3
1
b
1
2 a
1
2 b
1
3
a
1
6
b
5
6
＝a
1 11
3 62 ·b
1 51
3 62 ＝1
a.
2．若 x＝log43，则(2x－2－x)2＝( )
A.9
4 B.5
4
C.10
3 D.4
3
解析：选 D 由 x＝log43，得 4x＝3，即 4－x＝1
3
，(2x－2－x)2＝4x－2＋4－x＝3－2＋1
3
＝4
3.
3. log232－4log23＋4＋log2
1
3
＝( )
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
解析：选 B log232－4log23＋4＋log2
1
3
＝ log23－22－log23＝2－log23－log23＝2－
2log23.
4．已知 f(x)＝2x＋2－x，若 f(a)＝3，则 f(2a)＝( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选 C 由题意可得 f(a)＝2a＋2－a＝3，则 f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝7.
[清易错]
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根
号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．
2．在对数运算时，易忽视真数大于零．
1．化简 －x3
x
的结果是( )
A．－ －x B. x
C．－ x D. －x
解析：选 A 依题意知 x<0，故 －x3
x
＝－ －x3
x2
＝－ －x.
2．若 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则x
y
的值为________．
解析：∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
∴xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0，
即(x－y)(x－4y)＝0，解得 x＝y 或 x＝4y.
又 x>0，y>0，x－2y>0，
故 x＝y 不符合题意，舍去．
所以 x＝4y，即x
y
＝4.
答案：4
二次函数
[过双基]
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域 R R
值域
单调性
在 －∞，－ b
2a 上单调递减；
在 － b
2a
，＋∞ 上单调递增
在 －∞，－ b
2a 上单调递增；
在 － b
2a
，＋∞ 上单调递减
对称性 函数的图象关于直线 x＝－ b
2a
对称
1．若二次函数 y＝－2x2－4x＋t 的图象的顶点在 x 轴上，则 t 的值是( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析：选 C ∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上，∴Δ＝16＋8t＝0，可得 t＝－2.
2．(2018·唐山模拟)如果函数 f(x)＝x2－ax－3 在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数 a
的取值范围为( )
A．[8，＋∞) B．(－∞，8]
C．[4，＋∞) D．[－4，＋∞)
解析：选 A 函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝a
2
，由题意得a
2
≥4，解得 a≥8.
3．(2017·宜昌二模)函数 f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是( )
A．[－20,4] B．(－20,4)
C.
－20，9
2 D.
－20，9
2
解析：选 C 由函数 f(x)＝－2x2＋6x 可知，二次函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x
＝3
2
，当－2≤x<3
2
时，函数 f(x)单调递增，当3
2
≤x≤2 时，函数 f(x)单调递减，∴f(x)max＝f
3
2
＝－2×9
4
＋6×3
2
＝9
2
，又 f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8＋12＝4，∴函数 f(x)的值域为
－20，9
2 .
[清易错]
易忽视二次函数表达式 f(x)＝ax2＋bx＋c 中的系数 a≠0.
若二次函数 f(x)＝ax2－4x＋c 的值域为[0，＋∞)，则 a，c 满足的条件是________．
解析：由已知得
a>0，
4ac－16
4a
＝0， ⇒ a>0，
ac－4＝0.
答案：a>0，ac＝4
幂函数
[过双基]
1．幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数．
2．常见的 5 种幂函数的图象
3．常见的 5 种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x1
2 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且 x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且 y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0]减，
[0，＋∞)增
增 增 (－∞，0)减，(0，
＋∞)减
定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
1．幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是( )
解析：选 C 令 f(x)＝xα，则 4α＝2，
∴α＝1
2
，∴f(x)＝x1
2.故 C 正确．
2．(2018·贵阳监测)已知幂函数 y＝f(x)的图象经过点
1
3
， 3 ，则 f
1
2 ＝( )
A.1
2 B．2
C. 2 D. 2
2
解析：选 C 设幂函数的解析式为 f(x)＝xα，将
1
3
， 3 代入解析式得 3－α＝ 3，解得α
＝－1
2
，∴f(x)＝x－1
2
，f
1
2 ＝ 2，故选 C.
3．若函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数 m 的
值是( )
A．－1 B．2
C．3 D．－1 或 2
解析：选 B ∵f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2.
又 f(x)在 x∈(0，＋∞)上是增函数，所以 m＝2.
[清易错]
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第
二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂
函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则 m 的值为 (
)
A．－1
0，且
a≠1)
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质
当 x＝0 时，y＝1，即过定点(0,1)
当 x＞0 时，y＞1；当 x＜0 时，
0＜y＜1
当 x＞0 时，0＜y＜1；当
x＜0 时，y＞1
在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
1．函数 f(x)＝ax－2＋1(a>0，且 a≠1)的图象必经过点( )
A．(0,1) B．(1,1)
C．(2,0) D．(2,2)
解析：选 D 由 f(2)＝a0＋1＝2，知 f(x)的图象必过点(2,2)．
2．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：选 A 要使 f(x)有意义须满足 1－2x≥0，即 2x≤1，解得 x≤0.
3．函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象可能是( )
解析：选 C 当 x＝1 时，y＝a1－a＝0，所以函数 y＝ax－a 的图象过定点(1,0)，结合选
项可知选 C.
4．设 a＝
3
5 2
5
，b＝
2
5 3
5
，c＝
2
5 2
5
，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选 A 构造指数函数 y＝
2
5 x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得 b0 时，有
3
5 x>
2
5 x，故
3
5 2
5>
2
5 2
5
，即 a>c，
故 a>c>b.
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)”
的是( )
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
解析：选 C 由指数运算的规律易知，ax＋y＝ax·ay，即令 f(x)＝ax，则 f(x＋y)＝f(x)f(y)，
故该函数为指数函数．
[清易错]
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质与 a 的取值有关，要特别注意区分 a>1 或
00，且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a
2
，则 a 的值为
________．
解析：当 a>1 时，f(x)＝ax 为增函数，
f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a.
∴a2－a＝a
2.即 a(2a－3)＝0.
∴a＝0(舍去)或 a＝3
2>1.∴a＝3
2.
当 00，且
a≠1)
a>1 01 时，y∈(0，＋∞) 当 x>1 时，y∈(－∞，0)
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
1．若函数 f(x)＝loga(3x－2)(a>0，且 a≠1)的图象经过定点 A，则 A 点坐标是( )
A. 0，2
3 B.
2
3
，0
C．(1,0) D．(0,1)
答案：C
2．已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析：选 B 由题意知，y＝ax 的定义域为 R，y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，故排
除 A、C；当 01
时，y＝ax 在 R 上单调递增，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，结合 B、D 图象知，B 正
确．
3．函数 y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
解析：作出函数 y＝log2x 的图象，将其关于 y 轴对称得到函数 y＝
log2|x|的图象，再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝log2|x＋1|
的图象(如图所示)．由图知，函数 y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，
－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)
4．函数 f(x)＝loga(x2－2x－3)(a>0，a≠1)的定义域为________．
解析：由题意可得 x2－2x－3>0，解得 x>3 或 x<－1，所以函数的定义域为{x|x>3 或 x<
－1}．
答案：{x|x>3 或 x<－1}
[清易错]
解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域．
(2)对数底数的取值范围．
1．(2018·南昌调研)函数 y＝ log2
3
2x－1 的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C.
1
2
，1 D.
1
2
，1
解析：选 D 要使函数有意义，则
log2
3
2x－1≥0，
2x－1>0，
解得1
20，且 a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是 1，则 a 的值为
________．
解析：当 a>1 时，函数 y＝logax 在[2,4]上是增函数，所以 loga4－loga2＝1，即 loga2＝
1，所以 a＝2.
当 00， 满足 f(x)＝1 的 x 的值为( )
A．1 B．－1
C．1 或－2 D．1 或－1
解析：选 D 由题意，方程 f(x)＝1 等价于 x≤0，
2－x－1＝1
或
x>0，
x1
2
＝1， 解得 x＝－1 或
1.
2．函数 f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( )
解析：选 B 令 x＝1，x－1＝0，显然 f(x)＝ln|x－1|无意义，故排除 A；由|x－1|>0 可
得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除 D；由复合函数的单调性可知 f(x)在(1，＋
∞)上是增函数，故排除 C，选 B.
3．(2018·郑州模拟)设 abc>0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( )
解析：选 D 结合二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象知：
当 a<0，且 abc>0 时，若－ b
2a<0，则 b<0，c>0，故排除 A，
若－ b
2a>0，则 b>0，c<0，故排除 B.
