2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 正余弦定理的3个基础点边角形状和面积

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2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 正余弦定理的3个基础点边角形状和面积

高考达标检测(十九) 正、余弦定理的 3 个基础点 ——边角、形状和面积 一、选择题 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=1,b= 3,A=30°,若 B 为锐角,则 A∶B∶C=( ) A.1∶1∶3 B.1∶2∶3 C.1∶3∶2 D.1∶4∶1 解析:选 B 因为 a=1,b= 3,A=30°,B 为锐角,所以由正弦定理可得 sin B=bsin A a = 3 2 ,则 B=60°,所以 C=90°,则 A∶B∶C=1∶2∶3. 2.如果将直角三角形三边增加相同的长度,则新三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.根据增加的长度确定三角形的形状 解析:选 A 设原来直角三角形的三边长是 a,b,c 且 a2=b2+c2,在原来的三角形三 条边长的基础上都加上相同的长度,设为 d,原来的斜边仍然是最长的边,故 cos A= b+d2+c+d2-a+d2 2b+dc+d =2bd+2cd+d2-2ad 2b+dc+d >0,所以新三角形中最大的角是一个锐角, 故选 A. 3.(2018·太原模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b2+c2-a2 = 3bc,且 b= 3a,则下列关系一定不成立的是( ) A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2 解析:选 B 由余弦定理,得 cos A=b2+c2-a2 2bc = 3bc 2bc = 3 2 ,则 A=30°.又 b= 3a, 由正弦定理得 sin B= 3sin A= 3sin 30°= 3 2 ,所以 B=60°或 120°.当 B=60°时,△ABC 为直角三角形,且 2a=c,可知 C、D 成立;当 B=120°时,C=30°,所以 A=C,即 a=c, 可知 A 成立,故选 B. 4.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则 cos∠DAC= ( ) A. 10 10 B.3 10 10 C. 5 5 D.2 5 5 解析:选 B 如图所示,设 CD=a,则易知 AC= 5a,AD= 2a,在 △ACD 中,CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos∠DAC,∴a2=( 2a)2+ ( 5a)2-2× 2a× 5a×cos∠DAC,∴cos∠DAC=3 10 10 . 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S =(a+b)2-c2,则 tan C 等于( ) A.3 4 B.4 3 C.-4 3 D.-3 4 解析:选 C 因为 2S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab, 则由面积公式与余弦定理,得 absin C=2abcos C+2ab, 即 sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C)2=4, 即sin2C-4sin Ccos C+4cos2C sin2C+cos2C =4, 所以tan2C-4tan C+4 tan2C+1 =4, 解得 tan C=-4 3 或 tan C=0(舍去). 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2+c2-a2=bc,AB―→ · BC―→ >0, a= 3 2 ,则 b+c 的取值范围是( ) A. 1,3 2 B. 3 2 ,3 2 C. 1 2 ,3 2 D. 1 2 ,3 2 解析:选 B 在△ABC 中,b2+c2-a2=bc, 由余弦定理可得 cos A=b2+c2-a2 2bc = bc 2bc =1 2 , ∵A 是△ABC 的内角,∴A=60°. ∵a= 3 2 , ∴由正弦定理得 a sin A = b sin B = c sin C = c sin120°-B =1, ∴b+c=sin B+sin(120°-B)=3 2sin B+ 3 2 cos B = 3sin(B+30°). ∵ AB―→ · BC―→=| AB―→ |·| BC―→ |·cos(π-B)>0, ∴cos B<0,B 为钝角, ∴90°0,所以 c=3. 故△ABC 的面积 S=1 2bcsin A=3 3 2 . 法二:由正弦定理,得 7 sin π 3 = 2 sin B ,从而 sin B= 21 7 , 又由 a>b,知 A>B,所以 cos B=2 7 7 . 故 sin C=sin(A+B)=sin B+π 3 =sin Bcos π 3 +cos Bsin π 3 =3 21 14 . 所以△ABC 的面积 S=1 2absin C=3 3 2 . 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin B·(acos B+bcos A)= 3ccos B. (1)求 B; (2)若 b=2 3,△ABC 的面积为 2 3,求△ABC 的周长. 解:(1)由正弦定理得, sin B(sin Acos B+sin Bcos A)= 3sin Ccos B, ∴sin Bsin(A+B)= 3sin Ccos B, ∴sin Bsin C= 3sin Ccos B. ∵sin C≠0,∴sin B= 3cos B,即 tan B= 3. ∵B∈(0,π),∴B=π 3. (2)∵S△ABC=1 2acsin B= 3 4 ac=2 3,∴ac=8. 根据余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B, ∴12=a2+c2-8,即 a2+c2=20, ∴a+c= a+c2= a2+2ac+c2=6, ∴△ABC 的周长为 6+2 3. 1.在平面五边形 ABCDE 中,已知∠A=120°,∠B=90°,∠C=120°,∠E=90°,AB =3,AE=3,当五边形 ABCDE 的面积 S∈ 6 3,33 3 4 时,则 BC 的取值范围为________. 解析:因为 AB=3,AE=3,且∠A=120°, 由余弦定理可得 BE= AB2+AE2-2AB·AE·cos A=3 3,且∠ABE=∠AEB=30°. 又∠B=90°,∠E=90°,所以∠DEB=∠EBC=60°. 又∠C=120°,所以四边形 BCDE 是等腰梯形. 易得三角形 ABE 的面积为9 3 4 , 所以四边形 BCDE 的面积的取值范围是 15 3 4 ,6 3 . 在等腰梯形 BCDE 中,令 BC=x,则 CD=3 3-x,且梯形的高为 3x 2 , 故梯形 BCDE 的面积为1 2·(3 3+3 3-x)· 3x 2 , 即 15≤(6 3-x)x<24, 解得 3≤x<2 3或 4 3
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