高考数学黄金题系列第05题含参数的简易逻辑问题理

高考数学黄金题系列第05题含参数的简易逻辑问题理

第 5 题 含参数的简易逻辑问题 I．题源探究·黄金母题 【例 1】下列各题中，那些 p 是 q 的充要条件？（节选） （1） p ： 0b  ， q ：函数   2f x ax bx c   是偶函 数； 【解析】 ,p q  p 是 q 的充要条件． 精彩解读 【试题来源】人教 A 版选修 1-1 第 11 页例 3． 【母题评析】本题考查充要条件的判断，容易 题． 【思路方法】直接应用定义进行判断． II．考场精彩·真题回放 【例 2】【2017 天津，理 4】设 R ，则“ π π| |12 12    ” 是“ 1sin 2   ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当 1a b  时，有 21 i 2i  ，即充分性成立．当  2i 2ia b  时，有 2 2 2 i 2ia b ab   ，得 2 2 0, 1, a b ab      解 得 1a b  或 1a b   ，即必要性不成立，故选 A． 【例 3】【2014 福建理数】直线 : 1l y kx  与圆 2 2: 1O x y  相交于 ,A B 两点，则“ 1k  ”是“ ABC△ 的面积为 1 2 ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】当 1k  时， : 1l y x  ，由题意不妨令  1,0A  ，  0,1B ，则 1 11 12 2AOBS    △ ，所以充分 性成立；当 1k   时， : 1l y x   ，也有 1 2AOBS △ ， 所以必要性不成立． 【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与 必要条件的判定． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以 选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往 与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题） 真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及 全称命题、特称命题等联系紧密． 【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 p 则 q ”、“若 q 则 p ” 的真假．并注意和图示相结合，例如“ p ⇒ q ” 为真，则 p 是 q 的充分条件． 2．等价法：利用 p ⇒ q 与非 q ⇒非 p ， q ⇒ p 与非 p ⇒非 q ， p ⇔ q 与非 q ⇔非 p 的 等价关系，对于条件或结论是否定式的命题， 一般运用等价法． 3．集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条 件或 B 是 A 的必要条件；若 B A ，则 A 是 B 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要 条件；若 A 是 B 的真子集，则 A 是 B 的充分 不必要条件；若 B 是 A 的真子集，则 A 是 B 的 必要不充分条件． 【例 4】【2014 四川理数】以 A 表示值域为 R 的函数组成 的集合， B 表示具有如下性质的函数  x 组成的集合： 对于函数  x ，存在一个正数 M ，使得函数  x 的值 域包含于区间 ,M M ．例如，当   3 1 x x  ，  2 sinx x  时，  1 x A  ，  2 x B  ．现有如下命 题： ①设函数  f x 的定义域为 D ，则“  f x A ”的充要 条件是“ b R ， a D  ，  f a b ”； ②函数  f x B 的充要条件是  f x 有最大值和最小 值； ③若函数  f x ，  g x 的定义域相同，且  f x A ，  g x B ，则    f x g x B  ； ④若函数     2ln 2 1 xf x a x x      2,x a  R 有 最大值，则  f x B ． 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号） 【解析】依题意可直接判定①正确；令     2 ,1xf x x   ，显然存在正数 2，使得  f x 的值域    0,2 2,2  ，但  f x 无最小值，②错误；假设    f x g x B  ，则存在正数 M ，使得当 x 在其公共 定义域内取值时，有    f x g x M „ ，则    f x M g x„ ，又因为  g x B ，则存在正数 1M ， 使    1 1,g x M M  ， 所以   1g x M „ ，即   1M g x M M „ ，所以   1f x M M„ ，与  f x A 矛盾，③正确；当 0a  时，   2 1 1,1 2 2 xf x x        ，即  f x B ，当 0a  时，因为  ln 2y a x  的值域为 ,  ，而 2 1 1,1 2 2 x x       ，此时  f x 无最大值，故 0a  ，④ 正确． III．理论基础·解题原理 考点一 与充分条件、必要条件有关的参数问题 充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若 p 则 q ”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关 系，尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理． 