当 a>0，且 abc>0 时，若－ b
2a<0，则 b>0，c>0，故排除 C，
若－ b
2a>0，则 b<0，c<0，故选项 D 符合．
4．设 a＝0.32，b＝20.3，c＝log25，d＝log20.3，则 a，b，c，d 的大小关系是( )
A．d2，d＝log20.3<0，
由指数函数的性质可知 00)．
∵函数 y＝(t＋1)2 在(0，＋∞)上递增，
∴y>1.
∴所求值域为(1，＋∞)．故选 B.
6．(2017·大连二模)定义运算：x y＝ x，xy≥0，
y，xy<0，
例如：3 4＝3，(－2) 4＝4，则
函数 f(x)＝x2 (2x－x2)的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选 D 由题意可得 f(x)＝x2 (2x－x2)＝ x2，0≤x≤2，
2x－x2，x>2 或 x<0，
当 0≤x≤2 时，
f(x)∈[0,4]；当 x>2 或 x<0 时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数 f(x)的最大值为 4，故选 D.
7．已知函数 f(x)＝lg
2
1－x
＋a 是奇函数，且在 x＝0 处有意义，则该函数为( )
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
解析：选 D 由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lg
2
1－x
－1 ＝lgx＋1
1－x
，
令x＋1
1－x
>0，则－10，
9－4a≥0，
解得 a≤9
4.故选 A.
二、填空题
9．(2018·连云港调研)当 x>0 时，函数 y＝(a－8)x 的值恒大于 1，则实数 a 的取值范围是
________．
解析：由题意知，a－8>1，解得 a>9.
答案：(9，＋∞)
10．若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)＝3f(2)，则 f
1
2 的值等于________．
解析：设 f(x)＝xα，
又 f(4)＝3f(2)，
∴4α＝3×2α，
解得α＝log23，
∴f
1
2 ＝
1
2 log23＝1
3.
答案：1
3
11．若函数 f(x)＝ e1－x，x≤1，
lnx－1，x>1，
则使得 f(x)≥2 成立的 x 的取值范围是________．
解析：由题意，f(x)≥2 等价于 x≤1，
e1－x≥2
或 x>1，
lnx－1≥2，
解得 x≤1－ln 2 或 x≥1＋e2，
则使得 f(x)≥2 成立的 x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e2，＋∞)．
答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e2，＋∞)
12．若对任意 x∈ 0，1
2 ，恒有 4x0 且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝4x，则 f(x)在 0，1
2 上是增函数，g(x)＝logax，当 a>1 时，g(x)＝logax 在
0，1
2 上是增函数，且 g(x)＝logax<0，不符合题意；当 00，a≠1)，且 f(2)－f(4)＝1.
(1)若 f(3m－2)>f(2m＋5)，求实数 m 的取值范围；
(2)求使 f x－4
x ＝log1
23 成立的 x 的值．
解：(1)由 f(2)－f(4)＝1，得 a＝1
2.
∵函数 f(x)＝log1
2x 为减函数且 f(3m－2)>f(2m＋5)，
∴0<3m－2<2m＋5，解得2
30 恒成立，求实数 m 的取值
范围．
解：(1)∵函数 f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，
∴a－ 2
2x＋1
＝－a＋ 2
2－x＋1
，
∴2a＝ 2·2x
2x＋1
＋ 2
2x＋1
＝2，
∴a＝1.
(2)f(x)在 R 上为单调递增函数．
证明如下：设任意 x1，x2∈R，且 x10，
∴f(x1)0 恒成立，
∴f[t2－(m－2)t]>－f(t2－m＋1)＝f(m－t2－1)，
∴t2－(m－2)t>m－1－t2 对 t∈R 恒成立，
化简得 2t2－(m－2)t－m＋1>0，
∴Δ＝(m－2)2＋8(m－1)<0，
解得－2－2 23－2a>0 或 3－2a0)，将点 D(1,1)代入得，a＝1
4
，
即 y＝1
4(x－3)2.
2．已知二次函数 f(x)是偶函数，且 f(4)＝4f(2)＝16，则函数 f(x)的解析式为________．
解析：由题意可设函数 f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则 f(4)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得
a＝1，c＝0，故 f(x)＝x2.
答案：f(x)＝x2
二次函数的图象与性质
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等
式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与
性质的应用.
常见的命题角度有：
1二次函数的图象与性质；
2二次函数的最值问题.
角度一：二次函数的图象与性质
1．(2018·武汉模拟)已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋b(1f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与 f(x2)的大小关系不能确定
解析：选 A f(x)的对称轴为 x＝－1，因为 10(1f(x1)；
若－1≤x1－2，又因为 f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以 f(x1)0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线 x＝1.所以
f(0)＝f(2)，则当 f(m)≤f(0)时，有 0≤m≤2.
[方法技巧]
解决二次函数图象与性质问题的 2 个注意点
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一
不定，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．
角度二：二次函数的最值问题
3．已知二次函数 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求 f(x)的最小值．
解：(1)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为 x＝1
a.
①当1
a
≤1，即 a≥1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，
∴f(x)在 0，1
a 上递减，在
1
a
，1 上递增．
∴f(x)min＝f
1
a ＝1
a
－2
a
＝－1
a.
②当1
a>1，即 01 时，函数图象如图(3)，函数 f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为 f(a)
＝a2－2a＋2.
综上可知，g(a)＝
a2＋1，a<0，
1，0≤a≤1，
a2－2a＋2，a>1.
[方法技巧]
二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对
称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对
称轴与所给区间的相对位置关系．
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知 a＝2
4
3 ，b＝4
2
5 ，c＝25
1
3 ，则( )
A．b4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即 b2>4ac，①正确；对
称轴为 x＝－1，即－ b
2a
＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b
＋c>0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，
即 5a0，
f－1＝x2－5x＋6>0，
解得 x<1 或 x>3.
5．若函数 f(x)＝mx2－2x＋3 在[－1，＋∞)上递减，则实数 m 的取值范围为( )
A．(－1,0) B．[－1,0)
C．(－∞，－1] D．[－1,0]
解析：选 D 当 m＝0 时，f(x)＝－2x＋3 在 R 上递减，符合题意；
当 m≠0 时，函数 f(x)＝mx2－2x＋3 在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴 x＝1
m
≤－1，且
m<0，
解得－1≤m<0，
综上，实数 m 的取值范围为[－1,0]．
6．设函数 f(x)＝ x2－4x＋6，x≥0，
x＋6，x<0，
则不等式 f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：选 A ∵f(1)＝3，∴不等式 f(x)>f(1)，即 f(x)>3.
∴ x≥0，
x2－4x＋6>3
或 x<0，
x＋6>3，
解得 x>3 或－3b，c>d.若 f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为 c，d，
则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选 D f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2
017，又 f(a)＝f(b)＝2 017，c，d 为函数 f(x)的零点，且 a>b，c>d, 所以
可在平面直角坐标系中作出函数 f(x)的大致图象，如图所示，由图可知
c>a>b>d，故选 D.
8．(2017·浙江高考)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 在区间[0,1]上的最大值是 M，最小值是 m，
则 M－m( )
A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关
C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关
解析：选 B f(x)＝ x＋a
2 2－a2
4
＋b，
①当 0≤－a
2
≤1 时，f(x)min＝m＝f
－a
2 ＝－a2
4
＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1
＋a＋b}，
∴M－m＝max
a2
4
，1＋a＋a2
4 与 a 有关，与 b 无关；
②当－a
2<0 时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a 与 a 有关，与 b 无关；
③当－a
2>1 时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a 与 a 有关，与 b 无关．
综上所述，M－m 与 a 有关，但与 b 无关．
二、填空题
9．已知幂函数 f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是
偶函数，则 m 的值为________．
解析：∵幂函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即 m2－2m－3<0，解得－10)对任意实数 t，在闭区间[t－1，t
＋1]上总存在两实数 x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8 成立，则实数 a 的最小值为________．
解析：由题意可得，当 x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]
关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min 取得最小值，即 f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－
f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得 a≥8，所以实数 a 的最小值为 8.
答案：8
12．设函数 f(x)＝ x3，x≤a，
x2，x>a，
若存在实数 b，使得函数 y＝f(x)－bx 恰有 2 个零点，则
实数 a 的取值范围为_______．
解析：显然 x＝0 是 y＝f(x)－bx 的一个零点；
当 x≠0 时，令 y＝f(x)－bx＝0 得 b＝fx
x
，
令 g(x)＝fx
x
＝ x2，x≤a，
x，x>a，
则 b＝g(x)存在唯一一个解．
当 a<0 时，作出函数 g(x)的图象，如图所示，
显然当 a0 时，作出函数 g(x)的图象，如图所示，
若要使 b＝g(x)存在唯一一个解，则 a>a2，即 04 时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，
∴a≤7
3.
