上海市松江区高考数学一模试卷

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文档介绍

上海市松江区高考数学一模试卷

‎2018年上海市松江区高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.(4分)计算:=   .‎ ‎2.(4分)已知集合A={x|0<x<3},B={x|x2≥4},则A∩B=   .‎ ‎3.(4分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1+a9=18,a4=7,则S10=   .‎ ‎4.(4分)已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f﹣1(x),且f﹣1(2)=1,则实数a=   .‎ ‎5.(4分)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于,则cos2α等于   .‎ ‎6.(4分)如图是一个算法的程序框图,当输入的值x为8时,则其输出的结果是   .‎ ‎7.(5分)函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0,2π]上交点的个数是   .‎ ‎8.(5分)设直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a=   .‎ ‎9.(5分)在△ABC中,∠A=90°,△ABC的面积为1,若=,=4,则的最小值为   .‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=x|2x﹣a|﹣1有三个零点,则实数a的取值范围为   .‎ ‎11.(5分)定义,已知函数f(x)、g(x)的定义域都是R,则下列四个命题中为真命题的是   (写出所有真命题的序号)‎ ‎①若f(x)、g(x)都是奇函数,则函数F(f(x),g(x))为奇函数;‎ ‎②若f(x)、g(x)都是偶函数,则函数F(f(x),g(x))为偶函数;‎ ‎③若f(x)、g(x)都是增函数,则函数F(f(x),g(x))为增函数;‎ ‎④若f(x)、g(x)都是减函数,则函数F(f(x),g(x))为减函数.‎ ‎12.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=2qn+q(q<0,n∈N*),若对任意m,n∈N*都有,则实数q的取值范围为   .‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根(其中i为虚数单位,p,q∈R),则q的值为(  )‎ A.﹣5 B.5 C.﹣3 D.3‎ ‎14.(5分)已知f(x)是R上的偶函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎15.(5分)若存在x∈[0,+∞)使成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.[1,+∞)‎ ‎16.(5分)已知曲线C1:|y|﹣x=2与曲线C2:λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣1]∪[0,1) B.(﹣1,1] C.[﹣1,1) D.[﹣1,0]∪(1,+∞)‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.(14分)在△ABC中,AB=6,AC=3,=﹣18.‎ ‎(1)求BC边的长;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎18.(14分)已知函数(x≠0,常数a∈R).‎ ‎(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)当a>0时,研究函数f(x)在x∈(0,+∞)内的单调性.‎ ‎19.(14分)松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利,已知某条线路通车后,电车的发车时间间隔t(单位:分钟)满足2≤t≤20,经市场调研测算,电车载客量与发车时间间隔t相关,当10≤t≤20时电车为满载状态,载客量为400人,当2≤t<10时,载客量会减少,减少的人数与(10﹣t)的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人,记电车载客量为p(t).‎ ‎(1)求p(t)的表达式,并求当发车时间间隔为6分钟时,电车的载客量;‎ ‎(2)若该线路每分钟的净收益为(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?‎ ‎20.(16分)已知椭圆E:=1(a>b>0)经过点,其左焦点为,过F点的直线l交椭圆于A、B两点,交y轴的正半轴于点M.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点,若四边形ACBD的面积为,求直线l的方程;‎ ‎(3)设,,求证:λ1+λ2为定值.‎ ‎21.(18分)已知有穷数列{an}共有m项(m≥2,m∈N*),且|an+1﹣an|=n(1≤n≤m﹣1,n∈N*).‎ ‎(1)若m=5,a1=1,a5=3,试写出一个满足条件的数列{an};‎ ‎(2)若m=64,a1=2,求证:数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018;‎ ‎(3)若a1=0,则am所有可能的取值共有多少个?