2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷【含答案】

2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷【含答案】

1 / 8 2020 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1. −8的倒数是（ ） A.− 1 8 B.−8 C.8 D.1 8 2. 下列运算一定正确的是（ ） A.푎2 + 푎2＝푎4 B.푎2 ⋅ 푎4＝푎8 C.(푎2)4＝푎8 D.(푎 + 푏)2＝푎2 + 푏2 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 扇形 B. 正方形 C. 等腰直角三角形 D. 正五边形 4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，퐴퐵为⊙ 푂的切线，点퐴为切点，푂퐵交⊙ 푂于点퐶，点퐷在⊙ 푂 上，连接퐴퐷、퐶퐷，푂퐴，若∠퐴퐷퐶＝35∘，则∠퐴퐵푂的度数为（ ） A.25∘ B.20∘ C.30∘ D.35∘ 6. 将抛物线푦＝푥2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所 得到的拋物线为（ ） A.푦＝(푥 + 3)2 + 5 B.푦＝(푥 − 3)2 + 5 C.푦＝(푥 + 5)2 + 3 D.푦＝(푥 − 5)2 + 3 7. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐵퐴퐶＝90∘，∠퐵＝50∘，퐴퐷 ⊥ 퐵퐶，垂足为퐷， △ 퐴퐷퐵与△ 퐴퐷퐵′关于直线퐴퐷对称，点퐵的对称点是点퐵′，则∠퐶퐴퐵′的度 数为（ ） A.10∘ B.20∘ C.30∘ D.40∘ 8. 方程 2 푥+5 = 1 푥−2 的解为（ ） A.푥＝−1 B.푥＝5 C.푥＝7 D.푥＝9 9. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小 球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红 球的概率是（ ） A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 9 10. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，点퐷在퐵퐶边上，连接퐴퐷，点퐸在퐴퐶边上，过点 퐸作퐸퐹 // 퐵퐶，交퐴퐷于点퐹，过点퐸作퐸퐺 // 퐴퐵，交퐵퐶于点퐺，则下列式 子一定正确的是（ ） A.퐴퐸 퐸퐶 = 퐸퐹 퐶퐷 B.퐸퐹 퐶퐷 = 퐸퐺 퐴퐵 C.퐴퐹 퐹퐷 = 퐵퐺 퐺퐶 D.퐶퐺 퐵퐶 = 퐴퐹 퐴퐷 二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分） 11. 将数4790000用科学记数法表示为________． 12. 在函数푦 = 푥 푥−7 中，自变量푥的取值范围是________． 13. 已知反比例函数푦 = 푘 푥 的图象经过点(−3,  4)，则푘的值为________． 