2019版一轮复习理数通用版第十三单元 直线与圆
第十三单元 直线与圆
教材复习课 “直线与圆”相关基础知识一课过
直线的方程
[过双基]
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间
所成的角叫做直线 l 的倾斜角；
②规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
③范围：直线 l 的倾斜角的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线 l 的倾斜角α≠π
2
时，其倾斜角α的正切值 tan α叫做这条直线的斜率，斜
率通常用小写字母 k 表示，即 k＝tan_α；
②斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝y2－y1
x2－x1
.
2．直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与 x 轴不垂直的直
线点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)
两点式 过两点 y－y1
y2－y1
＝ x－x1
x2－x1
与两坐标轴均不
垂直的直线
截距式 纵、横截距 x
a
＋y
b
＝1
不过原点且与两
坐标轴均不垂直
的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋
B2≠0)
所有直线
1．已知 A(m，－2)，B(3,0)，若直线 AB 的斜率为 2，则 m 的值为( )
A．－1 B．2
C．－1 或 2 D．－2
解析：选 B 由直线 AB 的斜率 k＝－2－0
m－3
＝2，
解得 m＝2.
2．若经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于 1，则 m 的取值范围是( )
A．(5,8) B．(8，＋∞)
C.
13
2
，8 D. 5，13
2
解析：选 D 由题意知8－m
m－5
>1，
即2m－13
m－5
<0，∴5
0，
解得－20)，又由圆与直线
4x－3y＝0 相切可得|4a－3|
5
＝1，解得 a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
二、填空题
9．已知直线 l 过点 A(0,2)和 B(－ 3，3m2＋12m＋13)(m∈R)，则直线 l 的倾斜角的取值
范围为________．
解析：设此直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，
则 tan θ＝3m2＋12m＋13－2
－ 3－0
＝－ 3(m＋2)2＋ 3
3
≤ 3
3 .
因为θ∈[0，π)，所以θ∈ 0，π
6 ∪
π
2
，π .
答案： 0，π
6 ∪
π
2
，π
10．已知点 A(－1，－2)，B(2,3)，若直线 l：x＋y－c＝0 与线段 AB 有公共点，则直线
l 在 y 轴上的截距的取值范围为__________．
解析：如图，
把 A(－1，－2)，B(2,3)分别代入直线 l：x＋y－c＝0，得 c 的值分别为－3,5.
故若直线 l：x＋y－c＝0 与线段 AB 有公共点，则直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围为[－
3,5]．
答案：[－3,5]
11．已知直线 x＋y－3m＝0 与 2x－y＋2m－1＝0 的交点在第四象限，则实数 m 的取值
范围为________．
解析：联立 x＋y－3m＝0，
2x－y＋2m－1＝0，
解得
x＝m＋1
3
，
y＝8m－1
3
.
∵两直线的交点在第四象限，
∴m＋1
3
>0，且8m－1
3
<0，
解得－10)将△ABC 分割
为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )
A．(0,1) B. 1－ 2
2
，1
2
C. 1－ 2
2
，1
3 D.
1
3
，1
2
解析：选 B 由 x＋y＝1，
y＝ax＋b
消去 x，得 y＝a＋b
a＋1
，当 a＞0 时，直线 y＝ax＋b 与 x 轴
交于点 －b
a
，0 ，结合图形知1
2
×a＋b
a＋1
× 1＋b
a ＝1
2
，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则 a＝ b2
1－2b.
∵a＞0，∴ b2
1－2b
＞0，解得 b＜1
2.考虑极限位置，即 a＝0，此时易得 b＝1－ 2
2
，故选 B.
一、选择题
1．如果 AB＞0，BC＜0，则直线 Ax＋By＋C＝0 不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 C 由 AB＞0，BC＜0，可得直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率为－A
B
＜0，直线在 y
轴上的截距－C
B
＞0, 故直线不经过第三象限．
2．直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B. 0，π
4 ∪
3π
4
，π
C. 0，π
4 D. 0，π
4 ∪
π
2
，π
解析：选 B 直线 xsin α＋y＋2＝0 的斜率为 k＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1, ∴－1≤k≤1,
∴直线倾斜角的取值范围是 0，π
4 ∪
3π
4
，π .
3．已知点 M 是直线 x＋ 3y＝2 上的一个动点，且点 P( 3，－1)，则|PM|的最小值为
( )
A.1
2 B．1
C．2 D．3
解析：选 B |PM|的最小值即点 P( 3，－1)到直线 x＋ 3y＝2 的距离，又| 3－ 3－2|
1＋3
＝
1，故|PM|的最小值为 1.
4．(2018·郑州质量预测)“a＝1”是“直线 ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂
直”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ∵ax＋y＋1＝0 与(a＋2)x－3y－2＝0 垂直，
∴a(a＋2)－3＝0，解得 a＝1 或 a＝－3.
∴“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．
5．已知点 A(1，－2)，B(m,2)，若线段 AB 的垂直平分线的方程是 x＋2y－2＝0，则实
数 m 的值为( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：选 C ∵A(1，－2)和 B(m,2)的中点
1＋m
2
，0 在直线 x＋2y－2＝0 上，
∴1＋m
2
＋2×0－2＝0，
∴m＝3.