又 a>4，∴a 不存在．
(2)当－2≤－a
2
≤2，即－4≤a≤4 时，
g(a)＝f
－a
2 ＝－a2
4
－a＋3≥0，
∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，
∴－4≤a≤2.
(3)当－a
2>2，即 a<－4 时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.
又 a<－4，∴－7≤a<－4.
综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．
1．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的图象经过点 A(m1，f(m1))和点 B(m2，f(m2))，f(1)
＝0.若 a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，则( )
A．b≥0 B．b<0
C．3a＋c≤0 D．3a－c<0
解析：选 A 由 f(1)＝0 可得 a＋b＋c＝0，若 a≤0，由 a>b>c，得 a＋b＋c<0，这与 a
＋b＋c＝0 矛盾，故 a>0，若 c≥0，则有 b>0，a>0，此时 a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c＝0 矛盾；
所以 c<0 成立，因为 a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，所以(a＋f(m1))(a＋f(m2))＝0，
所以 m1，m2 是方程 f(x)＝－a 的两个根，Δ＝b2－4a(a＋c)＝b(b＋4a)＝b(3a－c)≥0，而 a>0，
c<0，所以 3a－c>0，所以 b≥0.
2．设函数 f(x)＝2ax2＋2bx，若存在实数 x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数 a，b，均
有 f(x0)＝a＋b 成立，则 t 的取值范围是________．
解析：因为存在实数 x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数 a，b，均有 f(x0)＝a＋b 成立，
所以 2ax2＋2bx＝a＋b 等价于(2x－1)b＝(1－2x2)a.
当 x＝1
2
时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故 x≠1
2
；
当 x≠1
2
时，(2x－1)b＝(1－2x2)a 等价于b
a
＝1－2x2
2x－1
，
设 2x－1＝k，因为 x≠1
2
，所以 k≠0，则 x＝k＋1
2
，
则b
a
＝1－2
k＋1
2 2
k
＝1
2
1
k
－k－2 .
设 g(k)＝1
2
1
k
－k－2 ，
则函数 g(k)在(－1,0)，(0,2t－1)上的值域为 R.
又因为 g(k)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以 g(k)在(－1，0)，(0,2t－1)上单调递减，
故当 k∈(－1,0)时，g(k)g(2t－1)＝1
2
1
2t－1
－2t－1 ，故要使值域为 R，则 g(2t－1)1.
答案：(1，＋∞)
高考研究课(二)
指数函数的 2 类考查点——图象、性质
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
指数函数的图象 5 年 3 考 指数函数图象的应用
指数函数的性质 5 年 3 考 比较大小、求值
指数函数的图象及应用
[典例] (1)函数 f(x)＝ ex·x2
e2x＋1
的大致图象是( )
(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程 2x－a＝ 1
x－1
成立，则实数 a 的取值范围是
( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
[解析] (1)因为 f(－x)＝ e－x·x2
e－2x＋1
＝ ex·x2
1＋e2x
＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，所以排除 A、
D 项．当 x＝0 时，y＝0，故排除 B 项，选 C.
(2)在同一坐标系内分别作出函数 y＝ 1
x－1
和 y＝2x－a 的图象，则由图知，当 a∈(0,2)时
符合要求．
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧]
指数函数图象问题的求解策略
(1)画指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1
a .
(2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变
换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[即时演练]
1．函数 f(x)＝2|x－1|的图象是( )
解析：选 B 由题意得 f(x)＝
2x－1，x≥1，
1
2 x－1，x<1，
结合图象知，选 B.
2．(2018·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是
________．
解析：曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y
＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
指数函数的性质
角度一：比较大小或解不等式
1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( )
A． B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．
解析：选 B A 中，∵函数 y＝1.7x 在 R 上是增函数，2.5<3，∴，故 A 错误；
B 中，∵y＝0.6x 在 R 上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，故 B 正确；
C 中，∵0.8－1＝1.25，
∴问题转化为比较
∵y＝1.25x 在 R 上是增函数，0.1<0.2，
∴，
即 0.8－0.1<1.250.2，故 C 错误；
D 中， ∵,0<，
∴，故 D 错误．
2．(2018·绍兴模拟)设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2 或 x>4} B．{x|x<0 或 x>4}
C．{x|x<0 或 x>6} D．{x|x<－2 或 x>2}
解析：选 B ∵f(x)为偶函数，
当 x<0 时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝ 2x－4，x≥0，
2－x－4，x<0，
若 f(x－2)>0，
则有 x－2≥0，
2x－2－4>0
或 x－2<0，
2－x＋2－4>0，
解得 x>4 或 x<0.
[方法技巧]
(1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一
指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大
小．
(2)有关指数不等式问题，应注意 a 的取值，及结合指数函数的性质求解．
角度二：与指数函数有关的函数值域问题
3．已知 0≤x≤2，则 y＝4x－1
2
－3·2x＋5 的最大值为________．
解析：令 t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
又 y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝1
2t2－3t＋5＝1
2(t－3)2＋1
2
，∵1≤t≤4，∴t＝1 时，ymax＝5
2.
答案：5
2
[方法技巧]
形如 y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且 a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令 t＝ax 转化为 y＝
t2＋bt＋c 的最值问题，注意根据指数函数求 t 的范围．
角度三：与指数函数有关的单调性问题
4．若函数 f(x)＝a|2x－4|(a>0，且 a≠1)，满足 f(1)＝1
9
，则 f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选 B 由 f(1)＝1
9
，得 a2＝1
9
，解得 a＝1
3
或 a＝－1
3(舍去)，即 f(x)＝
1
3 |2x－4|.由于 y
＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以 f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，
＋∞)上递减，故选 B.
5．已知函数 f(x)＝a|x＋1|(a>0，且 a≠1)的值域为[1，＋∞)，则 f(－4)与 f(1)的大小关系是
________________．
解析：∵|x＋1|≥0，函数 f(x)＝a|x＋1|(a>0，且 a≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a>1.由于函数
f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线 x＝－1 对称，则函数在(－∞，
－1)上是减函数，故 f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．
答案：f(－4)>f(1)
[方法技巧]
与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，
要注意数形结合思想的运用．
角度四：与指数函数有关的最值与参数问题
6．设 x，y∈R，a>1，b>1，若 ax＝by＝3，a＋b＝2 3，则1
x
＋1
y
的最大值为( )
A．2 B.3
2
C．1 D.1
2
解析：选 C 由 ax＝by＝3，可得 a＝31
x
，b＝31
y
，
所以 2 3＝a＋b＝31
x
＋31
y
≥2 31
x
＋1
y
，
则1
x
＋1
y
≤1，当且仅当 x＝y 时，等号成立．
故1
x
＋1
y
的最大值为 1.
7．已知函数 f(x)＝ 2x－1，x>0，
－x2－2x，x≤0，
若函数 g(x)＝f(x)＋3m 有 3 个零点，则实数 m
的取值范围是________．
解析：因为函数 g(x)＝f(x)＋3m 有 3 个零点，所以函数 y＝f(x)
的图象与直线 y＝－3m 有三个不同的交点，作出函数 y＝f(x)＝
2x－1，x>0，
－x2－2x，x≤0
的图象如图所示，则 0<－3m<1，所以－1
3－1，选 D.
法二：由 2x(x－a)<1 得 a>x－ 1
2x.
令 f(x)＝x－ 1
2x
，即 a>f(x)有解，则 a>f(x)min.
又 y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，所以 f(x)>f(0)＝－1，
所以 a>－1，选 D.
2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ x＋1，x≤0，
2x，x>0，
则满足 f(x)＋f x－1
2 >1 的 x 的取值范
围是________．
解析：由题意知，可对不等式分 x≤0,01
2
讨论．
当 x≤0 时，原不等式为 x＋1＋x＋1
2>1，解得 x>－1
4
，
∴－1
41，显然成立．
当 x>1
2
时，原不等式为 2x＋2x－1
2>1，显然成立．
综上可知，x 的取值范围是 －1
4
，＋∞
.
答案： －1
4
，＋∞
3．(2015·江苏高考)不等式 2x2－x＜4 的解集为________．
解析：∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，
∴x2－x＜2，即 x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.
答案：{x|－1＜x＜2}
4．(2015·山东高考)已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则 a
＋b＝________.