14. 计算√24 + 6√1 6 的结果是________． 15. 把多项式푚2푛 + 6푚푛 + 9푛分解因式的结果是________． 16. 抛物线푦＝3(푥 − 1)2 + 8的顶点坐标为________． 17. 不等式组{ 푥 3 ≤ −1, 3푥 + 5 < 2 的解集是________． 18. 一个扇形的面积是13휋푐푚2，半径是6푐푚，则此扇形的圆心角是 2 / 8 ________度． 19. 在△ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐵퐶＝60∘，퐴퐷为퐵퐶边上的高，퐴퐷＝6√3，퐶퐷＝1， 则퐵퐶的长为________． 20. 如图，在菱形퐴퐵퐶퐷中，对角线퐴퐶、퐵퐷相交于点푂，点퐸在线段퐵푂 上，连接퐴퐸，若퐶퐷＝2퐵퐸，∠퐷퐴퐸＝∠퐷퐸퐴，퐸푂＝1，则线段퐴퐸的长为 ________． 三、解答题（其中 21～22 题各 7 分，23～24 题各 8 分，25～27 题各 10 分，共计 60 分） 21. 先化简，再求代数式(1 − 2 푥+1) ÷ 푥2−1 2푥+2 的值，其中푥＝4cos30∘ − 1． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段퐴퐵和线段퐶퐷的端 点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以퐴퐵为边的正方形퐴퐵퐸퐹，点퐸和点퐹均在小正方形的顶 点上； （2）在图中画出以퐶퐷为边的等腰三角形퐶퐷퐺，点퐺在小正方形的顶点上， 且△ 퐶퐷퐺的周长为10 + √10．连接퐸퐺，请直接写出线段퐸퐺的长． 23. 为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动 小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小 组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随 机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完 整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的 30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ 3 / 8 （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学 生有多少名． 24. 已知：在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝퐴퐶，点퐷、点퐸在边퐵퐶上，퐵퐷＝퐶퐸，连接 퐴퐷、퐴퐸． （1）如图1，求证：퐴퐷＝퐴퐸； （2）如图2，当∠퐷퐴퐸＝∠퐶＝45∘时，过点퐵作퐵퐹 // 퐴퐶交퐴퐷的延长线于 点퐹，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角 形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45∘． 25. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大 地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需 用132元． （1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元； （2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元， 那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？ 4 / 8 26. 已知：⊙ 푂是△ 퐴퐵퐶的外接圆，퐴퐷为⊙ 푂的直径，퐴퐷 ⊥ 퐵퐶，垂足 为퐸，连接퐵푂，延长퐵푂交퐴퐶于点퐹． （1）如图1，求证：∠퐵퐹퐶＝3∠퐶퐴퐷； （2）如图2，过点퐷作퐷퐺 // 퐵퐹交⊙ 푂于点퐺，点퐻为퐷퐺的中点，连接푂퐻， 求证：퐵퐸＝푂퐻； （3）如图3，在（2）的条件下，连接퐶퐺，若퐷퐺＝퐷퐸，△ 퐴푂퐹的面积为 9√2 5 ，求线段퐶퐺的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点푂为坐标原点，直线퐴퐵与푥轴的正半 轴交于点퐴，与푦轴的负半轴交于点퐵，푂퐴＝푂퐵，过点퐴作푥轴的垂线与过 点푂的直线相交于点퐶，直线푂퐶的解析式为푦 = 3 4 푥，过点퐶作퐶푀 ⊥ 푦轴， 垂足为푀，푂푀＝9． （1）如图1，求直线퐴퐵的解析式； （2）如图2，点푁在线段푀퐶上，连接푂푁，点푃在线段푂푁上，过点푃作 푃퐷 ⊥ 푥轴，垂足为퐷，交푂퐶于点퐸，若푁퐶＝푂푀，求푃퐸 푂퐷 的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点퐹为线段퐴퐵上一点，连接푂퐹，过点퐹 作푂퐹的垂线交线段퐴퐶于点푄，连接퐵푄，过点퐹作푥轴的平行线交퐵푄于点퐺， 连接푃퐹交푥轴于点퐻，连接퐸퐻，若∠퐷퐻퐸＝∠퐷푃퐻，퐺푄 − 퐹퐺 = √2퐴퐹， 求点푃的坐标． 5 / 8 参考答案与试题解析 2020 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A 10.C 二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分） 11.4.79 × 106 12.푥 ≠ 7 13.−12 14.3√6 15.푛(푚 + 3)2 16.(1,  8) 17.푥 ≤ −3 18.130 19.5或7 20.2√2 三、解答题（其中 21～22 题各 7 分，23～24 题各 8 分，25～27 题各 10 分，共计 60 分） 21.原式= 푥−1 푥+1 ⋅ 2(푥+1) (푥−1)(푥+1) = 2 푥+1 ， ∵ 푥＝4cos30∘ − 1＝4 × √3 2 − 1＝2√3 − 1， ∴ 原式= 2 2√3−1+1 = √3 3 ． 22.如图，正方形퐴퐵퐸퐹即为所求． 如图，△ 퐶퐷퐺即为所求． 23.在这次调查中，一共抽取了50名学生； 冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名 24.