6．已知直线 l 过点 P(1,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，则当△AOB
的面积取得最小值时，直线 l 的方程为( )
A．2x＋y－4＝0 B．x－2y＋3＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋1＝0
解析：选 A 由题可知，直线 l 的斜率 k 存在，且 k<0，则直线 l 的方程为 y－2＝k(x－
1)．
∴A 1－2
k
，0 ，B(0,2－k)，
∴S△OAB＝1
2
1－2
k (2－k)＝1
2
4－k＋ 4
－k ≥1
2 4＋2 －k×
4
－k ＝4，当且仅当 k＝－
2 时取等号．
∴直线 l 的方程为 y－2＝－2(x－1)，即 2x＋y－4＝0.
7．(2018·豫南九校质量考评)若直线 x＋ay－2＝0 与以 A(3,1)，B(1,2)为端点的线段没有
公共点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－2,1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.
－1，1
2
D．(－∞，－1)∪
1
2
，＋∞
解析：选 D 直线 x＋ay－2＝0 过定点 C(2,0)，直线 CB 的斜率 kCB＝－2，直线 CA 的
斜率 kCA＝1，所以由题意可得 a≠0 且－2<－1
a<1，解得 a<－1 或 a>1
2.
8．已知 P(x0，y0)是直线 l：Ax＋By＋C＝0 外一点，则方程 Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)
＝0 表示( )
A．过点 P 且与 l 垂直的直线
B．过点 P 且与 l 平行的直线
C．不过点 P 且与 l 垂直的直线
D．不过点 P 且与 l 平行的直线
解析：选 D 因为 P(x0，y0)是直线 l：Ax＋By＋C＝0 外一点，所以 Ax0＋By0＋C＝k，
k≠0.
若方程 Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，
则 Ax＋By＋C＋k＝0.
因为直线 Ax＋By＋C＋k＝0 和直线 l 斜率相等，
但在 y 轴上的截距不相等，
故直线 Ax＋By＋C＋k＝0 和直线 l 平行．
因为 Ax0＋By0＋C＝k，且 k≠0，
所以 Ax0＋By0＋C＋k≠0，
所以直线 Ax＋By＋C＋k＝0 不过点 P，故选 D.
二、填空题
9．已知点 A(－3，－4)，B(6,3)到直线 l：ax＋y＋1＝0 的距离相等，则实数 a 的值为
________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a－4＋1|
a2＋1
＝|6a＋3＋1|
a2＋1
，解得 a＝－1
3
或－7
9.
答案：－1
3
或－7
9
10．与直线 2x＋3y＋5＝0 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是
________________．
解析：由平行关系设所求直线方程为 2x＋3y＋c＝0,
令 x＝0，可得 y＝－c
3
；令 y＝0，可得 x＝－c
2
，
∴－c
2
－c
3
＝6，解得 c＝－36
5
，
∴所求直线方程为 2x＋3y－36
5
＝0,
化为一般式可得 10x＋15y－36＝0.
答案：10x＋15y－36＝0
11．已知直线 l1 的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2 的方程为 6x＋8y＋1＝0，则直线 l1 与
l2 的距离为________．
解析：直线 l1 的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2 的方程为 6x＋8y＋1＝0，即 3x＋4y＋1
2
＝
0，∴直线 l1 与 l2 的距离为
|1
2
＋7|
32＋42
＝3
2.
答案：3
2
12．在平面直角坐标系中，已知点 P(－2,2)，对于任意不全为零的实数 a，b，直线 l：
a(x－1)＋b(y＋2)＝0，若点 P 到直线 l 的距离为 d，则 d 的取值范围是____________．
解析：由题意，直线过定点 Q(1，－2)，PQ⊥l 时，d 取得最大值 1＋22＋－2－22＝
5,
直线 l 过点 P 时，d 取得最小值 0,
所以 d 的取值范围[0,5]．
答案：[0,5]
三、解答题
13．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)．
(1)求方程表示一条直线的条件；
(2)当 m 为何值时，方程表示的直线与 x 轴垂直；
(3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数 m 的值．
解：(1)由 m2－2m－3＝0，
2m2＋m－1＝0，
解得 m＝－1，
∵方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)表示直线，
∴m2－2m－3,2m2＋m－1 不同时为 0，∴m≠－1.
故方程表示一条直线的条件为 m≠－1.
(2)∵方程表示的直线与 x 轴垂直，
∴ m2－2m－3≠0，
2m2＋m－1＝0，
解得 m＝1
2.
(3)当 5－2m＝0，即 m＝5
2
时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为 0；
当 m≠5
2
时，由 2m－5
m2－2m－3
＝ 2m－5
2m2＋m－1
，解得 m＝－2.
故实数 m 的值为5
2
或－2.
14．已知直线 m：2x－y－3＝0 与直线 n：x＋y－3＝0 的交点为 P.