解析：当 a>1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得 a－1＋b＝－1，
a0＋b＝0
无解．
当 0b>1.又∵c＝2log52＝log54<1，∴c0，且 a≠1)的图象恒过点 A，下列函数中图象
不经过点 A 的是( )
A．y＝ 1－x B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
解析：选 A 由题知 A(1,1)．把点 A(1,1)代入四个选项，选项 A，y＝ 1－x的图象不经
过点 A.
5．(2018·广西质量检测)若 xlog52≥－1，则函数 f(x)＝4x－2x＋1－3 的最小值为( )
A．－4 B．－3
C．－1 D．0
解析：选 A ∵xlog52≥－1，∴2x≥1
5
，则 f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2
－4.当 2x＝1 时，f(x)取得最小值－4.
6．已知函数 f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：选 D 作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又 af(c)>f(b)，
结合图象知 f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1,2c>1，
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，
f(c)＝|2c－1|＝2c－1.
又 f(a)>f(c)，即 1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2.
7．(2018·东北三校联考)若关于 x 的方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两个不等实根，则
a 的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D. 0，1
2
解析：选 D 方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y＝|ax－1|与 y＝2a
有两个交点．
①当 01 时，如图②，而 y＝2a>1 不符合要求．
∴00，且 a≠1)在[－1，2]上的最大值为 4，最小值
为 m，且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝________.
解析：若 a>1，有 a2＝4，a－1＝m，此时 a＝2，m＝1
2
，此时 g(x)＝－ x为减函数，不合
题意．若 00，a≠1)的图象经过点
A(1,6)，B(3,24)．若不等式
1
a x＋
1
b x－m≥0 在 x∈(－∞，1]上恒成立，则实数 m 的最大值
为________．
解析：把 A(1,6)，B(3,24)代入 f(x)＝b·ax，得 6＝ab，
24＝b·a3，
结合 a>0，且 a≠1，解得 a＝2，
b＝3，
要使
1
2 x＋
1
3 x≥m 在 x∈(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数 y＝
1
2 x＋
1
3 x 在(－∞，1]上的最小值不小于 m 即可．
因为函数 y＝
1
2 x＋
1
3 x 在(－∞，1]上为减函数，
所以当 x＝1 时，
y＝
1
2 x＋
1
3 x 有最小值5
6.
所以只需 m≤5
6
即可．
所以 m 的最大值为5
6.
答案：5
6
12．(2018·湖南八校联考)对于给定的函数 f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，且 a≠1)，下面给出
五个命题，其中真命题是________．(填序号)
①函数 f(x)的图象关于原点对称；
②函数 f(x)在 R 上不具有单调性；
③函数 f(|x|)的图象关于 y 轴对称；
④当 01 时，函数 f(|x|)的最大值是 0.
解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①是真命题；当 a>1
时，f(x)在 R 上为增函数，当 01 时，f(|x|)在(－
∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当 x＝0 时，y＝f(|x|)的最小值为 0，⑤是假
命题．综上，真命题是①③④.
答案：①③④
三、解答题
13．已知函数 f(x)＝m·4x＋1
2x
是偶函数．
(1)求实数 m 的值；
(2)若关于 x 的不等式 2k·f(x)>3k2＋1 在(－∞，0)上恒成立，求实数 k 的取值范围．
解：(1)因为函数 f(x)＝m·4x＋1
2x
是定义在 R 上的偶函数，所以有 f(－x)＝f(x)，
即m·4－x＋1
2－x
＝m·4x＋1
2x
，
即m＋4x
2x
＝m·4x＋1
2x
，故 m＝1.
(2)因为 f(x)＝4x＋1
2x >0,3k2＋1>0，且 2k·f(x)>3k2＋1 在(－∞，0)上恒成立，
故原不等式等价于 2k
3k2＋1> 1
fx
在(－∞，0)上恒成立，
又因为 x∈(－∞，0)，
所以 f(x)∈(2，＋∞)，从而 1
fx
∈ 0，1
2 ，
故 2k
3k2＋1
≥1
2
，解得1
3
≤k≤1，
所以实数 k 的取值范围为
1
3
，1 .
14．设函数 f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数．
(1)求 k 的值；
(2)若 f(1)<0，试判断 y＝f(x)的单调性(不需证明)，并求使不等式 f(x2＋tx)＋f(4－x)<0 恒
成立的 t 的取值范围；
(3)若 f(1)＝3
2
，g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，求 g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
解：(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数，∴f(0)＝0，
∴1－(k－1)＝0，∴k＝2.
(2)由(1)知 f(x)＝ax－a－x(a>0，且 a≠1)，
∵f(1)<0，∴a－1
a<0.
又 a>0，且 a≠1，∴0x－4，即 x2＋(t－1)x＋4>0 恒成立，
∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3a>0，c>b>0.若 a，b，c 是△ABC 的三条边长，则
下列结论中正确的个数是( )
①对于∀x∈(－∞，1)，都有 f(x)>0；
②存在 x>0，使 ax，bx，cx 不能构成一个三角形的三边长；
③若△ABC 为钝角三角形，则存在 x∈(1,2)，使 f(x)＝0.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选 A ①因为 a，b，c 是△ABC 的三条边长，所以 a＋b>c，因为 c>a>0，c>b>0，
所以 0cx
a
c
＋b
c
－1 ＝
cx·a＋b－c
c >0，故①正确；
②令 a＝2，b＝3，c＝4，则 a，b，c 可以构成三角形，但 a2＝4，b2＝9，c2＝16 却不能
构成三角形，所以②正确；
③已知 c>a>0，c>b>0，若△ABC 为钝角三角形，则 a2＋b2－c2<0，因为 f(1)＝a＋b－c>0，
f(2)＝a2＋b2－c2<0，根据零点存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在 x∈(1,2)，
使 f(x)＝0，故③正确．
2．(2018·广东五校联考)已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x1∈[0,1]，总存在唯一
的 x2∈[－1,1]，使得 x1＋x22ex2－a＝0 成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．[1，e] B．(1，e]
C. 1＋1
e
，e D. 1＋1
e
，e
解析：选 C 令 f(x1)＝a－x1，则 f(x1)＝a－x1 在 x1∈[0,1]上单调递减，且 f(0)＝a，f(1)
＝a－1.令 g(x2)＝x22ex2，则 g′(x2)＝2x2ex2＋x22ex2＝x2ex2(x2＋2)，且 g(0)＝0，g(－1)＝1
e
，g(1)
＝e.若对任意的 x1∈[0,1]，总存在唯一的 x2∈[－1,1]，使得 x1＋x22ex2－a＝0 成立，即 f(x1)
＝g(x2)，则 f(x1)＝a－x1 的最大值不能大于 g(x2)的最大值，即 f(0)＝a≤e，因为 g(x2)在[－1,0]
上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当 g(x2)∈ 0，1
e 时，存在两个 x2 使得 f(x1)＝g(x2)．若
只有唯一的 x2∈[－1,1]，使得 f(x1)＝g(x2)，则 f(x1)的最小值要比1
e
大，所以 f(1)＝a－1>1
e
，
即 a>1＋1
e
，故实数 a 的取值范围是 1＋1
e
，e ，故选 C.
3．(2018·湖南六校联考)已知实数 a>0，函数 f(x)＝
ex－1＋a
2
，x≤0，
ex－1＋a
2x2－a＋1x＋a
2
，x>0，
若
关于 x 的方程 f[－f(x)]＝e－a＋a
2
有三个不等的实根，则实数 a 的取值范围是( )
A. 1，2＋2
e B. 2，2＋2
e
C. 1，1＋1
e D. 2，2＋1
e
解析：选 B 当 x≤0 时，令 f(x)＝e－a＋a
2
，即 ex－1＝e－a，得 x＝1－a；
当 x>0 时，令 f(x)＝e－a＋a
2
得 ex－1＋a
2x2－(a＋1)x＋a
2
＝e－a＋a
2
，显然方程无解，
所以 1－a≤0，即 a≥1，
因为 f[－f(x)]＝e－a＋a
2
，
所以－f(x)＝1－a，即 f(x)＝a－1，
所以方程 f(x)＝a－1 有三解，
当 x≤0 时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且当 x→－∞时，f(x)→a
2
，
当 x>0 时，f′(x)＝ex－1＋ax－a－1，
所以 f′(x)是增函数，且 f′(1)＝0，
所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
又 f(1)＝0，当 x→＋∞时，f(x)→＋∞，
作出 f(x)的大致图象如图所示，
因为方程 f(x)＝a－1 有三解，
所以a
20 B．a＋b>1
C．2a＋b>0 D．2a＋b>1
[解析] (1)由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 y 轴对称．设 g(x)＝
loga|x|，先画出 x>0 时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x<0 时 g(x)的图
象，最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A.