请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2018年上海市松江区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.(4分)计算:=  .‎ ‎【解答】解:==,‎ 故答案为:,‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)已知集合A={x|0<x<3},B={x|x2≥4},则A∩B= {x|2≤x<3} .‎ ‎【解答】解:由已知得:B={x|x≤﹣2或x≥2},‎ ‎∵A={ x|0<x<3},‎ ‎∴A∩B={x|0<x<3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x<3}为所求.‎ 故答案为:{x|2≤x<3}.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1+a9=18,a4=7,则S10= 100 .‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a9=18,a4=7,‎ ‎∴,解得d=2,a1=1.‎ 则S10=10+=100.‎ 故答案为:100.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f﹣1(x),且f﹣1(2)=1,则实数a= 3 .‎ ‎【解答】解:函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f﹣1(x),且f﹣1(2)=1,‎ 则:2=,‎ 解得:a=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于,则cos2α等于 ﹣ .‎ ‎【解答】解:∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于,‎ ‎∴可得:r=1,cosα=,‎ ‎∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)如图是一个算法的程序框图,当输入的值x为8时,则其输出的结果是 2 .‎ ‎【解答】解:x=8>0,执行循环体,x=x﹣3=5﹣3=2>0,继续执行循环体,‎ x=x﹣3=2﹣3=﹣1<0,满足条件,退出循环体,故输出y=0.5﹣1=( )﹣1=2.‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0,2π]上交点的个数是 4 .‎ ‎【解答】解:由于函数y=sin2x与y=cosx有交点,‎ 则:sin2x=cosx,‎ 整理得:sinx=或cosx=0‎ 所以:在[0,2π]范围内,x=,,,,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)设直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a= 0 .‎ ‎【解答】解:由于圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4的圆心C(1,2),半径等于2,且圆截直线所得的弦AB的长为2,‎ 故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为 =1,即 =1,解得 a=0,‎ 故答案为 0.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)在△ABC中,∠A=90°,△ABC的面积为1,若=,=4,则的最小值为  .‎ ‎【解答】解:如图,建立直角坐标系,设B(10x,0),C(0,10y),‎ 若=,=4,‎ 则M(5x,5y),N(2x,8y),‎ 由题意△ABC的面积为1,可得50xy=1,‎ ‎=10x2+40y2≥2xy=,当且仅当x=2y=时取等号.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=x|2x﹣a|﹣1有三个零点,则实数a的取值范围为 (2,+∞) .‎ ‎【解答】解:函数f(x)=x|2x﹣a|﹣1有三个零点,就是x|2x﹣a|=1,即|2x﹣a|=有三个解,‎ 令y=|2x﹣a|,y=,可知y=,画出两个函数的图象,如图:x,y=,y′==﹣2,解得x=,x=﹣(舍去),此时切点坐标(,),代入y=a﹣2x可得,a==2,‎ 函数f(x)=x|2x﹣a|﹣1有三个零点,‎ 则实数a的取值范围为(2,+∞).‎ 故答案为:(2,+∞).‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)定义,已知函数f(x)、g(x)的定义域都是R,则下列四个命题中为真命题的是 ②③④ (写出所有真命题的序号)‎ ‎①若f(x)、g(x)都是奇函数,则函数F(f(x),g(x))为奇函数;‎ ‎②若f(x)、g(x)都是偶函数,则函数F(f(x),g(x))为偶函数;‎ ‎③若f(x)、g(x)都是增函数,则函数F(f(x),g(x))为增函数;‎ ‎④若f(x)、g(x)都是减函数,则函数F(f(x),g(x))为减函数.‎ ‎【解答】解:,‎ 若f(x)、g(x)都是奇函数,则函数F(f(x),g(x))不一定是奇函数,如y=x与y=x3,故①是假命题;‎ 若f(x)、g(x)都是偶函数,则函数F(f(x),g(x))为偶函数,故②是真命题;‎ 若f(x)、g(x)都是增函数,则函数F(f(x),g(x))为增函数,故③是真命题;‎ 若f(x)、g(x)都是减函数,则函数F(f(x),g(x))为减函数,故④是真命题.‎ 故答案为:②③④.