考点二 与逻辑联接词有关的参数问题 逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题 的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数 的取值范围问题． 考点三 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达 到解题的目的． 考点四 与全称量词、特称量词有关的参数问题 全称量词“ ”表示对于任意一个，指的是在指定范围内 的恒成立问题，而特称量词“  ”表示存 在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基 本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是 含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系 紧密． 【技能方法】 解决与简易逻辑问题有关的参数问题，需要正确理解充分条件和必要条件的定义，弄懂逻辑联接词 的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论 【易错指导】 （1）参数的边界值即是否取等号，容易出错； （2）判断充分条件和必要条件时，容易将方向弄错． V．举一反三·触类旁通 考向 1 与充分条件、必要条件有关的参数问题 【例 1】【2018 安徽滁州高三 9 月联合质检】“ 1a   ”是“函数   2 2 3f x x ax   在区间 1, 上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【例 2】【2017 湖南邵阳第二次联考】“ 1m  ”是“函数   3 3 3x mf x   在区间 1, 无零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数   3 3 3x mf x   在区间 1, 无零点，则 1 3 13 3 3 1 2 2 m m m       故选 A． 【例 3】【2017 黑龙江哈尔滨第三中学高三二模】对于常数 ,m n ，“关于 x 的方程 2 0x mx n   有两个 正根” 是“方程 2 2 1mx ny  的曲线是椭圆” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】依题意，两个正根即 2 1 2 1 2 4 0 { 0 0 m n x x m x x n          ，令 5m n  ，此时方程有两个正根，但是方程 2 25 5 1x y  不是椭圆．反之，令 1 , 12m n  ，方程 2 2 12 x y  是椭圆，但是 2 1 1 02x x   没有实 数根．综上所述，应选既不充分也不必要条件． 【例 4】【2017 江苏无锡模拟】若 a R ，则复数 3 i i az  在复平面内对应的点在第三象限是 0a  的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵ 3 3aiz a ii     ，∴由题设可得 0 0a a  ，因此不充分；反之，当 0 0a a    ， 则复数 3z a i   对应的点在第三象限，是必要条件，故应选答案 B． 【 例 5 】【 江 苏 省 南 通 中 学 2017 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 】 已 知 命 题 :| | 4p x a  ， 命 题 :( 1)(2 ) 0q x x   ，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】[－2，5] 【解析】 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 p 则 q ”、“若 q 则 p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ p ⇒ q ”为 真，则 p 是 q 的充分条件． 2．等价法：利用 p ⇒ q 与非 q ⇒非 p ， q ⇒ p 与非 p ⇒非 q ， p ⇔ q 与非 q ⇔非 p 的等价关系， 对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件． 【跟踪练习】 1．【2017 湖北七市（州）3 月联考】已知圆 ．设条件 ，条件 圆 上至 多有 个点到直线 的距离为 ，则 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵圆心 到定直线 的距离为 ，若半径 ，如上图，则恰有三 个点到定直线的距离都是 1．由于 ，故圆上最多有两个点到直线的距离为 1；反之也成立，应选 答案 C． 2．【2017 高三百校联盟】已知 ， ，若 的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3．已知 : 4 4; :( 2)(3 ) 0p a x a q x x       ，若  p 是  q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范 围为 ． 【答案】[-1，6] 【解析】∵  p 是  q 的充分不必要条件，∴q 是 p 的充分不必要条件．