上海市松江区2020届高三在线质量评估（4月）数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 高三数学在线质量评估试卷 一.本试卷共21题，第1~15题每题6分，第16~21题每题10分，满分150分 ‎1.若复数z=，则|z|=（ ）‎ A. 1 B. C. 5 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的模的运算性质，化简为对复数求模可得结果 ‎【详解】|z|===，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题 ‎2.已知向量若，则实数( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量，利用数量积公式由求解.‎ ‎【详解】向量，‎ ‎，‎ 解得实数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎3.已知，若，则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ - 19 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，得到求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆过点和点，得到，联立求解.‎ ‎【详解】因为椭圆过点和点 所以，且，‎ 可得：，‎ 所以，所以焦距，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎5.已知实数，且，则行列式的( )‎ - 19 -‎ A. 最小值是2 B. 最小值是 C. 最大值是2 D. 最大值是 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，再由，利用基本不等式求解.‎ ‎【详解】实数，且，‎ ‎，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 行列式的最小值是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查行列式的运算及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎6.“”是“直线和直线平行”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和直线平行，则，再用集合法判断.‎ ‎【详解】由直线和直线平行 则，解得.‎ 经过验证，都满足条件.‎ ‎“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.‎ - 19 -‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查逻辑条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎7.在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．‎ ‎【详解】连接，，如图：‎ 又，则为异面直线与所成的角.‎ 因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，‎ ‎∴，‎ 又，，∴，‎ ‎∴，解得.‎ 故选C ‎【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎8.样本中共有五个个体，其值分别是a - 19 -‎ ‎，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是( )‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本的平均数是2，求得a，再代入标准差公式求解.‎ ‎【详解】因为数据a，1，2，3，4平均数是：‎ 所以，‎ 解得；‎ 所以该组数据的方差是：‎ ‎，‎ 标准差是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查样本估计总体中的平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A：利用幂函数的性质判断；B：利用一次函数的性质判断；C：利用二次函数的性质判断；D：利用奇偶性定义判断.‎ ‎【详解】A：在定义域内内不单调，不符合题意；‎ B：在定义域R上先减后增，不符合题意；‎ - 19 -‎ C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；‎ D：因为，所以函数为偶函数，不符合题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎10.给出以下四个命题：‎ ‎①依次首尾相接的四条线段必共面；‎ ‎②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；‎ ‎③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；‎ ‎④垂直于同一直线的两条直线必平行.‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.‎ ‎【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.‎ ‎②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.‎ ‎③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.‎ ‎④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.‎ ‎11.已知，在这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )‎ - 19 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，将计算出来，分清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 这7个数分别：‎ ‎.‎ ‎4个奇数，3个偶数；‎ 从中任取两数共有：种；‎ 所取的两数之和为偶数的有：；‎ 所取的两数之和为偶数的概率为：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎12.下列命题中是假命题的是( )‎ A. 对任意的，函数都不是奇函数 B. 对任意的，函数都有零点 C. 存在、，使得 D. 不存在，使得幂函数在上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ A：取判断. B：根据函数的值域为R判断.C：取判断.D：根据判断.‎ ‎【详解】A：当时，，故函数为奇函数，故该命题为假命题.‎ B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题.‎ C：当时，使得，故该命题为真命题.‎ D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，故该命题为真命题.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.‎ ‎13.函数的大致图象为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的定义域，再利用奇偶性排除部分选项，再根据时，，则确定.‎ ‎【详解】根据题意，，有，‎ - 19 -‎ 则有，即函数的定义域为，‎ 又由，‎ 即函数为奇函数，排除A；‎ 又由当时，，则，排除B，D；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.‎ ‎14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A、C之间的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得，，利用正切函数的定义求得，；在中，利用余弦定理求得，然后利用勾股定理求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎；‎ - 19 -‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 所以；‎ 所以，‎ 即两山顶A，C之间的距离为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，设数列的前n项和为，则( )‎ A. 0 B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列的通项与前n项和的关系，由求得再由，用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】依题意，由，可得：‎ ‎，‎ 两式相减，可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 数列是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ - 19 -‎ ‎.‎ ‎，‎ 则 ‎，‎ 则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系，等差数列的定义以及裂项相消法数列求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎16.在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圆圆心为O，则（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 10 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，并将和中点，和中点连接，从而得到，，根据数量积的计算公式以及条件即可得出，，从而，从而可得到的值.‎ ‎【详解】如图，取中点，中点，并连接，，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ - 19 -‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了数量积的定义、向量的运算法则以及三角形的外心，属于基础题.‎ ‎17.已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称轴方程为.得到在上有5条对称轴，将原式变形，利用零点关于对称轴对称求解.‎ ‎【详解】令得，‎ 即的对称轴方程为.‎ 的最小正周期为，‎ - 19 -‎ 在上有5条对称轴，‎ 第一条是，最后一条是：；‎ 关于对称，关于对称…关于对称 ‎，‎ 将以上各式相加得：‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得.类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，则的值为( )‎ A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用类比推理得到，再用待定系数法得到，，再根据求解.‎ ‎【详解】‎ - 19 -‎ ‎，‎ 由对应系数相等得：‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系数法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.‎ ‎19.已知函数关于点对称，若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为奇函数，其图象关于对称，再由关于点对称，可得，再将对任意的，恒成立，转化为，在恒成立，令，求的最大值即可.‎ ‎【详解】由为奇函数，可得其图象关于对称，‎ 可得的图象关于对称，‎ 函数关于点对称，可得，‎ - 19 -‎ 对任意的，恒成立，‎ 即，在恒成立，‎ 所以，在恒成立，‎ 令，由，可得，‎ 设，‎ 当时，取得最大值11，‎ 则k取值范围是，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的对称性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知点在抛物线上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为( )‎ A. B. 1 C. 2 D. ﹣2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点在抛物线上，得到抛物线方程：，根据，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立消去x得：， 然后由，将韦达定理代入求解.‎ ‎【详解】由点在抛物线上，‎ 可得，，‎ 抛物线方程为：，‎ - 19 -‎ 由已知得，设点，‎ 由题意直线AB斜率存在且不为0，‎ 设直线AB的方程为，‎ 联立方程，消去x得：，‎ ‎，‎ 因为点A，B在抛物线C上，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列.已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中，是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为( )‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无穷多个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列每一项都是数列中的项，其中，设（），公比，则（）对任意的 - 19 -‎ 都成立，得到m是正奇数，又S存在，则，然后根据，结合对m进行讨论分析.‎ ‎【详解】设（），公比，‎ 则（）‎ 对任意的都成立，‎ 故m是正奇数，又S存在，所以.‎ 时，，此时，即，成立.‎ 当时，，此时，‎ 不是数列中的项，故不成立.‎ 时，，此时，成立.‎ 当时，，由，‎ 得，得，‎ 又因为，所以，2，此时或，‎ 分别代入，得到不合题意，‎ 由此满足条件的数列只有两个，即，或，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的新定义及无穷等比数列各项和的应用，还考查了特殊与的思想和推理论证的能力，属于中档题.‎ - 19 -‎ - 19 -‎ - 19 -‎