南京中考数学试题选编

南京中考数学试题选编

‎2010南京中考数学试题选编 ‎6．（2010江苏南京，6，2分）如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（ ）‎ ‎【分析】由生活经验知：当小亮走到路灯的正下方时，此时影长为0，因此可排除选项C、D；在确定答案是选项A或B上感觉不好下手．设小亮身高为a，路灯C到路面的距离为h，点A到路灯正下方的距离为b，如图，由中心投影得，整理得，因此答案为A．‎ ‎【答案】A ‎ 【涉及知识点】函数的图象、中心投影 ‎【点评】本题考查函数的图象函数的图象、中心投影，解决此类问题的关键是抓住横轴与纵轴的意义．由于此类问题抽象性较强，因此经常出现在各地中考试卷选择题的最后一题，具有一定的区分度．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎14．（2010江苏南京，14，2分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点．若两圆的半径分别为‎3cm和‎5cm，则AB的长为_____cm．‎ ‎【分析】连接OA、OC，由切线的意义知△OAC为直角三角形，再由勾股定理得OA2=OC2+AC2，即52=32+AC2，所以AC=4，再由垂径定理得AB=‎2AC=8．‎ ‎【答案】8‎ ‎ 【涉及知识点】圆的切线的性质、勾股定理、垂径定理 ‎【点评】本题综合考查圆的切线的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，解决此类问题的关键是连接半径建立直角三角形，运用勾股定理模型建立方程．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎18．（2010江苏南京，18，6分）计算．‎ ‎【答案】==‎ ‎==．‎ ‎【点评】本题考查分式的化简，该知识点是各地中考必考之一，常见考查形式为化简或化简求值，解决此类问题时要注意熟练运用通分与约分的技巧．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎19．（2010江苏南京，19，6分）为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计，统计结果如图所示．‎ ‎（1）若西瓜、苹果和香蕉的售价分别为6元/千克、8元/千克和3元/千克，则这7天销售额最大的水果品种是（ ）；‎ A．西瓜 B．苹果 C．香蕉 ‎（2）估计一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果多少千克？‎ ‎【分析】（1）由“销售额=售价×数量”得西瓜的销售额为250×6=1500元，苹果的销售额为140×8=1120元，西瓜的销售额为400×3=1200元，因此西瓜的销售最大；（2）观察图形知该水果店7天销售的苹果为‎140千克，平均每天为‎20千克，因此一个月可销售苹果大约为20×30=‎600千克．‎ ‎【答案】（1）A；‎ ‎（2）140÷7×30=600（千克）．‎ 答：估计一个月该水果店可销售苹果‎600千克．‎ ‎【点评】统计图表是近年来各地中考必考知识点之一，考查学生统计意识和统计技能．问题（1）中求解中部分学生常因审题不清，出现误选C的情况．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎20．（2010江苏南京，20，7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BC为‎10m，测角仪的高度CD为‎1.5m，测得树顶A的仰角为33°．求树的高度AB．‎ ‎（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）‎ ‎【分析】观察图形发现可过点D作DE⊥AB，构造直角三角形ADE，由tan∠ADE=得AE=DE·tan∠ADE≈10×0.65=6.5，因此AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=‎8m．‎ ‎【答案】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E．‎ 在Rt△ADE中，DE=BC=10，∠ADE=33°，tan∠ADE=，‎ ‎∴AE=DE·tan∠ADE≈10×0.65=6.5，‎ ‎∴AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8（m）．‎ 答：树的高度AB约为‎8 m．‎ ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，此类问题的一般解法是通过添加辅导线构造直角三角形进行求解，问题难度一般不大．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎24．（2010江苏南京，24，8分）甲车从A地出发以‎60km/h的速度沿公路匀速行驶，0.5h后，乙车也从A地出发，以‎80km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发几小时追上甲车．‎ ‎ 请建立一次函数关系解决上述问题．‎ ‎【分析】乙车出发几小时追上甲车是指两车行驶路程相等或在平面直角坐标系两条直线交点的意义，因此设乙车出发xh后，甲、乙两车离A地的路程分别是y‎1km、y‎2km，得y1=60x+30，y2=80x．当乙车追上甲车时，y1= y2，即60x+30=80x．解得x=1.5h．‎ ‎【答案】本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 设乙车出发xh后，甲、乙两车离A地的路程分别是y‎1km、y‎2km．‎ 根据题意，得y1=60（x+0.5）=60x+30，y2=80x．‎ 当乙车追上甲车时，y1= y2，即60x+30=80x．‎ 解这个方程得x=1.5（h）．‎ 答：乙车出发1.5h追上甲车．‎ ‎【点评】近年来，南京市中考数学试卷加大了对一次函数知识点的考查，09省统考除外，06、07、08年各命制一道解答题（其中08年命制一道压轴题），通过分析可以看出该知识点考查的内容主要是函数关系的建立、函数图象与函数的应用，难度在中等或中等稍难以上．解决此类问题的一般方法是根据问题建立函数关系式，进而运用图象或根据实际意义求解．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎ ‎26．（2010江苏南京，26，8分）学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．‎ ‎（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”；‎ ‎（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．