又∵ : 2 3q x  ，∴ 4 2, 4 3a a    ，解得： 1 6a   ． 考向 2 与逻辑联接词有关的参数问题 【例 6】【2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点联考】已知命题 0 0 0: , 0,xp x R e mx    2: , 1 0,q x R mx mx     若  p q  为假命题，则实数 m 的取值范围是 A．   ,0 4,   B． 0,4 C． 0,e D． 0,e 【答案】C 【解析】由  p q  为假命题可得 p 假 q 真，若 p 为假，则 xe mx 无解，可得 0 m e  ； 若 q 为真则 0 4m  ，∴答案为 C． 【例 7】【2017 四川资阳 4 月模拟】设命题 p ：函数    2lg 2 1f x ax x   的定义域为 R；命题 q ：当 1 22x     ， 时， 1x ax   恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数 a 的取值范围是________． 【答案】 1 2， ； 【解析】解：由题意可知，命题 ,p q 均为真命题， p 为真命题时：  2 0 { 2 4 0 a a       ，解得： 1a  ， q 为 真 命 题 时 ：   1f x x x   在 区 间 1 ,12      上 单 调 递 减 ， 在 区 间  1,2 上 单 调 递 增 ， min 1 11 21x x        ，故： 2a  ，综上可得，实数 a 的取值范围是： 1,2 ． 【例 8】【2017 贵州校级联考】已知函数     2 1ln 1 1f x x x     ，命题 p ：实数 x 满足不等式    1 2 1f x f x   ；命题 q ：实数 x 满足不等式  2 1 0x m x m    ，若 p 是 q 的充分不必要条 件，则实数 m 的取值范围是__________． 【答案】 0 2， 【例 9】【2018 辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学联考】已知命题 指数函数 在 上单调 递减，命题 关于 的方程 的两个实根均大于 3．若“ 或 ”为真，“ 且 ”为假， 求实数 的取值范围． 【答案】 ． 【解析】试题分析：根据指数函数的单调性求出命题 p 为真命题时 a 的范围，利用二次方程的实根分布 求出命题 q 为真命题时 a 的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p 或 q 为真，p 且 q 为假”转化为 p， q 的真假，列出不等式组解得． 试题解析：若 p 真，则 在 R 上单调递减，∴0＜2a-6＜1，∴3＜a＜ ． 若 q 真，令 f（x）=x2-3ax+2a2+1，则应满足 ，又由已知“ 或 ”为真，“ 且 ”为假；应有 p 真 q 假，或者 p 假 q 真． ①若 p 真 q 假，则 ， a 无解． ②若 p 假 q 真，则 ． 综上①②知实数 的取值范围为 ． 考点：１．复合命题的真假与简单命题真假的关系；２．二次方程实根分布． 【例 10】【2018 安徽滁州 9 月联考】已知   2: 0, , 2 lnp x x e x m     ； :q 函数 2 2 1y x mx   有 两个零点． (1)若 p q 为假命题，求实数 m 的取值范围； (2)若 p q 为真命题， p q 为假命题，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1） 1,0 ；（2）   , 1 0,1   ．   22 2 22 e x ef x x x x    ，令   0f x  ，解得 x e ，函数   2 2 lnf x x e x  在 0, e 上单调递 减，在 ,e  上单调递增，故    min 0f x f e  ，故 0m  ． 若 q 为真，则 24 4 0m   ， 1m  或 1m   ． (1)若 p q 为假命题，则 ,p q 均为假命题，实数 m 的取值范围为 1,0 ． (2)若 p q 为真命题， p q 为假命题，则 ,p q 一真一假． 若 p 真 q 假，则实数 m 满足 0{ 1 1 m m     ，即 0 1m  ； 若 p 假 q 真，则实数 m 满足 0{ 1 1 m m m    或 ，即 1m   ． 综上所述，实数 m 的取值范围为    , 1 0,1   ． 【例 11】设命题 p：函数 2( ) lg( )16 af x ax x   的定义域为 R；命题 q：3 9x x a  对一切的实数 x 恒成立， 如果命题“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围． 【分析】首先分别将命题 ,p q 翻译成实数 a 的取值范围，若命题“p 且 q”为假命题，则 ,p q 至少有一个 假，分类讨论． 【解析】 2 0 : 2 1 04 a p aa       ， 21 1 1 1: ( ) 3 9 (3 )2 4 4 4 x x xq g x a         ．  “ p 且 q ”为假命题， p ， q 至少有一假: （1）若 p 真 q 假，则 2a  且 1 ,4a a  ； （2）若 p 假 q 真，则 2a  且 1 1, 24 4a a   ； （3）若 p 假 q 假，则 2a  且 1 1,4 4a a  ， 2a  ． 