(1)若直线 l 过点 P，且点 A(1,3)和点 B(3,2)到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程；
(2)若直线 l1 过点 P 且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，△ABO 的面积为 4，
求直线 l1 的方程．
解：(1)由 2x－y－3＝0，
x＋y－3＝0，
得 x＝2，
y＝1，
即交点 P(2,1)．
由直线 l 与 A，B 的距离相等可知，l∥AB 或 l 过 AB 的中点．
①由 l∥AB，得 kl＝kAB＝2－3
3－1
＝－1
2
，
所以直线 l 的方程为 y－1＝－1
2(x－2)，
即 x＋2y－4＝0，
②由 l 过 AB 的中点得 l 的方程为 x＝2，
故 x＋2y－4＝0 或 x＝2 为所求．
(2)法一：由题可知，直线 l1 的斜率 k 存在，且 k＜0.
则直线 l1 的方程为 y＝k(x－2)＋1＝kx－2k＋1.
令 x＝0，得 y＝1－2k＞0，
令 y＝0，得 x＝2k－1
k >0，
∴S△ABO＝1
2
×(1－2k)×2k－1
k
＝4，解得 k＝－1
2
，
故直线 l1 的方程为 y＝－1
2x＋2，即 x＋2y－4＝0.
法二：由题可知，直线 l1 的横、纵截距 a，b 存在，且 a＞0，b＞0，则 l1：x
a
＋y
b
＝1.
又 l1 过点(2,1)，△ABO 的面积为 4，
∴
2
a
＋1
b
＝1，
1
2
ab＝4，
解得 a＝4，
b＝2，
故直线 l1 的方程为x
4
＋y
2
＝1，即 x＋2y－4＝0.
1．设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于
点 P(x，y)(点 P 与点 A，B 不重合)，则△PAB 的面积最大值是( )
A．2 5 B．5
C.5
2 D. 5
解析：选 C 由题意可知，动直线 x＋my＝0 过定点 A(0,0)．
动直线 mx－y－m＋3＝0⇒m(x－1)＋3－y＝0，
因此直线过定点 B(1,3)．
当 m＝0 时，两条直线分别为 x＝0，y＝3，交点 P(0,3)，
S△PAB＝1
2
×1×3＝3
2.
当 m≠0 时，两条直线的斜率分别为－1
m
，m，
则－1
m·m＝－1，因此两条直线相互垂直．
当|PA|＝|PB|时，△PAB 的面积取得最大值．
由 2|PA|＝|AB|＝ 12＋32＝ 10，
解得|PA|＝ 5.
∴S△PAB＝1
2|PA|2＝5
2.
综上可得，△PAB 的面积最大值是5
2.
2．已知直线 y＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(－
4,2)，(3,1)，则点 C 的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：选 C 设 A(－4,2)关于直线 y＝2x 的对称点为(x，y)，则
y－2
x＋4
×2＝－1，
y＋2
2
＝2×－4＋x
2
，
解得 x＝4，
y＝－2
，即(4，－2)．
∴直线 BC 所在方程为 y－1＝－2－1
4－3
(x－3)，
即 3x＋y－10＝0.
联立 3x＋y－10＝0，
y＝2x，
解得 x＝2，
y＝4，
可得 C(2,4)．
3．在平面直角坐标系内，到点 A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点
的坐标是________．
解析：设平面上任一点 M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当 A，M，C 共线时取等号，
同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当 B，M，D 共线时取等号，连接 AC，BD 交于一点 M，若
|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点 M 为所求．
∵kAC＝6－2
3－1
＝2，
∴直线 AC 的方程为 y－2＝2(x－1)，即 2x－y＝0.①
又∵kBD＝5－－1
1－7
＝－1，
∴直线 BD 的方程为 y－5＝－(x－1)，即 x＋y－6＝0.②
由①②得 2x－y＝0，
x＋y－6＝0，
∴ x＝2，
y＝4，
即 M(2,4)．
答案：(2,4)
高考研究课(二)
圆的方程命题 3 角度——求方程、算最值、定轨迹
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
圆的方程 5 年 4 考 求圆的方程及先求圆的方程再考查应用
与圆有关的最值问题 5 年 1 考 求范围
与圆有关的轨迹问题 未考查
圆的方程
圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：
1几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.
2代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
[典例] 求经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线 2x－y－3＝0 上的圆的方程．
[解] 法一：用“几何法”解题
由题意知 kAB＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为 C(a，b)，
∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上．
则
b
a－4
＝－1
2
，
2a－b－3＝0，
解得 a＝2，
b＝1，
∴C(2,1)，
∴r＝|CA|＝ 5－22＋2－12＝ 10.
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：用“代数法”解题
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
2a－b－3＝0，
5－a2＋2－b2＝r2，
3－a2＋－2－b2＝r2，
解得
a＝2，
b＝1，
r＝ 10，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三：用“代数法”解题
设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则
25＋4＋5D＋2E＋F＝0，
9＋4＋3D－2E＋F＝0，
2× －D
2 ＋E
2
－3＝0，
解得
D＝－4，
E＝－2，
F＝－5，
∴所求圆的方程为 x2＋y2－4x－2y－5＝0.
[方法技巧]
求圆的方程的方法
(1)方程选择原则
若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程．
(2)求圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下：
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；
③解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
[即时演练]
根据下列条件，求圆的方程．
(1)已知圆心为 C 的圆经过点 A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线 l：x－y＋1＝0 上；
(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)．
解：(1)法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为
－D
2
，－E
2 .
由题意可得
－62－6E＋F＝0，
12＋－52＋D－5E＋F＝0，
D－E－2＝0，
解得
D＝6，
E＝4，
F＝－12，
所以圆的方程为 x2＋y2＋6x＋4y－12＝0.