(2)作出函数 f(x)＝|ln (x＋1)|的图象如图所示，由 f(a)＝f(b)，得－ln(a
＋1)＝ln (b＋1)，即 ab＋a＋b＝0.所以 0＝ab＋a＋b<a＋b2
4
＋a＋b，
即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－10，
∴a＋b＋4>0.∴a＋b>0.故选 A.
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
应用对数型函数的图象可求解的 2 类问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、
值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[即时演练]
1．函数 y＝ln 1
|2x－3|
的图象大致为( )
解析：选 A 易知 2x－3≠0，即 x≠3
2
，排除 C、D.当 x>3
2
时，函数为减函数，当 x<3
2
时，
函数为增函数，所以选 A.
2．若 log6a＝log7b，则 a，b,1 的大小关系可能是( )
A．a>b>1 B．b>1>a
C．a>1>b D．1>a>b
解析：选 D 作出函数 y＝log6x 与 y＝log7x 的大致图象如图所示，
因为 log6a＝log7b，所以由图象可得 12， 若 a，b，c，d 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，
则 a＋b＋c＋d 的取值范围为________．
解析：作出函数 f(x)的图象，如图所示，令 a2 ab＝2，当 f(a)＝f(b)＝1 时，可得 a＋b＝5
2
，
所以 22 时，f(x)＝1
3x2－8
3x＋5 的对称轴为 x＝4，又 f(2)＝1
3
×22－8
3
×2＋5＝1，
且 f(c)＝f(d)，所以 c＋d＝8，所以 a＋b＋c＋d∈ 10，21
2 .
答案： 10，21
2
对数函数的性质及应用
对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，
难度低、中、高档都有.
常见的命题角度有：
1比较大小与求值；
2与对数函数有关的单调性；
3由对数的单调性求参数或自变量的取值范围；
4对数函数性质的综合问题.
角度一：比较大小与求值
1．若 a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选 A 由指数函数的性质可得 a＝30.3>1，
由对数函数的性质可得 b＝logπ3∈(0,1)，c＝log0.3e<0，
所以 a>b>c.
2．设函数 f(x)＝
log2x，x＞0，
log
1
2 －x，x＜0， 若 f(a)＞f(－a)，则实数 a 的取值范围是
________________．
解析：由 f(a)＞f(－a)得
a＞0，
log2a＞log
1
2 a 或
a＜0，
log
1
2 －a＞log2－a，
即 a＞0，
log2a＞－log2a
或 a＜0，
－log2－a＞log2－a.
解得 a＞1 或－1＜a＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
[方法技巧]
对数函数值大小比较的 3 种方法
单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量过
渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行
“比较传递”
图象法 根据图象观察得出大小关系
角度二：与对数函数有关的单调性
3．若函数 f(x)＝loga
x2＋3
2x (a>0，a≠1)在区间
1
2
，＋∞ 内恒有 f(x)>0，则 f(x)的单调
递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D.
1
2
，＋∞
解析：选 A 令 M＝x2＋3
2x，当 x∈
1
2
，＋∞ 时，M∈(1，＋∞)，因为 f(x)>0，所以 a>1.
所以函数 y＝logaM 为增函数，又 M＝ x＋3
4 2－ 9
16
，因此 M 的单调递增区间为 －3
4
，＋∞
.
又 x2＋3
2x>0，所以 x>0 或 x<－3
2.所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
4．函数 f(x)＝log 1
2
(x2－2x)的单调递减区间是________．
解析：由题意得，x2－2x>0，则 x<0 或 x>2，
即函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
令 t＝x2－2x，则原函数可化为 y＝log 1
2
t，
因为 y＝log 1
2
t 是减函数，t＝x2－2x 在(2，＋∞)上是增函数，
所以函数 f(x)＝log 1
2
(x2－2x)的单调递减区间是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
[方法技巧]
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
角度三：由对数的单调性求参数或自变量的取值范围
5．函数 f(x)＝loga(ax－3)(a>0，且 a≠1)在[1,3]上单调递增，则 a 的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C. 0，1
3 D．(3，＋∞)
解析：选 D 由于 a>0，且 a≠1，
∴u＝ax－3 为增函数，
∴若函数 f(x)为增函数，则 f(x)＝logau 必为增函数，
因此 a>1.
又 u＝ax－3 在[1,3]上恒为正，
∴a－3>0，解得 a>3，∴a 的取值范围为(3，＋∞)．
6．已知不等式 logx(2x2＋1)3x>1
①或 x>1，
2x2＋1<3x<1
②，解不等式组①得1
30，
1＋x
1－x
<1，
解得－10，解得－b0)．又奇函数定义域关于原点对称，故 b＝1.所以 f(x)
＝loga
1－x
1＋x
(01，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝ 2
logk2
－ 3
logk3
＝2logk3－3logk2
logk2·logk3
＝logk32－logk23
logk2·logk3
＝ logk
9
8
logk2·logk3
>0，
∴2x>3y；
∵3y－5 z＝3log3k－5log5k＝ 3
logk3
－ 5
logk5
＝3logk5－5logk3
logk3·logk5
＝logk53－logk35
logk3·logk5
＝ logk
125
243
logk3·logk5
<0，
∴3y<5 z；
∵2x－5 z＝2log2k－5log5k＝ 2
logk2
－ 5
logk5
＝2logk5－5logk2
logk2·logk5
＝logk52－logk25
logk2·logk5
＝ logk
25
32
logk2·logk5
<0，
∴5 z >2x.∴5 z >2x>3y.
2．(2016·全国卷Ⅰ)若 a>b>1,00，所以 y＝xc 为增函数，又 a>b>1，
所以 ac>bc，A 错．对于选项 B，abcf(2x－1)成立的 x 的取值
范围是( )
A.
1
3
，1
B.
－∞，1
3 ∪(1，＋∞)
C.
－1
3
，1
3
D.
－∞，－1
3 ∪
1
3
，＋∞
解析：选 A ∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－ 1
1＋－x2
＝f(x)，∴函数 f(x)为偶函数．
∵当 x≥0 时，f(x)＝ln(1＋x)－ 1
1＋x2
，
在(0，＋∞)上 y＝ln(1＋x)递增，y＝－ 1
1＋x2
也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔
1
30 恒成立．当 m＝0 时，3>0，符合题意；当 m≠0
时，只需 m>0，
Δ＝－2m2－12m<0，
解得 02>log23>log45>0，所以 b0，且 a≠1)的图
象如图所示，则 a，b 满足的关系是( )
A．01.又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于－1 和 0 之间，
即－1f(2) B．f(a＋1)f(2)．
6．已知 a>b>0，a＋b＝1，x＝－
1
a b，y＝logab
1
a
＋1
b ，z＝logb
1
a
，则 x，y，z 的大小关
系为( )
A．x< z b>0，a＋b＝1，所以 1>a>b>0，
所以1
a>1,04，
所以 x＝－
1
a b<－1，y＝logab
1
a
＋1
b ＝－1，z＝logb
1
a
∈(－1,0)，
所以 x0，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数，
∴g(b)＝2b＋1
b>3，故选 C.
8．设 a，b，c∈R 且 c≠0，
x 1.5 3 5 6 7 8 9 14 27
lg x 2a＋b a＋b
a－c＋
1
b＋c
a＋2b
＋c
3(c－a) 2(a＋b) b－a 3(a＋b)
若上表中的对数值恰有两个是错误的，则 a 的值为( )
A．lg 2
21 B.1
2lg 3
14
C.1
2lg3
7 D．lg 6
7
解析：选 B 由题意可得 lg 3＝a＋b，lg 9＝2(a＋b)，lg 27＝3(a＋b)正确，
lg 5＝a－c＋1⇒lg 2＝c－a，
lg 6＝b＋c⇒lg 2＝c－a，
lg 8＝3(c－a)⇒lg 2＝c－a，故这三个都正确；
此时，lg 1.5＝lg 3－lg 2＝2a＋b－c≠2a＋b，所以表中 lg 1.5 错误；
lg 7＝a＋2b＋c＝(a＋b)＋(b＋c)＝lg 3＋lg 6＝lg 18，显然错误；
故表中 lg 14＝b－a 是正确的．
综上，lg 2＝c－a，lg 3＝a＋b，lg 14＝b－a，
所以 a＝1
2(lg 3－lg 14)＝1
2lg 3
14.
二、填空题
9．若 log2x＝－log2(2y)，则 x＋2y 的最小值是________．
解析：由 log2x＝－log2(2y)，可得 2xy＝1，且 x，y 均为正数，则 x＋2y≥2 x·2y＝2，当
且仅当 x＝2y，即 x＝1，y＝1
2
时，等号成立，故 x＋2y 的最小值是 2.
