2020年四川省自贡市中考数学试卷(含解析）

2020年四川省自贡市中考数学试卷(含解析）

‎2020年四川省自贡市中考数学试卷 一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）‎ A．40° B．50° C．55° D．60°‎ ‎2．（4分）5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．70×104 B．0.7×107 C．7×105 D．7×106‎ ‎3．（4分）如图所示的几何体的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．1 D．﹣1‎ ‎5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（5，1） C．（2，4） D．（2，﹣2）‎ ‎6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（4分）对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（　　）‎ A．中位数是5 B．众数是7 C．平均数是4 D．方差是3‎ ‎8．（4分）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）‎ A．50° B．70° C．130° D．160°‎ ‎9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．20°‎ ‎10．（4分）函数y‎=‎kx与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第26页（共26页）‎ ‎11．（4分）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）‎ A．‎80(1+35%)‎x‎-‎80‎x=‎40 B．‎80‎‎(1+35%)x‎-‎80‎x=‎40 ‎ C．‎80‎x‎-‎80‎‎(1+35%)x=‎40 D．‎80‎x‎-‎80(1+35%)‎x=‎40‎ ‎12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB‎=‎‎6‎，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）‎ A．2 B．‎5‎ C．‎3‎‎2‎‎2‎ D．‎‎3‎‎3‎‎2‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝　 　．‎ ‎14．（4分）与‎14‎‎-‎2最接近的自然数是　 　．‎ ‎15．（4分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：　 　．‎ ‎①绘制扇形图；‎ ‎②收集最受学生欢迎菜品的数据；‎ ‎③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；‎ ‎④整理所收集的数据．‎ ‎16．（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　 　米（结果保留根号）．‎ ‎17．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE 第26页（共26页）‎ 翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为　 　．‎ ‎18．（4分）如图，直线y‎=-‎‎3‎x+b与y轴交于点A，与双曲线y‎=‎kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　 　，前25个等边三角形的周长之和为　 　．‎ 三、解答题（共8个题，共78分）‎ ‎19．（8分）计算：|﹣2|﹣（‎5‎‎+‎π）0+（‎-‎‎1‎‎6‎）﹣1．‎ ‎20．（8分）先化简，再求值：x+1‎x‎2‎‎-4‎•（‎1‎x+1‎‎+‎1），其中x是不等式组x+1≥0‎‎5-2x＞3‎的整数解．‎ ‎21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．‎ 求证：AE＝BF．‎ 第26页（共26页）‎ ‎22．（8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．‎ ‎（1）本次调查的学生人数是　 　人，m＝　 　；‎ ‎（2）请补全条形统计图；‎ ‎（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　 　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　 　．‎ ‎23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．‎ ‎（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？‎ ‎24．（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．‎ 第26页（共26页）‎ ‎（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？‎ ‎（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．‎ ‎∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，‎ ‎∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．‎ ‎∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．‎ ‎（3）解决问题：‎ ‎①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　 　；‎ ‎②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；‎ ‎③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．‎ ‎25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC‎=‎‎2‎AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．