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=2qn+q(q<0,n∈N*),若对任意m,n∈N*都有,则实数q的取值范围为 (﹣,0) .‎ ‎【解答】解:由an=2qn+q(q<0,n∈N*),因为a1=3q<0,且对任意n∈N*,∈(,6)故an<0,‎ 特别地2q2+q<0,于是q∈(﹣,0),此时对任意n∈N*,an≠0.‎ 当﹣<q<0时,a2n=|q|2n+q>q,a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q<q,‎ 由指数函数的单调性知,{an}的最大值为a2=2q2+q,最小值为a1=3q,‎ 由题意,的最大值及最小值分别为=和=.‎ 由>及<6,解得﹣<q<0.‎ 综上所述,q的取值范围为(﹣,0),‎ 故答案为:(﹣,0).‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根(其中i为虚数单位,p,q∈R),则q的值为(  )‎ A.﹣5 B.5 C.﹣3 D.3‎ ‎【解答】解:∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,‎ ‎∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根,‎ 则q=(2﹣i)(2+i)=|2﹣i|2=5.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知f(x)是R上的偶函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解答】解:∵f(x)是R上的偶函数,‎ ‎∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”,‎ ‎“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”,‎ ‎∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)若存在x∈[0,+∞)使成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.[1,+∞)‎ ‎【解答】解:存在x∈[0,+∞)使成立,‎ ‎∴2x•x﹣2x•m<1,‎ ‎∴2x•m>2x•x﹣1,‎ ‎∴m>x﹣,‎ ‎∵x∈[0,+∞),∴2x≥1,‎ ‎∴m>x﹣≥﹣1.‎ ‎∴实数m的取值范围是(﹣1,+∞).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)已知曲线C1:|y|﹣x=2与曲线C2:λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣1]∪[0,1) B.(﹣1,1] C.[﹣1,1) D.[﹣1,0]∪(1,+∞)‎ ‎【解答】解:由x=|y|﹣2可得,y≥0时,x=y﹣2;‎ y<0时,x=﹣y﹣2,‎ ‎∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于(0,±2),‎ 所以为了使曲线C1:|y|﹣x=2与曲线C2:λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点,‎ 则将x=y﹣2代入方程y2+λx2=4,‎ 整理可得(1+λ)y2﹣4λy+4λ﹣4=0,‎ 当λ=﹣1时,y=2满足题意,‎ ‎∵曲线C1:|y|﹣x=2与曲线C2:λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点,‎ ‎∴△>0,2是方程的根,‎ ‎∴<0,即﹣1<λ<1时,方程两根异号,满足题意;‎ 综上知,实数λ的取值范围是[﹣1,1).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.(14分)在△ABC中,AB=6,AC=3,=﹣18.‎ ‎(1)求BC边的长;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(1)=﹣18,‎ 由于:AB=6,AC=3,‎ 所以:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA,‎ 解得:BC=3.‎ ‎(2)在△ABC中,BA=6,AC=3,BC=3,‎ 则:cosA==﹣,‎ 所以:sinA=,‎ 则:=.‎ ‎ ‎ ‎18.(14分)已知函数(x≠0,常数a∈R).‎ ‎(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)当a>0时,研究函数f(x)在x∈(0,+∞)内的单调性.‎ ‎【解答】解:(1)当a=0时,函数f(x)=1(x≠0)‎ 满足f(﹣x)=f(x),‎ 此时f(x)为偶函数;‎ 当a≠0时,函数f(a)=0,f(﹣a)=2,‎ 不满足f(﹣x)=f(x),也不满足f(﹣x)=﹣f(x),‎ 此时f(x)为非奇非偶函数;‎ ‎(2)当a>0时,‎ 若x∈(0,a),则,为减函数;‎ 若x∈(a,+∞),则,为增函数;‎ 故f(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数;‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利,已知某条线路通车后,电车的发车时间间隔t(单位:分钟)满足2≤t≤20,经市场调研测算,电车载客量与发车时间间隔t相关,当10≤t≤20时电车为满载状态,载客量为400人,当2≤t<10时,载客量会减少,减少的人数与(10﹣t)的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人,记电车载客量为p(t).