答案：2
10．(2017·湛江一模)已知函数 f(x)＝loga
2m－1－mx
x＋1
(a>0，且 a≠1)是奇函数，则函数 f(x)
的定义域为________．
解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＋f(－x)＝0，
即 loga
2m－1－mx
x＋1
＋loga
2m－1＋mx
－x＋1
＝0，
化简得(m2－1)x2＝4m(m－1)对定义域上的每一个 x 都成立，
所以 m＝1，此时 f(x)＝loga
1－x
1＋x
.
由1－x
1＋x
>0，解得－10，且 a≠1)满足对任意的 x1，x2，
当 x11，
g
a
2 >0，
解得 10 时，f(x)＝lg 2x
2x＋1
，若对任意实数 t∈
1
2
，2 ，都有 f(t＋a)－f(t－1)≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
解析：设 u＝ 2x
2x＋1
＝1－ 1
2x＋1
，其在(0，＋∞)上是增函数，则 f(u)＝lg u 在(0，＋∞)上
是增函数，所以复合函数 f(x)＝lg 2x
2x＋1
在(0，＋∞)上是增函数．又因为 f(x)是定义在 R 上的
偶函数，所以 f(t＋a)－f(t－1)≥0 等价于 f(t＋a)≥f(t－1)，即|t＋a|≥|t－1|，对任意实数 t∈
1
2
，2 恒成立，两边平方化简可得 2(a＋1)t＋a2－1≥0 恒成立，令 g(t)＝2(a＋1)t＋a2－1，则
g
1
2 ＝a＋a2≥0，
g2＝a2＋4a＋3≥0，
解得 a≤－3 或 a≥0.
答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)
三、解答题
13．(2018·枣庄模拟)设 x∈[2,8]时，函数 f(x)＝1
2loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且 a≠1)的最大
值是 1，最小值是－1
8
，求实数 a 的值．
解：f(x)＝1
2(logax＋1)(logax＋2)
＝1
2[(logax)2＋3logax＋2]
＝1
2
logax＋3
2 2－1
8.
当 f(x)取最小值－1
8
时，logax＝－3
2.
∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于 logax 的二次函数，
∴f(x)的最大值必在 x＝2 或 x＝8 处取得．
若 1
2
loga2＋3
2 2－1
8
＝1，则 a＝2－1
3
，
此时 f(x)取得最小值时，x＝ 2－1
3 －3
2
＝ 2∉[2,8]，舍去；
若 1
2
loga8＋3
2 2－1
8
＝1，则 a＝1
2
，
此时 f(x)取得最小值时，x＝
1
2 －3
2
＝2 2∈[2,8]，符合题意．∴a＝1
2.
14．已知 f(log2x)＝ax2－2x＋1－a，a∈R.
(1)求 f(x)；
(2)解关于 x 的方程 f(x)＝(a－1)·4x；
(3)设 h(x)＝2－xf(x)，a≥1
2
时，对任意 x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤a＋1
2
成立，求
实数 a 的取值范围．
解：(1)令 log2x＝t，即 x＝2t，
则 f(t)＝a·(2t)2－2·2t＋1－a，
即 f(x)＝a·22x－2·2x＋1－a.
(2)由 f(x)＝(a－1)·4x，化简得 22x－2·2x＋1－a＝0，即(2x－1)2＝a，
当 a<0 时，方程无解，
当 a≥0 时，解得 2x＝1± a，
若 0≤a<1，则 x＝log2(1± a)，
若 a≥1，则 x＝log2(1＋ a)．
(3)对任意 x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤a＋1
2
成立，等价于当 x∈[－1,1]时，hmax
－hmin≤a＋1
2
，
由已知得，h(x)＝a·2x＋1－a
2x
－2，
令 2x＝t，则 y＝at＋1－a
t
－2，t∈
1
2
，2 ，
令 g(t)＝at＋1－a
t
－2，t∈
1
2
，2 ，
①当 a≥1 时，g(t)＝at＋1－a
t
－2，t∈
1
2
，2 单调递增，
此时 g(t)max＝g(2)＝3a－1
2
，g(t)min＝g
1
2 ＝－3a
2
，
g(t)max－g(t)min＝6a－3
2
≤a＋1
2
，解得 a≤4
5(舍去)．
②当4
5
≤a<1 时，g(t)＝at＋1－a
t
－2，t∈
1
2
，2 单调递增，
此时 g(t)max＝g(2)＝3a－1
2
，g(t)min＝g
1
2 ＝－3a
2
，
g(t)max－g(t)min＝6a－3
2
≤a＋1
2
，解得 a≤4
5
，∴a＝4
5.
③当1
2
≤a<4
5
时，g(t)＝at＋1－a
t
－2，t∈
1
2
，2 ，
在
1
2
， 1
a
－1 上单调递减，在
1
a
－1，2 上单调递增，
且 g(2)≥g
1
2 ，∴g(t)max＝g(2)＝3a－1
2
，
g(t)min＝g
1
a
－1 ＝2 a1－a－2，
∴g(t)max－g(t)min＝3a－1
2
－(2 a1－a－2)≤a＋1
2
即 a≤4
5
，∴1
2
≤a<4
5.
综上，实数 a 的取值范围为
1
2
，4
5 .
1．已知函数 f(x)＝
cos x－π
2 ，x∈[0，π，
log2 017
x
π
，x∈[π，＋∞，
若存在三个不同的实数 a，b，c，使
得 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 a＋b＋c 的取值范围为________．
解析：当 x∈[0，π)时，f(x)＝cos x－π
2 ＝sin x，∴f(x)在(0，π)上关于 x＝π
2
对称，且 f(x)max
＝1；又当 x∈[π，＋∞)时，f(x)＝log2 017
x
π
是增函数，作出 y＝f(x)的函数图象如图所示．
令 log2 017
x
π
＝1 得 x＝2 017π，∵f(a)＝f(b)＝f(c)，
∴a＋b＝π，c∈(π，2 017π)，
∴a＋b＋c＝π＋c∈(2π，2 018π)．
答案：(2π，2 018π)
2．(2017·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝
x2，x∈D，
x，x∉D，
其中集合 D＝ x|x＝n－1
n
，n∈N*
，则方程 f(x)－lg x＝0 的解的个数是
________．
解析：由于 f(x)∈[0,1)，因此只需考虑 1≤x<10 的情况，
在此范围内，当 x∈Q 且 x∉Z 时，设 x＝q
p
，q，p∈N*，p≥2 且 p，q 互质．
若 lg x∈Q，则由 lg x∈(0,1)，可设 lg x＝n
m
，m，n∈N*，m≥2 且 m，n 互质，
因此 10n
m
＝q
p
，则 10n＝
q
p m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lg x∉Q，
故 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等，
只需考虑 lg x 与每个周期内 x∉D 部分的交点．
画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x∉
D 的部分，
且 x＝1 处(lg x)′＝ 1
xln 10
＝ 1
ln 10<1，则在 x＝1 附近仅有一个交点，因此方程 f(x)－lg x
＝0 的解的个数为 8.
答案：8
高考研究课(四) 函数图象的 3 个常考方式——作图、识图、用图
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
作图 未考查
识图 5 年 4 考 图的识别与判断
用图 5 年 4 考 函数图象的应用
作 图
[典例] 分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)y＝ lg x， x≥1，
－lg x， 00，故排除 C；
y′＝cos x＋ 1
x2
，显然，当 x∈ 0，π
2 时，y′>0，即函数 y＝sin x－1
x
在 0，π
2 上是增函
数，因此，排除 A，故选 B.
(2)法一：如图，设∠MON＝α，由弧长公式知 x＝α，在 Rt△AOM 中，
|AO|＝1－t，cosx
2
＝ |OA|
|OM|
＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2x
2
－1＝2(t－1)2－
1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B.
法二：由题意可知，当 t＝1 时，圆 O 在直线 l2 上方的部分为半圆，所
对应的弧长为π×1＝π，所以 cos π＝－1，排除 A，D；当 t＝1
2
时，如图所
示，易知∠BOC＝2π
3
，所以 cos2π
3
＝－1
2<0，排除 C，故选 B.
[答案] (1)B (2)B
[方法技巧]
识别函数图象的策略
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
利用上述方法排除、筛选选项．
[即时演练]
1．函数 y＝x5－xex 的图象大致为( )
解析：选 B 令 x＝2，可得 y＝32－2e2>0，故选 B.
2．函数 y＝1＋x
1－x
的图象大致为( )
解析：选 A 由 y＝1＋x
1－x
＝ 2
1－x
－1，可知 x≠1，y≠－1，故选 A.