【点评】复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，故先分别将简单命题翻译，根据其真假关系， 转化为集合间的运算． 【跟踪练习】 已知命题 :p 函数   2 2 2f x x ax a   的值域为 0, ，命题 :q 方程  1 2 0ax ax   在 1,1 上 有解，若命题“ p 或 q ”是假命题，求实数 a 的取值范围． 考向 3 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 【例 12】【2017 吉林三模】函数  f x 的定义域为 D ，对给定的正数 k ，若存在闭区间 ,a b D ，使得 函数  f x 满足：①  f x 在 ,a b 内是单调函数；②  f x 在 ,a b 上的值域为 ,ka kb ，则称区间 ,a b 为  y f x 的 k 级“理想区间”．下列结论错误的是 A．函数   2f x x （ x R ）存在1级“理想区间” B．函数    xf x e x R  不存在 2 级“理想区间” C．函数    2 4 01 xf x xx   存在3级“理想区间” D．函数   tan , ,2 2f x x x        不存在 4 级“理想区间” 【答案】D 【解析】易知 0,1 是   2f x x 的一级“理想区间”．A 正确；设   2xg x e x  ，  ' 2xg x e  ， 当 ln2x  时，  ' 0g x  ，当 ln2x  时，  ' 0g x  ，因此    min ln2 2 2ln2 0g x g    ，即   0g x  无零点，因此   xf x e 不存在 2 级“理想区间”，B 正确；由   2 4 3 01 xh x xx    ，得 0x  或 3 3x  ，则 30, 3       是   2 4 1 xf x x   的一个 3 组“理想区间”，C 正确；借助正切函数图象知 tany x 与 4y x 在 ,2 2      内有三个交点，因此   tan ,2 2f x x x           有 4 级“理想区间”，D 错误， 故选 D． 【例 13】【江苏省如东高级中学 2017 届高三上学期第二次学情调研】若命题“ x R  ，使得  2 1 1 0x a x    ”是假命题，则实数 a 的取值范围为__________． 【答案】 13 ， 【点评】已知命题为假命题，则其否定是真命题，故将该题转化为恒成立问题处理． 【跟踪练习】 已知命题 p：“∀x∈R，∃m∈R，使 4x＋2x·m＋1＝0”．若命题 p 为真命题，则实数 m 的取值范围是 ______________． 【答案】(－∞，－2] 考向 4 与全称量词、特称量词有关的参数问题 【例 14】【2017 北京西城区二模】函数 ．若存在 ，使得 ，则 k 的 取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象， 函数 是 R 上的单调递增函数，则 也是 R 上的单调递增函数，则满足题意时： 只需当 时 成立，分类讨论： 当 时： ，解得： ，此时： ， 当 时： ，解得： ，此时： ， 综合以上两种情况可得 k 的取值范围是 ． 点睛：无论参数出现在什么类型 的题目中，只要根据解题要求，即参数的存在对解题造成了怎样的阻碍， 通过分类讨论，消除这种阻碍，使问题得到解决．但需要注意一点，不能形成定势思维：有参数就一定 要分类讨论． 【例 15】【2018 江苏横林高级中学模拟】若命题“ t R  ， 2 0t a  ”是真命题，则实数 a 的取值范 围是____． 【答案】 0, 【解析】 2a t ，由于 2 0t  ，命题“ t R  ， 2 0t a  ”是真命题，则 0a  ，实数 a 的取值范围是  0, ． 【例 16】【2017 湖北省黄冈模拟】若命题“ 2 0 0 0, 2 0x R x x m     ”是假命题，则 m 的取值范围是 __________． 【答案】 1, 【解析】∵命题“ 2 0 0 0, 2 0x R x x m     ”是假命题，∴ 2R, 2 0x x x m     为真命题 ，即 4 4 0 , 1m m     ，故答案为  1, ． 【例 17】【2017 江苏盐城三模】若命题“ t R  ， 2 2 0t t a   ”是假命题，则实数 a 的取值范围是 ___________． 【答案】 , 1  【解析】 2, 2 0t R t t a     为真命题，∴ 4 4 0 1.a a       【例 18】已知命题 p ：“ 0],2,1[ 2  axx ”，命题 q ：“ 022, 2  aaxxRx ”． 若命题“ p 且 q ”是真命题，则实数 a 的取值范围为_______________． 【分析】若命题“ p 且 q ”是真命题，则命题 ,p q 都是真命题，首先将命题 ,p q 对应的参数范围求出来， 求交集即可． 【点评】命题 p 是恒成立问题，命题 q 是有解问题． 【例 19】【泰州中学 2017 届高三上学期期中考试】已知命题 2: , 2 0p x R x x a     是真命题，则实 数 a 的取值范围是_________． 【答案】 1a  【解析】由题设方程 022  axx 有解，故 044  a ，即 1a ，故应填答案 1a  ． 【跟踪练习】 已知函数 2( ) 2f x x x  ， ( ) 2g x ax  (a>0)，若 1 [ 1,2]x   ， 2 [ 1,2]x   ，使得 f(x1)= g(x2)， 则实数 a 的取值范围是___________________． 【答案】 ]3,3 5(