部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题一及答案

部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题一及答案

‎2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(一)‎ ‎24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ C P D O B A E ‎【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；‎ F C P D O B A E H G ‎（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；‎ ‎（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以 ‎，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．‎ ‎【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．‎ F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．‎ 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．‎ ‎（2）∠ACB是定值.‎ 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，‎ 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，‎ 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；‎ ‎（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．‎ ‎∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.‎ ‎∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．‎ 又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，‎ ‎∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，‎ ‎∴△ABC的周长为．‎ ‎ 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 ‎【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题 ‎25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B‎1C1，试探究OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O ‎【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； ‎ ‎（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．‎ ‎【答案】（1）由题意得B（3，1）．‎ 若直线经过点A（3，0）时，则b＝‎ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝‎ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，‎ 图1‎ ‎ 此时E（2b，0）‎ ‎∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2‎ 图2‎ 此时E（3，），D（2b－2，1）‎ ‎∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )‎ ‎＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝‎ ‎∴‎ ‎（2）如图3，设O‎1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！‎ 图3‎ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．‎ 过点D作DH⊥OA，垂足为H，‎ 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，‎ 设菱形DNEM 的边长为a，‎ 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴‎ ‎∴S四边形DNEM＝NE·DH＝‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ ‎ 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理 ‎【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．‎ ‎26、(宁波市)如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。‎ ‎（1）求的度数;‎ ‎（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。‎ ‎①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;‎ y x C D A O B E G F ‎（图1）‎ x C D A O B E G H F y ‎（图2）‎ x C D A O B E y ‎（图3）‎ ‎②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。‎ 解：（1）‎ ‎ （2）（2，）‎ ‎ （3）①略 ‎ ②过点E作EM⊥直线CD于点M ‎∵CD∥AB x C D A O B E y ‎（图3）‎ Ｍ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎∴即 当点H在点G的右侧时，设，‎ ‎∴‎ 解：‎ ‎∴点F的坐标为（，0）‎ 当点H在点Ｇ的左侧时，设，‎ ‎∴‎ 解：，（舍）‎ ‎∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴点Ｆ的坐标为（，0）‎ 综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）‎ ‎26．(重庆市)已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.‎ ‎（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；‎ ‎（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．‎ 解：（1）过点作于点．（如图①）‎ ‎∵，，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵，， ∴．‎ ‎ 在Rt中，． （1分）‎ ‎ （ⅰ）当时，,,；‎ 过点作于点．（如图①）‎ ‎ 在Rt中，∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎ 即 ． （3分）‎ ‎26题答图②‎ ‎ （ⅱ）当时，（如图②）‎ ‎，．‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∴．‎ 即．‎ 故当时，，当时，． （5分）‎ ‎（2）或或或． （9分）‎ ‎（3）的周长不发生变化．‎ ‎26题答图③‎ 延长至点，使，连结．（如图③）‎ ‎∵，‎ ‎∴≌．‎ ‎∴，．…（10分）‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ 又∵．‎ ‎ ∴≌．∴． （11分）‎ ‎∴．‎ ‎∴的周长不变，其周长为4． （12分）‎ ‎24．(义乌市卷)如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O‎1A1B‎1C1．设梯形O‎1A1B‎1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；‎ 图2‎ O1‎ A1‎ O y x B1‎ C1‎ D M C B A O y x 图1‎ D M ‎（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）对称轴：直线……………………………………………………..… 1分 解析式：或……………………………….2分 ‎ 顶点坐标：M（1，）……….…………………………………………..3分 ‎ （2）由题意得 ‎ ‎3……………………………………..1分 得：①…………….………………….……2分 ‎ ‎ 得： ②….………………………………………..………..3分 把②代入①并整理得：(S＞0) (事实上，更确切为S＞6)4分 当时， 解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣 ‎ 分) 把代入抛物线解析式得 ∴点A1（6，3）………5分 ‎（3）存在………………………………………………………………….…..