法二：因为 A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段 AB 的中点 D 的坐标为
1
2
，－11
2 ，
直线 AB 的斜率 kAB＝－5－－6
1－0
＝1，
因此线段 AB 的垂直平分线的方程是
y＋11
2
＝－ x－1
2 ，即 x＋y＋5＝0.
则圆心 C 的坐标是方程组 x＋y＋5＝0，
x－y＋1＝0
的解，
解得 x＝－3，
y＝－2，
所以圆心 C 的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长 r＝|AC|＝ 0＋32＋－6＋22＝5，
所以圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)法一：如图，设圆心坐标为(x0，－4x0)，依题意得－2－－4x0
3－x0
＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径 r＝ 1－32＋－4＋22＝2 2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根据已知条件得
y0＝－4x0，
3－x02＋－2－y02＝r2，
|x0＋y0－1|
2
＝r，
解得
x0＝1，
y0＝－4，
r＝2 2.
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．
常见的命题角度有：
(1)斜率型最值问题；
(2)截距型最值问题；
(3)距离型最值问题；
(4)距离和(差)的最值问题；
(5)三角形的面积的最值问题．
角度一：斜率型最值问题
1．已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求y
x
的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．
y
x
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设y
x
＝k，即 y＝kx.
当直线 y＝kx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最小值，
此时|2k－0|
k2＋1
＝ 3，
解得 k＝± 3.
所以y
x
的最大值为 3，最小值为－ 3.
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求 y－x 的最大值和最小值．
解：y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，如图所示，当直线 y＝x＋b 与圆相切
时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|
2
＝ 3，解得 b＝－2± 6.所以 y－x 的最大
值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
角度三：距离型最值问题
3．设 P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1 上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2 的最大值为( )
A．6 B．25
C．26 D．36
解析：选 D (x－5)2＋(y＋4)2 表示点 P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方，又点(5，－4)
到圆心(2,0)的距离 d＝ 5－22＋－42＝5，
则点 P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为 6，从而(x－5)2＋(y＋4)2 的最大值为 36.
角度四：距离和(差)的最值问题
4．已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，
C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 2－4 B. 17－1
C．6－2 2 D. 17
解析：选 A 圆心 C1(2,3)，C2(3,4)，作 C1 关于 x 轴的对称点 C1′(2，－3)，连接 C1′C2
与 x 轴交于点 P，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C1′C2|－1－3＝5 2－4.
角度五：三角形的面积的最值问题
5．已知两点 A(－1,0)，B(0,2)，点 P 是圆(x－1)2＋y2＝1 上任意一点，则△PAB 面积的
最大值与最小值分别是( )
A．2，1
2(4－ 5) B.1
2(4＋ 5)，1
2(4－ 5)
C. 5，4－ 5 D.1
2( 5＋2)，1
2( 5－2)
解析：选 B 直线 AB 的方程为 x
－1
＋y
2
＝1，
即 2x－y＋2＝0，
圆心(1,0)到直线 AB 的距离 d＝2＋2
5
＝4 5
5
，则点 P 到直线 AB 的距离最大值为4 5
5
＋1，
最小值为4 5
5
－1，
又|AB|＝ 5，则(S△PAB)max＝1
2
× 5×
4 5
5
＋1 ＝1
2(4＋ 5)，(S△PAB)min＝1
2
× 5×
4 5
5
－1
＝1
2(4－ 5)，故选 B.
[方法技巧]
求解与圆有关的最值问题的 2 大规律
(1)借助几何性质求最值
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助
数形结合思想求解．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用基本不
等式法、参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．
与圆有关的轨迹问题
[典例] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
[解] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2,2y)．
因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)．
在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|.
设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以 x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0.
[方法技巧]
求与圆有关的轨迹问题的 4 种常用方法
直接法 直接根据题目提供的条件列出方程
定义法 根据圆、直线等定义列方程
几何法 利用圆的几何性质列方程
代入法 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等
[即时演练]
1．(2018·唐山调研)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 ：选 A 设圆 上任意 一点为 (x1 ， y1)，中 点为 (x， y)，则
x＝x1＋4
2
，
y＝y1－2
2
，
即
x1＝2x－4，
y1＝2y＋2，
代入 x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2．设点 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则点 P 的轨迹方
程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选 D 设 P(x，y)，则由题意知，圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心为 C(1,0)、半径为 1，
∵PA 是圆的切线，且|PA|＝1，∴|PC|＝ 2，即(x－1)2＋y2＝2，∴点 P 的轨迹方程为(x－1)2
＋y2＝2.
3．已知圆的方程是 x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中 a≠1，且 a∈R.
(1)求证：a 取不为 1 的实数时，圆过定点；
(2)求圆心的轨迹方程．
解：(1)证明：将方程 x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，整理得 x2＋y2－4y＋2－a(2x－2y)
＝0(a≠1，且 a∈R)．
令 x2＋y2－4y＋2＝0，
2x－2y＝0，
解得 x＝1，
y＝1.