3．现有四个函数：①y＝x·sin x，②y＝x·cos x，③y＝x·|cos x|，④y＝x·2x 的部分图象如
图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是________．
解析：由函数的奇偶性可知，①y＝x·sin x 是偶函数，对应第一个图；④y＝x·2x 既不是
奇函数也不是偶函数，是第二个图；③y＝x·|cos x|是奇函数，当 x>0 时，y＝x·|cos x|≥0，故
图象是第四个图，因此②y＝x·cos x 的图象是第三个图，故正确的排列为①④②③.
答案：①④②③
图象的应用
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系
提供了“形”的直观性.
常见的命题角度有：
1确定方程根的个数；
2求参数的取值范围；
3求不等式的解集；
4研究函数的性质；
5利用函数对称性求值.
角度一：确定方程根的个数
1．已知 f(x)＝ |lg x|，x>0，
2|x|，x≤0，
则方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 解的个数是________．
解析：方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 的解为 f(x)＝1
2
或 1.作出 y＝f(x)
的图象，由图象知方程解的个数为 5.
答案：5
角度二：求参数的取值范围
2．已知函数 y＝|x2－1|
x－1
的图象与函数 y＝kx 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围
是________．
解析：由题意，y＝f(x)＝ x＋1，x≥1 或 x≤－1，
－x－1，－10)的图象与 g(x)＝cos x＋log2(x＋a)的图
象有交点，则方程 2－x－1
2
＝log2(x＋a)(x>0)有解，令 y＝2－x－1
2
，y＝log2(x
＋a)，则这两个函数的图象有交点，分别作出两个函数的图象如图所示，由图象可知当 a≤0
时，两函数在(0，＋∞)上必有一个交点，当 a>0 时，要满足题意，则 log2a<1
2
，解得 00，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.
2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数 y＝f(x)的图象与 y＝2x＋a 的图象关于直线 y＝－x 对称，且 f(－
2)＋f(－4)＝1，则 a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：选 C 设(x，y)为 y＝f(x)图象上任意一点，
则(－y，－x)在 y＝2x＋a 的图象上，
所以有－x＝2－y＋a，
从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，
所以 y＝a－log2(－x)，
即 f(x)＝a－log2(－x)，
所以 f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得 a＝2.
3.(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形 ABCD 的边 AB＝2，BC＝1，O 是
AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP＝x.将动点 P 到
A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选 B 当 x∈ 0，π
4 时，f(x)＝tan x＋ 4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除 A、
C.
当 x∈
π
4
，3π
4 时，f
π
4 ＝f
3π
4 ＝1＋ 5，f
π
2 ＝2 2.∵2 2<1＋ 5，∴f
π
2 3，故排除 C、D；
当 x>0 时，f′(x)＝2x－cos x，显然存在 t∈ 0，1
2 ，使 f′(t)＝0，则函数 f(x)上(0，t)
是减函数，在(t,2)上是增函数，故排除 A，故选 B.
2.已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，若 f(x2＋2x＋1)·f[lg(x2＋10)]≤0，则实数 x 的取
值范围是( )
A．[－2,0]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
解析：选 A 由题意，f(x2＋2x＋1)·f[lg(x2＋10)]≤0 等价于 x2＋2x＋1≥1，
lgx2＋10≤1
或
x2＋2x＋1≤1，
lgx2＋10≥1，
即 x2＋2x≥0，
x2＋10≤10
或 x2＋2x≤0，
x2＋10≥10，
解得－2≤x≤0.
3．函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式 xf(x)>0 在(－
1,3)上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选 C 作出函数 f(x)的图象如图所示．
当 x∈(－1,0)时，由 xf(x)>0 得 x∈(－1,0)；
当 x∈(0,1)时，由 xf(x)>0 得 x∈∅；
当 x∈(1,3)时，由 xf(x)>0 得 x∈(1,3)．
故 x∈(－1,0)∪(1,3)．
4.若函数 f(x)＝ ax＋b，x<－1，
lnx＋a，x≥－1
的图象如图所示，则 f(－3)等于( )
A．－1
2 B．－5
4
C．－1 D．－2
解析：选 C 由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得 a＝2，b＝5，∴f(x)＝
2x＋5，x<－1，
lnx＋2，x≥－1，
故 f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选 C.
5．(2018·齐鲁名校模拟)已知函数 f(x)＝4－x2，函数 g(x)(x∈R 且 x≠0)是奇函数，当 x>0
时，g(x)＝log2x，则函数 f(x)·g(x)的大致图象为( )
解析：选 D 易证函数 f(x)＝4－x2 为偶函数，又 g(x)是奇函数，所以函数 f(x)·g(x)为奇
函数，其图象关于原点对称，排除 A、B.又当 x>0 时，g(x)＝log2x，当 x>1 时，g(x)>0，当
02 时，f(x)<0，当 00，所以排除 C，故选
D.
6．已知函数 f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与 g(x)＝x＋2 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实
数 a 的取值范围是( )
A.
－9
4
，＋∞
B.
－9
4
，0
C．[－2,0] D．[2,4]
解析：选 D 因为函数 f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与 g(x)＝x＋2 的图象上存在关于 x 轴对称的
点，所以函数 f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与 y＝－x＋2 的图象存在交点，所以 a－x2＝－x＋
2(1≤x≤2)有解，令 h(x)＝a－x2＋x－2(1≤x≤2)，则 h1≥0，
h2≤0，
解得 2≤a≤4，故选 D.
7．(2017·山东高考)已知当 x∈[0,1]时，函数 y＝(mx－1)2 的图象与 y＝ x＋m 的图象有
且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是( )
A．(0,1]∪[2 3，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0， 2 ]∪[2 3，＋∞) D．(0， 2 ]∪[3，＋∞)
解析：选 B 法一：在同一直角坐标系中，分别作出函数 f(x)＝(mx－1)2＝m2 x－1
m 2 与
g(x)＝ x＋m 的大致图象．分两种情形：
(1)当 01 时，0< 1
m<1，如图②，要使 f(x)与 g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需
g(1)≤f(1)，即 1＋m≤(m－1)2，解得 m≥3 或 m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
法二：若 m＝ 2，则 y＝( 2x－1)2，x∈[0,1]的值域为[0,1]，y＝ x＋ 2，x∈[0,1]
的值域为[ 2，1＋ 2)，所以两个函数图象无交点，故排除 C、D；若 m＝3，则点(1,4)是两
个函数的公共点，故选 B.
8．已知函数 f(x)＝ x2－2，x>0，
－3|x＋a|＋a，x<0
的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则 a
的取值范围是( )
A.
－17
16
，－1 B.
－17
8
，－2
C. 1，19
16 D. 1，17
16
解析：选 D 由题意，问题转化为函数 y＝－3|x＋a|＋a(x<0)与 y＝2
－x2(x<0)的图象恰有三个公共点，显然 a≤0 时，不满足条件，当 a>0 时，
画出草图如图，方程 2－x2＝3x＋4a，即 x2＋3x＋4a－2＝0 有两个小于－a 的实数根．结合
图形，有
Δ＝9－44a－2>0，
a>2－a2，
a>0，
∴10)，其中 10 的解集．
解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即 m＝4.
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝ xx－4，x≥4，
－xx－4，x<4.
∴函数 f(x)的图象如图所示．
由图象知，函数 f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图象上观察可知：不等式 f(x)>0 的解集为{x|04}．
14．当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)20，且 a≠1)恒成立，求实数 a 的取值范围．
解：设 f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，
要使 x∈(1,2)时，不等式(x－1)21 时，如图所示，使 x∈(1,2)时，
不等式(x－1)20，
x2＋2x－1，x≤0，
若 f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中 a，b，c，d 互不
相等，则对于命题 p：abcd∈(0,1)和命题 q：a＋b＋c＋d∈[e＋e－1－2，e2＋e－2－2)真假的判
断，正确的是( )
A．p 假 q 真 B．p 假 q 假
C．p 真 q 真 D．p 真 q 假
解析：选 A 不妨设 a0，即 a≥b，且 a>0，表示的平面区域为图中阴影部分所示，面积 S＝
1
2
×3×3－1
2
×2×1＝7
2
，
所以函数 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率
P＝
7
2
8
＝ 7
16.