‎ ‎(1)求p(t)的表达式,并求当发车时间间隔为6分钟时,电车的载客量;‎ ‎(2)若该线路每分钟的净收益为(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?‎ ‎【解答】解:(1)由题意知,p(t)=(k为常数),‎ ‎∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272,∴k=2.‎ ‎∴p(t)=.‎ ‎∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368;‎ ‎(2)由,可得 Q=,‎ 当2≤t<10时,Q=180﹣(12t+),‎ 当且仅当t=5时等号成立;‎ 当10≤t≤20时,Q=﹣60+≤﹣60+90=30,当t=10时等号成立.‎ ‎∴当发车时间间隔为5分钟时,该线路每分钟的净收益最大,最大为60元.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)已知椭圆E:=1(a>b>0)经过点,其左焦点为,过F点的直线l交椭圆于A、B两点,交y轴的正半轴于点M.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点,若四边形ACBD的面积为,求直线l的方程;‎ ‎(3)设,,求证:λ1+λ2为定值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得:c=,则a2=b2+c2=b2+3,‎ 将代入椭圆方程:,解得:b2=1,a2=4,‎ ‎∴椭圆的E的方程:;‎ ‎(2)设直线l:y=k(x+),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0),则D(x1,﹣y1),‎ 联立,整理得:(1+4k2)x2+8k2x+12k2﹣4=0,‎ ‎∴x1+x2=﹣,x1x2=,‎ ‎|AB|==,由直线CD的斜率为﹣,将k转化成﹣,同理|CD|=,‎ ‎∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==,‎ ‎∴2k4﹣5k2+2=0,解得:k2=2,k2=,∴k=±或k=±,‎ 由k>0,∴k=或k=,‎ ‎∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0;‎ ‎(3),,得x1=λ1(﹣﹣x1),x2=λ2(﹣﹣x2),∴λ1=,λ2=,‎ λ1+λ2=﹣(+)=﹣==﹣8,‎ λ1+λ2为定值,定值为﹣8.‎ ‎ ‎ ‎21.(18分)已知有穷数列{an}共有m项(m≥2,m∈N*),且|an+1﹣an|=n(1≤n≤m﹣1,n∈N*).‎ ‎(1)若m=5,a1=1,a5=3,试写出一个满足条件的数列{an};‎ ‎(2)若m=64,a1=2,求证:数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018;‎ ‎(3)若a1=0,则am所有可能的取值共有多少个?请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)有穷数列{an}共有m项(m≥2,m∈N*),且|an+1﹣an|=n(1≤n≤m﹣1,n∈N*).‎ m=5,a1=1,a5=3,‎ 则满足条件的数列{an}有:1,2,4,7,3和1,0,2,﹣1,3.‎ 证明:(2)必要性 若{an}为递增数列,由题意得:‎ a2﹣a1=1,a3﹣a2=2,…,a64﹣a63=63,‎ ‎∴a64﹣a1==2016,‎ ‎∵a1=2,∴a64=2018.‎ 充分性 由题意|an+1﹣an|=n,1≤n≤63,n∈N*,‎ ‎∴a2﹣a1≤1,a3﹣a2≤2,…,a64﹣a63≤63,‎ ‎∴a64﹣a1≤2016,∴a64≤2018,‎ ‎∵a64=2018,‎ ‎∴an+1﹣an=n,1≤n≤63,n∈N*,‎ ‎∴{an}是增数列,‎ 综上,数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018.‎ 解:(3)由题意得a2﹣a1=±1,a3﹣a2=±2,…,am﹣am﹣1=±(m﹣1),‎ 假设am=b1+b2+b3+…+bm﹣1,其中,bi∈{﹣i,i},(i∈N*,1≤i≤m﹣1),‎ 则(am)min=﹣1﹣2﹣…﹣(m﹣1)=﹣.‎ 若an中有k项,,,…,取负值,‎ 则有am=(am)max﹣(+++…+),(*)‎ ‎∴am的所有可能值与(am)max的差必为偶数,‎ 下面用数学归纳法证明an可以取到﹣与之间相差2的所有整数,‎ 由(*)知,只需从1,2,3,…,m﹣1中任取一项或若干项相加,可以得到2从1到的所有整数值即可,‎ 当m=2时,成立,‎ 当m=3时,从1,2中任取一项或两项相加,可以得到从1,2,3中任取一项或若干项相加,可以得到从1到3的所有整数,结论成立,‎ ‎②假设m=k(k≥3,k∈N*)结论成立,‎ 即从1,2,3,…,k﹣1中任取一项或若干项相加,可以得到从1到的所有整数值,‎ 则当m=k+1时,由假设,从1,2,3,…,k﹣1中任取一项或若干项相加,‎ 可以得到从1到的所有整数值,用k取代1,2,3,…,k﹣1中的k,可得,‎ 用k取代1,2,3,…,k﹣1中的k﹣2,可得,‎ 将1,2,3,…,k﹣1,k全部相加,可得,‎ 故命题成立,‎ ‎∴am所有可能的取值共有:=个.‎ ‎ ‎
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