所以 a 取不为 1 的实数时，圆过定点(1,1)．
(2)由题意知圆心坐标为(a,2－a)，且 a≠1，又设圆心坐标为(x，y)，则有 x＝a，
y＝2－a，
消
去参数 a，得 x＋y－2＝0(x≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．
1．(2015·全国卷Ⅱ)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|
＝( )
A．2 6 B．8 C．4 6 D．10
解析：选 C 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则
D＋3E＋F＋10＝0，
4D＋2E＋F＋20＝0，
D－7E＋F＋50＝0.
解得
D＝－2，
E＝4，
F＝－20.
∴圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2 6，
∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或 M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)，∴|MN|＝
4 6.
2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，若
|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为________．
解析：圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 化为标准方程为 x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2，因为|AB|＝2 3，点 C 到直线 y＝x＋2a，即 x－y
＋2a＝0 的距离 d＝|0－a＋2a|
2
＝|a|
2
，由勾股定理得
2 3
2 2＋
|a|
2 2＝a2＋2，
解得 a2＝2，
所以 r＝2，所以圆 C 的面积为π×22＝4π.
答案：4π
3．(2013·全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，
在 y 轴上截得线段长为 2 3.
(1)求圆心 P 的轨迹方程；
(2)若 P 点到直线 y＝x 的距离为 2
2
，求圆 P 的方程．
解：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.
由题设 y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而 y2＋2＝x2＋3.
故 P 点的轨迹方程为 y2－x2＝1.
(2)设 P(x0，y0)．由已知得|x0－y0|
2
＝ 2
2 .
又 P 点在双曲线 y2－x2＝1 上，
从而得 |x0－y0|＝1，
y20－x20＝1.
由 x0－y0＝1，
y20－x20＝1，
得 x0＝0，
y0＝－1.
此时，圆 P 的半径 r＝ 3.
由 x0－y0＝－1，
y20－x20＝1，
得 x0＝0，
y0＝1.
此时，圆 P 的半径 r＝ 3.
故圆 P 的方程为 x2＋(y＋1)2＝3 或 x2＋(y－1)2＝3.
一、选择题
1．原点位于圆 x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1)的( )
A．圆内 B．圆上
C．圆外 D．均有可能
解析：选 C 把原点坐标代入圆的方程得(a－1)2>0(a>1)，所以点在圆外，故选 C.
2．已知圆 C 与直线 y＝x 及 x－y－4＝0 都相切，圆心在直线 y＝－x 上，则圆 C 的方程
为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选 D 由题意知 x－y＝0 和 x－y－4＝0 之间的距离为|4|
2
＝2 2，所以 r＝ 2.又
因为 y＝－x 与 x－y＝0，x－y－4＝0 均垂直，所以由 y＝－x 和 x－y＝0 联立得交点坐标为
(0,0)，由 y＝－x 和 x－y－4＝0 联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，所
以圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3．(2018·广州测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析：选 A ∵圆心(1,2)关于直线 y＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于
直线 y＝x 对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
4．一束光线从点(－1,1)出发，经 x 轴反射到圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 上的最短路径长
度是( )
A．4 B．5
C．3 D．2
解析：选 A 由题意可得圆心 C(2,3)，半径为 r＝1,
点 A 关于 x 轴的对称点为
A′(－1，－1),
求得|A′C|＝5,
故要求的最短路径的长为
|A′C|－r＝5－1＝4.
5．已知点 M 是直线 3x＋4y－2＝0 上的动点，点 N 为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 上的动点，
则|MN|的最小值是( )
A.9
5 B．1
C.4
5 D.13
5
解析：选 C 因为圆心(－1，－1)到点 M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线 3x＋4y
－2＝0 的距离 d＝|－3－4－2|
5
＝9
5
，所以点 N 到点 M 的距离|MN|的最小值为9
5
－1＝4
5.
6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2 上有且只有两个点到直线 4x－3y＝2 的距离等于 1，则半径
r 的取值范围是( )
A．(4,6) B．[4,6]
C．[4,6) D．(4,6]
解析：选 A 易求圆心(3，－5)到直线 4x－3y＝2 的距离为 5.令 r＝4，可知圆上只有一
点到已知直线的距离为 1；令 r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为 1，所以半径 r 取
值范围在(4,6)之间符合题意．
7．已知圆 C 关于 x 轴对称，经过点(0,1)，且被 y 轴分成两段弧，弧长之比为 2∶1，则
圆的方程为( )
A．x2＋ y± 3
3 2＝4
3
B．x2＋ y± 3
3 2＝1
3
C. x± 3
3 2＋y2＝4
3
D. x± 3
3 2＋y2＝1
3
解析：选 C 设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，圆 C 与 y 轴交于点
A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为 2∶1，易知∠OCA＝1
2
∠ACB＝1
2
×120°
＝60°，则 tan 60°＝|OA|
|OC|
＝ 1
|OC|
＝ 3，所以 a＝|OC|＝ 3
3
，即圆心坐标为
± 3
3
，0 ，r2＝|AC|2＝12＋ ± 3
3 2＝4
3.所以圆的方程为 x± 3
3 2＋y2＝4
3.
8．已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点 A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆 C 上存在点
P，使得 ∠APB＝90°，则 m 的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选 B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r＝1，
且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接 OP，易知|OP|＝1
2|AB|＝m.要求 m 的最大值，即求圆 C
上的点 P 到原点 O 的最大距离．因为|OC|＝ 32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即 m 的
最大值为 6.