‎ ‎（1）证明：AF‎=‎CF；‎ ‎（2）若tan∠ABC＝2‎2‎，证明：PA是⊙O的切线；‎ ‎（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．‎ ‎26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：‎ ‎①求PD+PC的最小值；‎ ‎②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ‎+‎‎1‎‎4‎OQ的最小值．‎ 第26页（共26页）‎ 第26页（共26页）‎ ‎2020年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）‎ A．40° B．50° C．55° D．60°‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠3＝∠1＝50°，‎ ‎∴∠2＝∠3＝50°；‎ 故选：B．‎ ‎2．（4分）5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．70×104 B．0.7×107 C．7×105 D．7×106‎ ‎【解答】解：700000用科学记数法表示为7×105，‎ 故选：C．‎ ‎3．（4分）如图所示的几何体的左视图是（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．‎ 故选：B．‎ ‎4．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．1 D．﹣1‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，‎ ‎∴a≠0‎‎△=(-2‎)‎‎2‎-4×a×2=0‎，‎ ‎∴a‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 故选：A．‎ ‎5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（5，1） C．（2，4） D．（2，﹣2）‎ ‎【解答】解：将点P（2，1）向下平移3个单位长度所得点的坐标为（2，1﹣3）即（2，﹣2）；‎ 故选：D．‎ ‎6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．‎ 第26页（共26页）‎ 故选：A．‎ ‎7．（4分）对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（　　）‎ A．中位数是5 B．众数是7 C．平均数是4 D．方差是3‎ ‎【解答】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；‎ B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；‎ C、平均数是：（3+7+5+3+2）÷5＝4，故本选项正确；‎ D、方差是：‎1‎‎5‎[2×（3﹣4）2+（7﹣4）2+（5﹣4）2+（2﹣4）2]＝3.2，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎8．（4分）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）‎ A．50° B．70° C．130° D．160°‎ ‎【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得 x＝2（180﹣x）+30，‎ 解得：x＝130．‎ 即这个角的度数为130°．‎ 故选：C．‎ ‎9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．20°‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，‎ ‎∴∠B＝40°，‎ ‎∵BC＝BD，‎ ‎∴∠BCD＝∠BDC‎=‎‎1‎‎2‎（180°﹣40°）＝70°，‎ ‎∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，‎ 第26页（共26页）‎ 故选：D．‎ ‎10．（4分）函数y‎=‎kx与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，‎ 根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，‎ ‎∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，‎ 故选：D．‎ ‎11．（4分）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）‎ A．‎80(1+35%)‎x‎-‎80‎x=‎40 B．‎80‎‎(1+35%)x‎-‎80‎x=‎40 ‎ C．‎80‎x‎-‎80‎‎(1+35%)x=‎40 D．‎80‎x‎-‎80(1+35%)‎x=‎40‎ ‎【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为x‎1+35%‎万平方米，‎ 依题意，得：‎80‎x‎1+35%‎‎-‎80‎x=‎40，‎ 即‎80(1+35%)‎x‎-‎80‎x=‎40．‎ 故选：A．‎ 第26页（共26页）‎ ‎12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB‎=‎‎6‎，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）‎ A．2 B．‎5‎ C．‎3‎‎2‎‎2‎ D．‎‎3‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DQ∥BC，‎ ‎∴∠Q＝∠BEF，‎ ‎∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，‎ ‎∴△QFA≌△EFB（AAS），‎ ‎∴AQ＝BE＝x，‎ ‎∵∠EFD＝90°，‎ ‎∴DF⊥QE，‎ ‎∴DQ＝DE＝x+2，‎ ‎∵AE⊥BC，BC∥AD，‎ ‎∴AE⊥AD，‎ ‎∴∠AEB＝∠EAD＝90°，‎ ‎∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，‎ ‎∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，‎ 整理得：2x2+4x﹣6＝0，‎ 解得x＝1或﹣3（舍弃），‎ ‎∴BE＝1，‎ ‎∴AE‎=AB‎2‎-BE‎2‎=‎6-1‎=‎‎5‎，‎ 第26页（共26页）‎ 故选：B．