‎ 已知：如图，_____．‎ 试说明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．‎ ‎【分析】（1）我们知道：两个三角形只要满足两个角对应相等，则这两个三角形相似．由于两个直角三角形的中的直角相等是问题的隐含条件，因此只需再有一个锐角对应相等即可判定它们相似．类比“两直角边对应相等，两个直角三角形全等”可知“两直角对应成比例时” 两个直角三角形相似；（2）HL是判定两个直角三角形全等的特殊方法，类比全等可得：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．说理时可从全等是相似的特例入手，利用参数法，设两个直角三角形对应边的比值为k，进而转化为三角形相似的判定条件获解．‎ ‎【答案】（1）一个锐角对应相等，两直角对应成比例；‎ ‎ （2）斜边和一条直角边对应成比例．‎ 在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/=90°，．‎ 解法一：设=k，则AB= k A/B/，AC= k A/C/．‎ 在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．‎ 解法二：如图，假设AB＞A/B/，在AB上截取AB//= A/B/，过点B//作B//C//⊥AC，垂足为C//．‎ ‎∵∠C=∠AC//B//，∴BC∥B//C//，∴Rt△ABC∽Rt△A/B//C//，．‎ ‎∵AB//= A/B/，∴．‎ 又∵，∴，∴AC//=A/C/．‎ ‎∵AB//= A/B/，∠C=∠AC//B//=90°，‎ ‎∴Rt△AB//C//≌Rt△A/B/C/，∴Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．‎ ‎【点评】本题从教材中的直角三角形全等为背景，利用全等是相似的特例进行类比构造问题，根在教材，根在课堂，考在思想，考在方法，是一首难得的好题．解决此类问题通常需要认真阅读问题，在此基础上运用类比思想，结合相关知识进行求解．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎27．（2010江苏南京，27，8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．‎ ‎（1）填表（不需要化简）‎ ‎（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？‎ ‎【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为（80-x），销售量为（200+10 x）件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800-200-（200+10x）；（2）我们销售额-成本=利润，由“获利9000元”建立方程得80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-‎ ‎（200+10x）] -50×800=9000，化简后求解．‎ ‎【答案】（1）80-x，200+10x，800-200-（200+10x）；‎ ‎（2）根据题意，得 ‎80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000．‎ 整理，得x2-20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，‎ 当x=10时，80-x=70＞50．‎ 答：第二个月的单价应是70元．‎ ‎【点评】一元二次方程是中考中的高频考点，特别是各地命题组结合地方特色或时事或现实生活背景命制一大批新颖的试题，本题就是一道现实生活背景应用题．由于本题要分析的数量较多，因此难度明显增大，有较强的区分度．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎28．（2010江苏南京，28，8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．‎ ‎（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；‎ ‎（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．‎ ‎【分析】（1）欲求y关于x的函数关系式，即△EGF的面积，观察图形发现S△EGF= EF·MG，由条件AM=DM及正方形的性质可得△AME≌△DMF，所以EF=2EM，因此求出面积的关键是求出MG．结合图形发现过点M作MN⊥BC，垂足为N可得Rt△AME∽Rt△NMG，进而运用相似三角形的性质得到MG的长，问题获解；（2）如图，P1P2（P1是P起始位置，P2是P终止位置．）是点P运动的路线，由Rt△ABM∽Rt△P1P‎2M，AB=2AM，得P1P2=2MP1=2．‎ ‎【答案】（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2；‎ 当点E与点A不重合时，0＜x≤2．‎ 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，‎ ‎∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF．‎ ‎∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，∴△AME≌△DMF，∴ME=MF．‎ 在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=．∴EF=2MF=2．‎ 过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图）．则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM．‎ ‎∴∠AME+∠EMN=90°．‎ ‎∵∠EMG=90°，∴∠GMN+∠EMN=90°，∴∠AME=∠GMN，‎ ‎∴Rt△AME∽Rt△NMG，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴MG=2ME=2，‎ ‎∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2，‎ ‎∴y =2x2+2，其中0≤x≤2．‎ ‎（2）点P运动路线的长为2．‎ ‎【点评】本题是一道以动点为背景求函数关系式的面积问题，添加恰当的辅导线构造相似三角形求MG的长是问题（1）的求解关键．由于此类问题综合多个知识点进行考查，再加学生对运动性问题的分析往往是难以“动中求静”，因此，近年来各地多以运动问题作为中考数学试卷的压轴题．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