二、填空题
9．在平面直角坐标系内，若圆 C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0 上所有的点均在第四
象限内，则实数 a 的取值范围为____________．
解析：圆 C 的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径 r＝2，故由
题意知
a<0，
|－a|>2，
|2a|>2，
解得 a<－2，故实数 a 的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
10．当方程 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y＝(k－1)x＋2
的倾斜角α＝________.
解析：由题意知，圆的半径 r＝1
2 k2＋4－4k2＝1
2 4－3k2≤1，当半径 r 取最大值时，
圆的面积最大，此时 k＝0，r＝1，所以直线方程为 y＝－x＋2，则有 tan α＝－1，又α∈[0，
π)，故α＝3π
4 .
答案：3π
4
11．已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的圆心在直线 ax－by＋1＝0 上，则 ab 的取值范
围是__________．
解析：把圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意
可知，圆心在直线 ax－by＋1＝0 上，把圆心坐标代入直线方程得，－a－2b＋1＝0，即 a＝1
－2b，则 ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－2 b－1
4 2＋1
8
≤1
8
，当 b＝1
4
时，ab 有最大值1
8
，故 ab 的
取值范围为 －∞，1
8 .
答案： －∞，1
8
12．已知圆 O：x2＋y2＝1，直线 x－2y＋5＝0 上的动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线，
切点为 A，则|PA|的最小值为________．
解析：过 O 作 OP 垂直于直线 x－2y＋5＝0，过 P 作圆 O 的切线 PA，连接 OA，易知此
时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|
12＋－22
＝ 5.
又|OA|＝1，所以|PA|＝ |OP|2－|OA|2＝2.
答案：2
三、解答题
13．(2018·湖南六校联考)已知直线 l：4x＋3y＋10＝0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心
C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方．
(1)求圆 C 的方程；
(2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存
在定点 N，使得 x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心 C(a,0) a＞－5
2 ，则|4a＋10|
5
＝2⇒a＝0 或 a＝－5(舍去)．
所以圆 C 的方程为 x2＋y2＝4.
(2)当直线 AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB.
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，
y2)，
由 x2＋y2＝4，
y＝kx－1，
得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以 x1＋x2＝ 2k2
k2＋1
，x1x2＝k2－4
k2＋1
.
若 x 轴平分∠ANB，则 kAN＝－kBN⇒ y1
x1－t
＋ y2
x2－t
＝0⇒kx1－1
x1－t
＋kx2－1
x2－t
＝0⇒2x1x2－(t
＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2k2－4
k2＋1
－2k2t＋1
k2＋1
＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点 N 为(4,0)时，能使 x 轴平分∠ANB.
14．在△OAB 中，已知 O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB 的内切圆的方程为(x－2)2＋(y
－2)2＝4，P 是圆上一点．
(1)求点 P 到直线 l：4x＋3y＋11＝0 的距离的最大值和最小值；
(2)若 S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求 S 的最大值和最小值．
解：(1)由题意得圆心(2,2)到直线 l：4x＋3y＋11＝0 的距离 d＝|4×2＋3×2＋11|
42＋32
＝25
5
＝5
＞2，故点 P 到直线 l 的距离的最大值为 5＋2＝7，最小值为 5－2＝3.
(2)设点 P 的坐标为(x，y)，
则 S＝x2＋y2＋(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2
＝3(x2＋y2－4x－4y)－4x＋100＝－4x＋88，
而(x－2)2≤4，所以－2≤x－2≤2，
即 0≤x≤4，所以－16≤－4x≤0，所以 72≤S≤88，
即当 x＝0 时，Smax＝88，当 x＝4 时，Smin＝72.
1．已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 B：(x－3)2＋(y－4)2＝4，P 是平面内一动点，过点 P 作圆
O，圆 B 的切线，切点分别为 D，E，若|PE|＝|PD|，则点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为
__________．
解析：设 P(x，y)，因为|PE|＝|PD|，|PD|2＋|OD|2＝|PO|2，|PE|2＋|BE|2＝|PB|2，
所以 x2＋y2－1＝(x－3)2＋(y－4)2－4，
整理得：3x＋4y－11＝0,
点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值就是点 O 到 3x＋4y－11＝0 的距离，
所以点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为 11
32＋42
＝11
5 .
答案：11
5
2．已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线 x＋y＋2＝0 对
称．
(1)求圆 C 的方程；
(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 PQ―→
·MQ―→的最小值．
解：(1)设圆心 C(a，b)，由已知得 M(－2，－2)，
则
a－2
2
＋b－2
2
＋2＝0，
b＋2
a＋2
＝1，
解得 a＝0，
b＝0，
则圆 C 的方程为 x2＋y2＝r2，将点 P 的坐标
代入得 r2＝2，故圆 C 的方程为 x2＋y2＝2.
(2)设 Q(x，y)，则 x2＋y2＝2，
PQ―→·MQ―→＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
令 x＝ 2cos θ，y＝ 2sin θ，
所以 PQ―→
·MQ―→＝x＋y－2＝ 2(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin θ＋π
4 －2，
又 sin θ＋π
4 min＝－1，
所以 PQ―→
·MQ―→的最小值为－4.