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝　3（a﹣b）2　．‎ ‎【解答】解：3a2﹣6ab+3b2‎ ‎＝3（a2﹣2ab+b2）‎ ‎＝3（a﹣b）2．‎ 故答案为：3（a﹣b）2．‎ ‎14．（4分）与‎14‎‎-‎2最接近的自然数是　2　．‎ ‎【解答】解：∵3.5‎＜‎14‎＜‎4，‎ ‎∴1.5‎＜‎14‎-‎2＜2，‎ ‎∴与‎14‎‎-‎2最接近的自然数是2．‎ 故答案为：2．‎ ‎15．（4分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：　②④①③　．‎ ‎①绘制扇形图；‎ ‎②收集最受学生欢迎菜品的数据；‎ ‎③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；‎ ‎④整理所收集的数据．‎ ‎【解答】解：②收集最受学生欢迎菜品的数据；‎ ‎④整理所收集的数据；‎ ‎①绘制扇形图；‎ ‎③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；‎ 故答案为：②④①③．‎ ‎16．（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　6‎2‎　米（结果保留根号）．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．‎ ‎∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，‎ ‎∴DE＝CF，‎ 在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3‎2‎（米），‎ ‎∴DE＝CF＝3‎2‎（米），‎ 在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，‎ ‎∴AD＝2DE＝6‎2‎（米），‎ 故答案为6‎2‎．‎ ‎17．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为　‎2‎‎3‎‎9‎　．‎ ‎【解答】解：连接OG，‎ ‎∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，‎ ‎∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，‎ ‎∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴∠FDC＝30°，‎ ‎∴∠DFC＝60°，‎ ‎∵⊙O与CD相切于点G，‎ ‎∴OG⊥CD，‎ ‎∵BC⊥CD，‎ ‎∴OG∥BC，‎ ‎∴△DOG∽△DFC，‎ ‎∴DODF‎=‎OGFC，‎ 设OG＝OF＝x，则‎4-x‎4‎‎=‎x‎2‎，‎ 解得：x‎=‎‎4‎‎3‎，即⊙O的半径是‎4‎‎3‎．‎ 连接OQ，作OH⊥FQ，‎ ‎∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，‎ ‎∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；‎ ‎∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH‎=‎‎3‎‎2‎OQ‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎，S扇形OGQ＝S扇形OQF，‎ ‎∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）+（S扇形OQF﹣S△OFQ）‎ ‎＝S矩形OGCH‎-‎‎3‎‎2‎S△OFQ‎=‎4‎‎3‎×‎2‎‎3‎‎3‎-‎‎3‎‎2‎（‎1‎‎2‎‎×‎4‎‎3‎×‎‎2‎‎3‎‎3‎）‎=‎‎2‎‎3‎‎9‎．‎ 故答案为：‎2‎‎3‎‎9‎．‎ ‎18．（4分）如图，直线y‎=-‎‎3‎x+b与y轴交于点A，与双曲线y‎=‎kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　4‎3‎　，前25个等边三角形的周长之和为　60　．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：设直线y‎=-‎‎3‎x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．‎ ‎∵y‎=-‎‎3‎x+b，‎ ‎∴当y＝0时，x‎=‎‎3‎‎3‎b，即点D的坐标为（‎3‎‎3‎b，0），‎ 当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），‎ ‎∴OA＝﹣b，OD‎=-‎‎3‎‎3‎b．‎ ‎∵在Rt△AOD中，tan∠ADO‎=OAOD=‎‎3‎，‎ ‎∴∠ADO＝60°．‎ ‎∵直线y‎=-‎‎3‎x+b与双曲线y‎=‎kx在第三象限交于B、C两点，‎ ‎∴‎-‎‎3‎x+b‎=‎kx，‎ 整理得，‎-‎‎3‎x2+bx﹣k＝0，‎ 由韦达定理得：x1x2‎=‎‎3‎‎3‎k，即EB•FC‎=‎‎3‎‎3‎k，‎ ‎∵EBAB‎=‎cos60°‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴AB＝2EB，‎ 同理可得：AC＝2FC，‎ ‎∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎k＝16，‎ 解得：k＝4‎3‎．‎ 由题意可以假设D1（m，m‎3‎），‎ ‎∴m2•‎3‎‎=‎4‎3‎，‎ ‎∴m＝2‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，‎ 设D2（4+n，‎3‎n），‎ ‎∵（4+n）•‎3‎n＝4‎3‎，‎ 解得n＝2‎2‎‎-‎2，‎ ‎∴E1E2＝4‎2‎‎-‎4，即第二个三角形的周长为12‎2‎‎-‎12，‎ 设D3（4‎2‎‎+‎a，‎3‎a），‎ 由题意（4‎2‎‎+‎a）•‎3‎a＝4‎3‎，‎ 解得a＝2‎3‎‎-‎2‎2‎，即第三个三角形的周长为12‎3‎‎-‎12‎2‎，‎ ‎…，‎ ‎∴第四个三角形的周长为12‎4‎‎-‎12‎3‎，‎ ‎∴前25个等边三角形的周长之和12+12‎2‎‎-‎12+12‎3‎‎-‎12‎2‎‎+‎12‎4‎‎-‎12‎3‎‎+⋯+‎12‎25‎‎-‎12‎24‎‎=‎12‎25‎‎=‎60，‎ 故答案为4‎3‎，60．