证明：∵ 퐴퐵＝퐴퐶， ∵ ∠퐵＝∠퐶， 在△ 퐴퐵퐷和△ 퐴퐶퐸中， { 퐴퐵 = 퐴퐶 ∠퐵 = ∠퐶 퐵퐷 = 퐶퐸 ， ∴ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸(푆퐴푆)， ∴ 퐴퐷＝퐴퐸； ∵ 퐴퐷＝퐴퐸， ∴ ∠퐴퐷퐸＝∠퐴퐸퐷， ∵ 퐵퐹 // 퐴퐶， ∴ ∠퐹퐷퐵＝∠퐶＝45∘， ∵ ∠퐴퐵퐶＝∠퐶＝∠퐷퐴퐸＝45∘，∠퐵퐷퐹＝∠퐴퐷퐸， ∴ ∠퐹＝∠퐵퐷퐹，∠퐵퐸퐴＝∠퐵퐴퐸，∠퐶퐷퐴＝∠퐶퐴퐷， ∴ 满足条件的等腰三角形有：△ 퐴퐵퐸，△ 퐴퐶퐷，△ 퐷퐴퐸，△ 퐷퐵퐹． 25.每个大地球仪52元，每个小地球仪28元； 最多可以购买5个大地球仪 26.∵ 퐴퐷为⊙ 푂的直径，퐴퐷 ⊥ 퐵퐶， ∴ 퐵퐸＝퐸퐶， ∴ 퐴퐵＝퐴퐶， 又∵ 퐴퐷 ⊥ 퐵퐶， 6 / 8 ∴ ∠퐵퐴퐷＝∠퐶퐴퐷， ∵ 푂퐴＝푂퐵， ∴ ∠퐵퐴퐷＝∠퐴퐵푂， ∴ ∠퐵퐴퐷＝∠퐴퐵푂＝∠퐶퐴퐷， ∵ ∠퐵퐹퐶＝∠퐵퐴퐶 + ∠퐴퐵푂， ∴ ∠퐵퐹퐶＝∠퐵퐴퐷 + ∠퐸퐴퐷 + ∠퐴퐵푂＝3∠퐶퐴퐷； 如图2，连接퐴퐺， ∵ 퐴퐷是直径， ∴ ∠퐴퐺퐷＝90∘， ∵ 点퐻是퐷퐺中点， ∴ 퐷퐻＝퐻퐺， 又∵ 퐴푂＝퐷푂， ∴ 푂퐻 // 퐴퐺，퐴퐺＝2푂퐻， ∴ ∠퐴퐺퐷＝∠푂퐻퐷＝90∘， ∵ 퐷퐺 // 퐵퐹， ∴ ∠퐵푂퐸＝∠푂퐷퐻， 又∵ ∠푂퐸퐵＝∠푂퐻퐷＝90∘，퐵푂＝퐷푂， ∴ △ 퐵푂퐸 ≅△ 푂퐷퐻(퐴퐴푆)， ∴ 퐵퐸＝푂퐻； 如图3，过点퐹作퐹푁 ⊥ 퐴퐷，交퐴퐷于푁， 设퐷퐺＝퐷퐸＝2푥， ∴ 퐷퐻＝퐻퐺＝푥， ∵ △ 퐵푂퐸 ≅△ 푂퐷퐻， ∴ 푂퐸＝퐷퐻＝푥， ∴ 푂퐷＝3푥＝푂퐴＝푂퐵， ∴ 퐵퐸 = √푂퐵2 − 푂퐸2 = √9푥2 − 푥2 = 2√2푥， ∵ ∠퐵퐴퐸＝∠퐶퐴퐸， ∴ tan∠퐵퐴퐸＝tan∠퐶퐴퐸 = 퐵퐸 퐴퐸 = 푁퐹 퐴푁 ， ∴ 2√2푥 4푥 = 푁퐹 퐴푁 ， ∴ 퐴푁 = √2푁퐹， ∵ ∠퐵푂퐸＝∠푁푂퐹， ∴ tan∠퐵푂퐸＝tan∠푁푂퐹 = 퐵퐸 푂퐸 = 푁퐹 푂푁 ， ∴ 2√2푥 푥 = 푁퐹 푂푁 ， ∴ 푂푁 = √2 4 푁퐹， ∴ 퐴푂＝퐴푁 + 푂푁 = 5√2 4 푁퐹， ∵ △ 퐴푂퐹的面积为9√2 5 ， ∴ 1 2 × 퐴푂 × 푁퐹 = 1 2 × 5√2 4 푁퐹2 = 9√2 5 ， ∴ 푁퐹 = 6√2 5 ， ∴ 퐴푂 = 5√2 4 푁퐹＝3＝3푥， ∴ 푥＝1， ∴ 퐵퐸＝2√2 = 푂퐻，퐴퐸＝4，퐷퐺＝퐷퐸＝2， ∴ 퐴퐶 = √퐴퐸2 + 퐶퐸2 = √16 + 8 = 2√6， 如图3，连接퐴퐺，过点퐴作퐴푀 ⊥ 퐶퐺，交퐺퐶的延长线于푀， 由（1）可知：퐴퐺＝2푂퐻＝4√2， ∵ 四边形퐴퐷퐺퐶是圆内接四边形， 7 / 8 ∴ ∠퐴퐶푀＝∠퐴퐷퐺， 又∵ ∠퐴푀퐶＝∠퐴퐺퐷＝90∘， ∴ △ 퐴퐶푀 ∽△ 퐴퐷퐺， ∴ 퐴퐷 퐴퐶 = 퐴퐺 퐴푀 = 퐷퐺 퐶푀 ， ∴ 6 2√6 = 4√2 퐴푀 = 2 퐶푀 ， ∴ 퐶푀 = 2√6 3 ，퐴푀 = 8√3 3 ， ∴ 퐺푀 = √퐴퐺2 − 퐴푀2 = √32 − 64 3 = 4√6 3 ， ∴ 퐶퐺＝퐺푀 − 퐶푀 = 2√6 3 ． 27.