高考研究课(五) 函数零点的命题 3 角度——求个数、定区间、求参数
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
函数零点的个数 未考查
函数零点定区间 未考查
已知函数零点
求参数值或范围 5 年 2 考 已知零点求参数值或范围
判断函数零点的个数
[典例] (1)函数 f(x)＝ x2＋x－2，x≤0，
－1＋ln x，x＞0
的零点个数为( )
A．3 B．2
C．7 D．0
(2)(2018·郑州质量预测)已知函数 f(x)＝
1
2 x－cos x，则 f(x)在[0,2π]上的零点个数为
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] (1)用“直接法”解题
由 f(x)＝0 得 x≤0，
x2＋x－2＝0
或 x＞0，
－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
(2)用图象法解题
作出 g(x)＝
1
2 x 与 h(x)＝cos x 的图象，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为 3，所以函
数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3，故选 C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
函数零点个数的 3 种判断方法
直接求零点 令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
零点存在性
定理
利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才
能确定函数有多少个零点
利用图象交
点的个数
画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几
个不同的值，就有几个不同的零点
[即时演练]
1．函数 f(x)＝sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选 C 令 f(x)＝0，得πcos x＝kπ(k∈Z)⇒cos x＝k(k∈Z)，所以 k＝0,1，－1.若 k
＝0，则 x＝π
2
或 x＝3π
2
；若 k＝1，则 x＝0 或 x＝2π；若 k＝－1，则 x＝π，故零点个数为 5.
2．若偶函数 f(x)的图象关于 x＝1 对称，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数 g(x)＝f(x)
－lg|x|的零点个数为( )
A．14 B．16
C．18 D．20
解析：选 C 函数 g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数，即为函数 y＝f(x)的图象与 y＝lg|x|的图
象的交点个数，由偶函数 f(x)的图象关于 x＝1 对称，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，作出函数 y
＝f(x)的图象与 y＝lg|x|的图象如图所示，由图象可知，交点个数为 18.
3．函数 f(x)＝ex＋1
2x－2 的零点个数为________．
解析：∵f′(x)＝ex＋1
2>0，∴f(x)在 R 上单调递增，
又 f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－3
2>0，
∴函数 f(x)在定义域内有零点且只有一个．
答案：1
确定零点所在区间
[典例] (2018·温州十校联考)设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为
( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] 法一：用“零点存在性定理”解题
∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，
f(2)＝ln 2>0，
∴f(1)·f(2)<0，
∵函数 f(x)＝ln x＋x－2 的图象是连续的，
∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
法二：用“数形结合法”解题
函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐标所在
的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
[答案] B
[方法技巧]
确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法
零点存在
性定理
首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形结合
法
通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断
[即时演练]
1．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
可以判断方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－1,3)和(4，＋∞)
解析：选 A 由表格可得二次函数 f(x)的对称轴为 x＝1
2
，a＞0.又∵f(－3)·f(－1)＜0，
f(2)·f(4)＜0 可得 f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根所
在区间是(－3，－1)和(2,4)．
2．下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(－1,1)内有零点的函数是( )
A．y＝－x3 B．y＝2x－1
C．y＝x2－1
2 D．y＝log2(x＋2)
解析：选 B 由函数在定义域内是增函数，排除 A、C；y＝log2(x＋2)，当 x＝－1 时，y
＝0，所以函数在区间(－1,1)内没有零点，排除 D，故选 B.
已知函数零点求参数值或范围
已知函数零点求参数值或范围是常考内容，主要考查零点的应用及数形结合思想与等价
转化思想的应用.
常见的命题角度有：
1已知零点求参数值；
2已知零点个数求参数范围；
3二次函数的零点应用问题.
角度一：已知零点求参数值
1．(2018·吉林模拟)函数 f(x)＝3x－7＋ln x 的零点位于区间(n，n＋1)( n∈N)内，则 n＝
________.
解析：求函数 f(x)＝3x－7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为
f(2)＝－1＋ln 2，由于 ln 21，所以 f(3)>0，
所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内，故 n＝2.
答案：2
角度二：已知零点个数求参数范围
2．已知函数 f(x)＝ a·ex，x≤0，
－ln x，x>0，
其中 e 为自然对数的底数，若关于 x 的方程 f(f(x))
＝0 有且只有一个实数解，则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选 B 由 f(f(x))＝0 得 f(x)＝1，作出函数 f(x)的图象，如图
所示，当 a<0,01，
函数 g(x)＝2－f(x)，若函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4
个零点，则实数 a 的取值范围是________．
解析：作出函数 f(x)的图象，如图所示，因为 g(x)＝2－f(x)，
所以 f(x)－g(x)＝2(f(x)－1)＝0，所以 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，
即函数 f(x)的图象与直线 y＝1 有 4 个不同的交点，所以观察图象
可得
a>1，
a－2≤1，
1－a2>1，
解得 20，则 a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a＝1，即 a＝1
2.
若 a≤0，则 f(x)的零点不唯一．
综上所述，a＝1
2.
2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，
则 a 的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选 B 当 a＝0 时，f(x)＝－3x2＋1 有两个零点，不符合题意，故 a≠0.f′(x)＝3ax2
－6x＝3x(ax－2)，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2
a
，由题意得 a<0 且 f
2
a >0，解得 a<－2，选
B.
3．(2014·山东高考)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等
的实根，则实数 k 的取值范围是( )
A. 0，1
2 B.
1
2
，1
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：选 B 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象
如图所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的
图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大
于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题意，故1
20，因此 f(x)零点所在的区间是
1
3
，1
2 .
2．(2018·吉林白山模拟)已知函数 f(x)＝ 2x，x>1，
x2＋4x＋2，x≤1，
则函数 g(x)＝f(x)－x 的零
点为( )
A．0 B．－1，－2
C．－1,0 D．－2，－1,0
解析：选 B 当 x>1 时，g(x)＝f(x)－x＝0，则 2x－x＝0.∵x>1，∴此时方程无解；当
x≤1 时，g(x)＝f(x)－x＝x2＋3x＋2＝0，则 x1＝－1 或 x2＝－2.综上，函数 g(x)的零点为－1，
－2.
3．已知函数 f(x)＝
1
5 x－log3x，若 x0 是函数 y＝f(x)的零点，且 0f(x0)．又 x0 是函数 f(x)的零点，因此 f(x0)＝0，所以 f(x1)>0，即此时 f(x1)的值恒为正
值，选 A.
4．(2018·玉溪统考)已知函数 f(x)＝ x＋2，x>a，
x2＋5x＋2，x≤a，
函数 g(x)＝f(x)－2x 恰有三个
不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－1,1) B．[0,2]
C．[－2,2) D．[－1,2)
解析：选 D 由题意知 g(x)＝ 2－x，x>a，
x2＋3x＋2，x≤a，
因为 g(x)有三个不同的零点，所以
2－x＝0 在 x>a 时有一个解，由 x＝2 得 a<2；由 x2＋3x＋2＝0 得 x＝－1 或 x＝－2，则由
x≤a 得 a≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)，所以选 D.
5．若 y＝f(x)是定义在 R 上的函数，且满足：①f(x)是偶函数；②f(x＋2)是偶函数；③当
00，且函数 f(x)是增函数，因此函数 f(x)
的零点在区间(0,1)内，即 00，且函数 g(x)在(0，＋∞)上是
增函数，因此函数 g(x)的零点在区间(1,2)内，即 1f(1)>0，g(a)1，
则函数 g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为________．
解析：函数 g(x)＝f(x)－ex 的零点个数即为函数 y＝f(x)与 y＝ex
的图象的交点个数．作出函数图象可知有 2 个交点，即函数 g(x)＝f(x)
－ex 有 2 个零点．
答案：2
10．函数 f(x)＝ax＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实
数 a 的取值范围是________．
解析：当 a＝0 时，函数 f(x)＝1 在(－1,1)上没有零点，所以 a≠0.因为函数 f(x)是单调函
数，要满足题意，只需 f(－1)·f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得1
30，
f0＝2m＋1<0，
f1＝4m＋2<0，
f2＝6m＋5>0，
解得
m<－1
2
，
m>－5
6.
即－5
63 时，显然不符合．
所以 a 的取值集合为 －9
5
，5＋3 33
8 .
答案： －9
5
，5＋3 33
8
三、解答题
13．(2018·信阳模拟)已知函数 f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
(2)若 g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于 x 的方程 g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求 m 的取
值范围．
解：(1)证明：∵函数 f(x)＝log2(2x＋1)，
任取 x10，
g2<0，
g4>0
⇒
5＋m>0，
2－2m<0，
10－4m>0，
解得 10 时，因为临界位置为 y＝m(x＋1)过点(0,2)和(1,0)，分别求出
这两个位置的斜率 k1＝2 和 k2＝0，此时 m∈[0,2)；
当 m<0 时，过点(－1,0)向函数 g(x)＝ 1
x＋1
－3，－1
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