‎ 三、解答题（共8个题，共78分）‎ ‎19．（8分）计算：|﹣2|﹣（‎5‎‎+‎π）0+（‎-‎‎1‎‎6‎）﹣1．‎ ‎【解答】解：原式＝2﹣1+（﹣6）‎ ‎＝1+（﹣6）‎ ‎＝﹣5．‎ ‎20．（8分）先化简，再求值：x+1‎x‎2‎‎-4‎•（‎1‎x+1‎‎+‎1），其中x是不等式组x+1≥0‎‎5-2x＞3‎的整数解．‎ ‎【解答】解：x+1‎x‎2‎‎-4‎•（‎1‎x+1‎‎+‎1）‎ 第26页（共26页）‎ ‎=x+1‎‎(x+2)(x-2)‎⋅‎‎1+x+1‎x+1‎‎ ‎ ‎=‎x+2‎‎(x+2)(x-2)‎‎ ‎ ‎=‎‎1‎x-2‎‎，‎ 由不等式组x+1≥0‎‎5-2x＞3‎，得﹣1≤x＜1，‎ ‎∵x是不等式组x+1≥0‎‎5-2x＞3‎的整数解，‎ ‎∴x＝﹣1，0，‎ ‎∵当x＝﹣1时，原分式无意义，‎ ‎∴x＝0，‎ 当x＝0时，原式‎=‎1‎‎0-2‎=-‎‎1‎‎2‎．‎ ‎21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．‎ 求证：AE＝BF．‎ ‎【解答】解：在正方形ABCD中，‎ AB＝CD＝CD＝AD，‎ ‎∵CE＝DF，‎ ‎∴BE＝CF，‎ 在△AEB与△BFC中，‎ AB=BC‎∠ABE=∠BCFBE=CF‎，‎ ‎∴△AEB≌△BFC（SAS），‎ ‎∴AE＝BF．‎ ‎22．（8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，‎ 第26页（共26页）‎ B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．‎ ‎（1）本次调查的学生人数是　60　人，m＝　30　；‎ ‎（2）请补全条形统计图；‎ ‎（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　‎1‎‎4‎　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　‎1‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），‎18‎‎60‎‎×‎100%＝30%，‎ 则m＝30；‎ 故答案为：60，30；‎ ‎（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：‎ ‎（3）如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即（星期一，星期二）、（星期二，星期三）、（星期三，星期四）、（星期四，星期五），‎ 其中有一天是星期一的概率是‎1‎‎4‎；‎ 小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：‎ 第26页（共26页）‎ 共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，‎ ‎∴其中有一天是星期三的概率为‎6‎‎12‎‎=‎‎1‎‎2‎；‎ 故答案为：‎1‎‎4‎，‎1‎‎2‎．‎ ‎23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．‎ ‎（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，‎ y甲＝0.9x，‎ 当0≤x≤100时，y乙＝x，‎ 当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，‎ 由上可得，y乙‎=‎x‎(0≤x≤100)‎‎0.8x+20‎‎(x＞100)‎；‎ ‎（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；‎ 当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；‎ 当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．‎ ‎24．（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．‎ ‎（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？‎ ‎（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．‎ ‎∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．‎ ‎∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．‎ ‎（3）解决问题：‎ ‎①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　6　；‎ ‎②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；‎ ‎③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．‎ ‎【解答】解：（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？‎ ‎（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．‎ ‎∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，‎ ‎∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．‎ ‎∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．‎ ‎（3）解决问题：‎ ‎①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；‎ 故答案为：6；‎ ‎②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＞4的x范围为x＜﹣3或x＞1；‎ ‎③当a为﹣1或﹣5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．‎ ‎25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC‎=‎‎2‎AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．