高考研究课(三)
直线、圆的位置关系命题 3 角度——判位置、求切线、解弦长
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
直线与圆的位置关系判断 未独立考查
切线问题 5 年 2 考 求圆心到切线距离
弦长问题 5 年 3 考 求弦长
直线与圆的位置关系判断
直线与圆的位置关系判断的方法要灵活选择，可用几何法、代数法，也可利用点与圆的
位置关系得出判断.
[典例] (2018·西安一模)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆 x2＋y2－2x＋2y－7＝
0 的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
[解析] 法一：用“几何法”解题
x2＋y2－2x＋2y－7＝0 化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，
半径 r＝3，圆心到直线的距离 d＝|a＋1－a－1＋2a|
a＋12＋a－12
＝ |2a＋2|
2a2＋2
.再根据 r2 －d2 ＝9－
4a2＋8a＋4
2a2＋2
＝7a2－4a＋7
a2＋1
，而 7a2－4a＋7＝0 的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有 r2＞d2，
即 d＜r，故直线与圆相交．
法二：用“点与圆的位置关系”解题
由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得 x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由 x－y＝0，
x＋y＋2＝0，
解
得 x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－
1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆 x2＋y2－2x＋2y－7＝0 的内部，
故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆 x2＋y2－2x＋2y－7＝0 相交．
[答案] B
[方法技巧]
判断直线与圆的位置关系的 2 大策略
(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．
(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，
尽量不用代数法．
[即时演练]
1．过点 A( 3，1)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[0， 3 ]
C．[0,1] D．[－ 3， 3 ]
解析：选 B 设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－ 3)，则圆心到直线 l 的距离 d＝| 3k－1|
1＋k2
，
因为直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，所以 d≤1，即| 3k－1|
1＋k2
≤1，解得 0≤k≤ 3.
2．直线 l：x－y＋1＝0 与圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选 D 将圆 C 的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为 2，
圆心到直线 l 的距离为|2－1＋1|
2
＝ 2＜2，所以直线 l 与圆相交．又圆心不在直线 l 上，所以
直线不过圆心，故选 D.
切线、弦长问题
[典例] (1)若圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，过点(a，b)
作圆的切线，则切线长的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)过原点且与直线 6x－ 3y＋1＝0 平行的直线 l 被圆 x2＋(y－ 3)2＝7 所截得的弦长为
________．
[解析] (1)圆 C 的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为 2.
因为圆 C 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，所以圆心 C 在直线 2ax＋by＋6＝0 上，所以－2a
＋2b＋6＝0，即 b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离 d＝ a＋12＋b－22＝ a＋12＋a－3－22
＝ 2a2－8a＋26＝ 2a－22＋18.所以当 a＝2 时，d 取最小值 18＝3 2，此时切线长最小，
为 3 22－ 22＝ 16＝4.
(2)由题意可得 l 的方程为 2x－y＝0，
∵圆心(0， 3)到 l 的距离 d＝ 3
3
＝1，
∴所求弦长 l＝2 r2－d2＝2 7－1＝2 6.
[答案] (1)C (2)2 6
[方法技巧]
处理切线、弦长问题的策略
(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．
[即时演练]
1．从圆 x2－2x＋y2－2y＋1＝0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦
值为( )
A.1
2 B.3
5
C. 3
2 D．0
解析：选 B 如图，圆 x2－2x＋y2－2y＋1＝0 的圆心为 C(1,1)，半径为 1，两切点分别
为 A，B，连接 AC，PC，则|CP|＝ 5，|AC|＝1，sin θ＝ 1
5
，所以 cos∠APB＝cos 2θ＝1－2sin2θ
＝3
5.
2．已知在圆 x2＋y2－4x＋2y＝0 内，过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则
四边形 ABCD 的面积为( )
A．3 5 B．6 5
C．4 15 D．2 15
解析：选 D 由题意可知圆是以(2，－1)为圆心， 5为半径的圆，点 E 在圆内，显然当
弦 AC 为直径时最长且为 2 5，BD 与 AC 垂直时其长最短为 2 3，所以四边形 ABCD 的面积
为 S＝1
2
×2 5×2 3＝2 15.
3．已知圆 C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点 A(3,5)．求：
(1)过点 A 的圆的切线方程；
(2)O 是坐标原点，连接 OA，OC，求△AOC 的面积 S.
解：(1)圆 C 化为标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1，
所以圆心 C(2,3)，半径 r＝1.
当切线的斜率不存在时，直线方程为 x＝3，此时圆心与直线的距离为 1，等于圆的半径，
故 x＝3 是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为 y－5＝k(x－3)，
即 kx－y＋5－3k＝0.
由|2k－3＋5－3k|
k2＋1
＝1，得 k＝3
4
，
故所求方程为 3x－4y＋11＝0，
因此所求的切线方程为 x＝3 和 3x－4y＋11＝0.
(2)直线 OA 的方程为 5x－3y＝0，圆心 C 到直线 OA 的距离为|5×2－3×3|
52＋－32
＝ 1
34
，
而 OA＝ 52＋32＝ 34，
故 S△AOC＝1
2
× 34× 1
34
＝1
2.
圆与圆的位置关系
[典例] (1)若两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线 x－y＋c＝0 上，且 m，
c 均为实数，则 m＋c＝__________.