∵ 퐶푀 ⊥ 푦轴，푂푀＝9， ∴ 푦＝9时，9 = 3 4 푥，解得푥＝12， ∴ 퐶(12,  9)， ∵ 퐴퐶 ⊥ 푥轴， ∴ 퐴(12,  0)， ∵ 푂퐴＝푂퐵， ∴ 퐵(0, −12)， 设直线퐴퐵的解析式为푦＝푘푥 + 푏，则有{ 푏 = −12 12푘 + 푏 = 0 ， 解得{ 푘 = 1 푏 = −12 ， ∴ 直线퐴퐵的解析式为푦＝푥 − 12． 如图2中， ∵ ∠퐶푀푂＝∠푀푂퐴＝∠푂퐴퐶＝90∘， ∴ 四边形푂퐴퐶푀是矩形， ∴ 퐴푂＝퐶푀＝12， ∵ 푁퐶＝푂푀＝9， ∴ 푀푁＝퐶푀 − 푁퐶＝12 − 9＝3， ∴ 푁(3,  9)， ∴ 直线푂푁的解析式为푦＝3푥，设点퐸的横坐标为4푎，则퐷(4푎,  0)， ∴ 푂퐷＝4푎， 把푥＝4푎，代入푦 = 3 4 푥中，得到푦＝3푎， ∴ 퐸(4푎,  3푎)， ∴ 퐷퐸＝3푎， 把푥＝4푎代入，푦＝3푥中，得到푦＝12푎， ∴ 푃(4푎,  12푎)， ∴ 푃퐷＝12푎， ∴ 푃퐸＝푃퐷 − 퐷퐸＝12푎 − 3푎＝9푎， ∴ 푃퐸 푂퐷 = 9 4 ． 如图3中，设直线퐹퐺交퐶퐴的延长线于푅，交푦轴于푆，过点퐹作퐹푇 ⊥ 푂퐴于푇． 8 / 8 ∵ 퐺퐹 // 푥轴， ∴ ∠푂푆푅＝∠푀푂퐴＝90∘，∠퐶퐴푂＝∠푅＝90∘，∠퐵푂퐴＝∠퐵푆퐺＝90∘， ∠푂퐴퐵＝∠퐴퐹푅， ∴ ∠푂퐹푅＝∠푅＝∠퐴푂푆＝∠퐵푆퐺＝90∘， ∴ 四边形푂푆푅퐴是矩形， ∴ 푂푆＝퐴푅， 퐴푅＝푂퐴＝12， ∵ 푂퐴＝푂퐵， ∴ ∠푂퐵퐴＝∠푂퐴퐵＝45∘， ∴ ∠퐹퐴푅＝90∘ − 45∘＝45∘， ∴ ∠퐹퐴푅＝∠퐴퐹푅， ∴ 퐹푅＝퐴푅＝푂푆， ∵ 푂퐹 ⊥ 퐹푄， ∴ ∠푂푆푅＝∠푅＝∠푂퐹푄＝90∘， ∴ ∠푂퐹푆 + ∠푄퐹푅＝90∘， ∵ ∠푄퐹푅 + ∠퐹푄푅＝90∘， ∴ ∠푂퐹푆＝∠퐹푄푅， ∴ △ 푂퐹푆 ≅△ 퐹푄푅(퐴퐴푆)， ∴ 푆퐹＝푄푅， ∵ ∠푆퐹퐵＝∠퐴퐹푅＝45∘， ∴ ∠푆퐵퐹＝∠푆퐹퐵＝45∘， ∴ 푆퐹＝푆퐵＝푄푅， ∵ ∠푆퐺퐵＝∠푄퐺푅，∠퐵푆퐺＝∠푅， ∴ △ 퐵푆퐺 ≅△ 푄푅퐺(퐴퐴푆)， ∴ 푆퐺＝퐺푅＝6， 设퐹푅＝푚，则퐴푅＝푚，퐴퐹 = √2푚，푄푅＝푆퐹＝12 − 푚， ∵ 퐺푄 − 퐹퐺 = √2퐴퐹， ∴ 퐺푄 = √2 × √2푚 + 6 − 푚＝푚 + 6， ∵ 퐺푄2＝퐺푅2 + 푄푅2， ∴ (푚 + 6)2＝62 + (12 − 푚)2， 解得푚＝4， ∴ 퐹푆＝8，퐴푅＝4， ∵ ∠푂퐴퐵＝∠퐹퐴푅，퐹푇 ⊥ 푂퐴，퐹푅 ⊥ 퐴푅， ∴ 퐹푇＝퐹푅＝퐴푅＝4，∠푂푇퐹＝90∘， ∴ 四边形푂푆퐹푇是矩形， ∴ 푂푇＝푆퐹＝8， ∵ ∠퐷퐻퐸＝∠퐷푃퐻， ∴ tan∠퐷퐻퐸＝tan∠퐷푃퐻， ∴ 퐷퐸 퐷퐻 = 퐷퐻 푃퐷 ， 由（2）可知퐷퐸＝3푎，푃퐷＝12푎， ∴ 3푎 퐷퐻 = 퐷퐻 12푎 ， ∴ 퐷퐻＝6푎， ∴ tan∠푃퐻퐷 = 푃퐷 퐷퐻 = 12푎 6푎 = 2， ∵ ∠푃퐻퐷＝∠퐹퐻푇， ∴ tan∠퐹퐻푇 = 푇퐹 퐻푇 = 2， ∴ 퐻푇＝2， ∵ 푂푇＝푂퐷 + 퐷퐻 + 퐻푇， ∴ 4푎 + 6푎 + 2＝8， ∴ 푎 = 3 5 ， ∴ 푂퐷 = 12 5 ，푃퐷＝12 × 3 5 = 36 5 ， ∴ 푃(12 5 , 36 5 )．