……1分 ‎ 解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的 C B A O y x 图1-1‎ D M E P Q F G 交点E的坐标为 ‎∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t ‎ 当∥时，‎ ‎ 得 ………2分 ‎ 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ‎①当时，如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ ‎ ∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴‎ ‎∴ 得 ∴(舍去)…………………………3分 C B A O y x 图1-2‎ D M E F P Q G ② 当时，如图1-2‎ ‎∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ‎ ∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ‎∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴， ∴‎ ‎ ∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分 ‎ 解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 ‎ , , ‎ ‎ ∴‎ ‎24．（湖州卷）（本小题12分）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；‎ ‎（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．‎ 第24题 B C A x y F O D E ‎ 解：（1）由题意可得A(0，2)， B(2，2)， C(3，0),‎ ‎ 设所求抛物线的解析式为,‎ ‎ 则 解得 . ………………..3分 ‎ ∴ 抛物线的解析式为 . ….……………………..1分 ‎ （2）设抛物线的顶点为G，则.过点G作GH⊥AB，垂足为H，‎ ‎ 则AH=BH=1，GH=.‎ ‎ ∵ EA⊥AB, GH⊥AB, ∴ EA∥GH ,‎ ‎ ∴ GH是△EBA的中位线， ‎ ‎ ∴ . ………………2分 ‎ 过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB.‎ ‎ ∵ ∠EBF=∠ABM=90 º， ∴ ∠EBA=∠FBM=90 º-∠ABF，‎ ‎ ∴ Rt△EBA≌Rt△FBM ，∴ .‎ ‎ ∵ CM=OC-OM=3-2=1，∴ CF=FM+CM=. …………….2分 ‎ （3）设CF=a，则FM=a-1或1- a，‎ ‎ ∴BF2= FM2+BM2=(a-1)2+22=a2‎-2a+5 .‎ ‎ ∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF. ‎ ‎ 则， ….1分 ‎ 又∵， ……….1分 ‎ ∴，即， ….1分 ‎∴当a=2（在0 PQ时，则点P在线段OC上， ‎ ‎ ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，‎ ‎ ∵CM∥PQ，CM = PQ，‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，‎ 解得： x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时，得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x =时， 得t =–8. ---2分 ‎ ‎28.（兰州市 本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）‎ ‎（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ‎ ‎① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．‎ 图1 第28题图 图2‎ ‎ 解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）‎ 故可得c=0,b=4‎ 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 ‎（2）① 点P不在直线ME上. ‎ 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ，解得 所以直线ME的关系式为y=－2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分 ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=－2x+8. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ‎ ‎∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,－t 2+4t) ………………………6分 ‎∴ AN=－t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN－AP=(－t 2+4 t)－ t=－t 2+3 t=t(3－t)≥0 , ∴ PN=－t 2+3 t ‎ ‎………………………………………………………………………7分 ‎（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3. ‎ ‎（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(－t 2+3 t)]×2=－t 2+3 t+3……………8分 当－t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2………………………………………9分 ‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，‎ 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）‎ ‎28．（盐城市本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．‎ ‎（1）求这个函数关系式；‎ ‎（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；‎ ‎（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．‎ A x y O B ‎1‎ ‎-2‎ ‎1‎ A x y O B P M C Q E D 解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)‎ 当a≠0时，△=1- ‎4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．‎ ‎∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3分）‎ ‎ （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x ‎ 轴于点C．‎ ‎∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：‎ y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 坐标为A（0，1）………（4分）‎ ‎∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ‎ ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ‎ ∴，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）‎ 设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2‎ ‎∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)‎ ‎∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1…………………（6分）‎ 解之得：x1=-2，x2=-10‎ ‎∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）‎ ‎（3）点M不在抛物线上……………………………………………（8分）‎ 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ‎ ‎∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE ‎∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ‎∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE= ‎∴Q点的坐标为(-，)‎ 可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11分）‎ ‎∵=≠ ‎∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）‎ ‎(其它解法，仿此得分)‎