(2)若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为 2 3，则 a＝________.
[解析] (1)根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点
1＋m
2
，1 在直线 x
－y＋c＝0 上，并且过两点的直线与 x－y＋c＝0 垂直，故有
1＋m
2
－1＋c＝0，
3－－1
1－m
×1＝－1，
∴m＝
5，c＝－2，∴m＋c＝3.
(2)两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝
1
a
，又 a＞0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可
知1
a
＝ 22－ 32＝1，解得 a＝1.
[答案] (1)3 (2)1
[方法技巧]
求解两圆位置关系问题的 2 种方法
(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关
系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
[即时演练]
1．若点 A(1,0)和点 B(4,0)到直线 l 的距离依次为 1 和 2，则这样的直线有( )
A．1 条 B．2 条
C．3 条 D．4 条
解析：选 C 如图，分别以 A，B 为圆心，1,2 为半径作圆．依题意得，直线 l 是圆 A 的
切线，A 到 l 的距离为 1，直线 l 也是圆 B 的切线，B 到 l 的距离为 2，所以直线 l 是两圆的
公切线，共 3 条(2 条外公切线，1 条内公切线)．
2．圆心在直线 x－y－4＝0 上，且经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋6y－28＝0 的
交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0 B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0 D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
解析：选 A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即 x2＋y2＋ 6
1＋λ
x＋ 6λ
1＋λ
y－4＋28λ
1＋λ
＝0，
其圆心坐标为
－ 3
1＋λ
，－ 3λ
1＋λ .
又圆心在直线 x－y－4＝0 上，
所以－ 3
1＋λ
＋ 3λ
1＋λ
－4＝0，
解得λ＝－7，
故所求圆的方程为 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
1．(2016·全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，
则 a＝( )
A．－4
3 B．－3
4
C. 3 D．2
解析：选 A 因为圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax＋y
－1＝0 的距离 d＝|a＋4－1|
a2＋1
＝1，解得 a＝－4
3.
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，
过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________.
解析：由直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 知其过定点(－3， 3)，圆心 O 到直线 l 的距离为
d＝|3m－ 3|
m2＋1
.
由|AB|＝2 3，得
3m－ 3
m2＋1 2＋( 3)2＝12，
解得 m＝－ 3
3 .又直线 l 的斜率为－m＝ 3
3
，
所以直线 l 的倾斜角α＝π
6.
画出符合题意的图形如图所示，过点 C 作 CE⊥BD，则∠DCE＝π
6.在 Rt△CDE 中，可
得|CD|＝ |AB|
cosπ
6
＝2 3× 2
3
＝4.
答案：4
3．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴交于 A，B 两点，
点 C 的坐标为(0,1)，当 m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；
(2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现 AC⊥BC 的情况，理由如下：
设 A(x1,0)，B(x2,0)，则 x1，x2 满足 x2＋mx－2＝0，
所以 x1x2＝－2.
又 C 的坐标为(0,1)，
故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为－1
x1
·
－1
x2
＝－1
2
，
所以不能出现 AC⊥BC 的情况．
(2)证明：由(1)知 BC 的中点坐标为
x2
2
，1
2 ，
可得 BC 的中垂线方程为 y－1
2
＝x2
x－x2
2 .
由(1)可得 x1＋x2＝－m，
所以 AB 的中垂线方程为 x＝－m
2.
联立
x＝－m
2
，
y－1
2
＝x2
x－x2
2 ，
x22＋mx2－2＝0，
可得
x＝－m
2
，
y＝－1
2.
所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 －m
2
，－1
2 ，半径 r＝ m2＋9
2
.
故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2－
m
2 2＝3，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的
弦长为定值．
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线 C：y2＝2x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M
是以线段 AB 为直径的圆．
(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；
(2)设圆 M 过点 P(4，－2)，求直线 l 与圆 M 的方程．
解：(1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由 x＝my＋2，
y2＝2x
可得 y2－2my－4＝0，则 y1y2＝－4.
又 x1＝y21
2
，x2＝y22
2
，故 x1x2＝y1y22
4
＝4.
因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为y1
x1
·y2
x2
＝－4
4
＝－1，所以 OA⊥OB.
故坐标原点 O 在圆 M 上．
(2)由(1)可得 y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，
故圆心 M 的坐标为(m2＋2，m)，
圆 M 的半径 r＝ m2＋22＋m2.
由于圆 M 过点 P(4，－2)，因此 AP―→
· BP―→＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即 x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)知 y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以 2m2－m－1＝0，解得 m＝1 或 m＝－1
2.
当 m＝1 时，直线 l 的方程为 x－y－2＝0，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M 的半径为 10，
圆 M 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当 m＝－1
2
时，直线 l 的方程为 2x＋y－4＝0，圆心 M 的坐标为
9
4
，－1
2 ，圆 M 的半径
为 85
4
，圆 M 的方程为 x－9
4 2＋ y＋1
2 2＝85
16.
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交
于 M，N 两点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)若OM―→
· ON―→＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设可知直线 l 的方程为 y＝kx＋1.
因为直线 l 与圆 C 交于两点，
所以|2k－3＋1|
1＋k2 <1，解得4－ 7
3
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