‎ ‎（1）证明：AF‎=‎CF；‎ ‎（2）若tan∠ABC＝2‎2‎，证明：PA是⊙O的切线；‎ ‎（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC．‎ ‎∵PC＝PA，OC＝OA，‎ ‎∴OP垂直平分线段AC，‎ ‎∴AF‎=‎CF．‎ ‎（2）证明：设BC＝a，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵tan∠ABC‎=ACBC=‎2‎2‎，‎ ‎∴AC＝2‎2‎a，AB‎=BC‎2‎+AC‎2‎=a‎2‎‎+(2‎2‎a‎)‎‎2‎=‎3a，‎ ‎∴OC＝OA＝OB‎=‎‎3a‎2‎，CD＝AD‎=‎‎2‎a，‎ ‎∵PA＝PC‎=‎‎2‎AB，‎ ‎∴PA＝PC＝3‎2‎a，‎ ‎∵∠PDC＝90°，‎ ‎∴PD‎=PC‎2‎-CD‎2‎=‎18a‎2‎-2‎a‎2‎=‎4a，‎ ‎∵DC＝DA，AO＝OB，‎ ‎∴OD‎=‎‎1‎‎2‎BC‎=‎‎1‎‎2‎a，‎ ‎∴AD2＝PD•OD，‎ ‎∴ADPD‎=‎ODAD，‎ ‎∵∠ADP＝∠ADO＝90°，‎ ‎∴△ADP∽△ODA，‎ ‎∴∠PAD＝∠DOA，‎ ‎∵∠DOA+∠DAO＝90°，‎ ‎∴∠PAD+∠DAO＝90°，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴∠PAO＝90°，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴PA是⊙O的切线．‎ ‎（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．‎ ‎∵BC＝2，‎ 由（1）可知，PA＝6‎2‎，AB＝6，‎ ‎∵∠PAB＝90°，‎ ‎∴PB‎=PA‎2‎+AB‎2‎=‎72+36‎=‎6‎3‎，‎ ‎∵PA2＝PE•PB，‎ ‎∴PE‎=‎72‎‎6‎‎3‎=‎4‎3‎，‎ ‎∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴四边形CDKB是矩形，‎ ‎∴CD＝BK＝2‎2‎，BC＝DK＝2，‎ ‎∵PD＝8，‎ ‎∴PK＝10，‎ ‎∵EJ∥BK，‎ ‎∴PEPB‎=EJBK=‎PJPK，‎ ‎∴‎4‎‎3‎‎6‎‎3‎‎=EJ‎2‎‎2‎=‎PJ‎10‎，‎ ‎∴EJ‎=‎‎4‎‎2‎‎3‎，PJ‎=‎‎20‎‎3‎，‎ ‎∴DJ＝PD﹣PJ＝8‎-‎20‎‎3‎=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴DE‎=EJ‎2‎+DJ‎2‎=‎(‎4‎‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎+(‎‎4‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎．‎ ‎26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．‎ 第26页（共26页）‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：‎ ‎①求PD+PC的最小值；‎ ‎②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ‎+‎‎1‎‎4‎OQ的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，‎ 即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），‎ 则tan∠MAC‎=MCAC=‎2，‎ 则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，‎ 将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，‎ 故直线AM的表达式为：y＝2x+6，‎ ‎∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，‎ ‎∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF‎=‎‎5‎‎5‎，‎ 设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），‎ 则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）‎×‎5‎‎5‎=‎‎5‎‎5‎（﹣x2﹣4x﹣3），‎ ‎∵‎-‎5‎‎5‎＜‎0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；‎ ‎①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P 第26页（共26页）‎ 为所求点，‎ PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，‎ 则BD‎=‎(1+2‎)‎‎2‎+(0-2‎‎)‎‎2‎=‎‎13‎；‎ ‎②过点O作直线OK，使sin∠NOK‎=‎‎1‎‎4‎，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，‎ DQ‎+‎‎1‎‎4‎OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，‎ 则直线OK的表达式为：y‎=‎‎15‎x，‎ ‎∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y‎=-‎‎1‎‎15‎x+b，‎ 将点D的坐标代入上式并解得：b＝2‎-‎‎2‎‎15‎，‎ 则直线DK的表达式为：y‎=-‎‎1‎‎15‎x+2‎-‎‎2‎‎15‎，‎ 故点Q（0，2‎-‎‎2‎‎15‎），‎ 由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为‎1‎‎15‎，则cosα‎=‎‎15‎‎4‎，‎ 第26页（共26页）‎ 则DQ‎=xQ‎-‎xDcosα=‎2‎‎15‎‎4‎=‎‎8‎‎15‎，而‎1‎‎4‎OQ‎=‎‎1‎‎4‎（2‎-‎‎2‎‎15‎），‎ 则DQ‎+‎‎1‎‎4‎OQ为最小值‎=‎8‎‎15‎+‎‎1‎‎4‎（2‎-‎‎2‎‎15‎）‎=‎‎15‎‎+1‎‎2‎．‎ 第26页（共26页）‎