2018-2019学年陕西省铜川市王益区高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年陕西省铜川市王益区高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019 学年陕西省铜川市王益区高二上学期期末考试数 学（文）试题 一、单选题 1．若命题 是真命题，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题干得到需满足 ，解出不等式即可. 【详解】 命题 是真命题，则需满足 ，解得 或 . 故选 . 【点睛】 这个题目考查了已知命题的真假，求参的问题.涉及二次函数在 R 上有解的问题，开口 向上，只需要判别式大于等于 0 即可. 2．双曲线 x2﹣4y2＝4 的右焦点坐标为（　　　　） A．（ ，0） B．（2，0） C．（5，0） D．（ ，0） 【答案】D 【解析】将双曲线化简成标准方程 ，再求出 即可求出右焦点坐标. 【详解】 由题知： ， ， ，解得： . 右焦点 . 故选：D 【点睛】 本题主要考查双曲线的焦点坐标求法，需要熟练掌握双曲线的简单性质，属于简单题. 2 0 0 0: , 1 0p x R x ax∃ ∈ − + ≤ a [ ]2 2− , ( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞ ( )2,2− ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞ 2 4 0a∆ = − ≥ 2 0 0 0: , 1 0p x R x ax∃ ∈ − + ≤ 2 4 0a∆ = − ≥ 2a ≥ 2a ≤ − B 3 5 2 2 14 x y− = c 2 2 14 x y− = 2a = 1b = 4 1 5c = + = 2 ( 5,0)F 3．已知曲线 上点 处切线的斜率为 3，则点 的坐标为（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】A 【解析】对函数求导得到 ， 解得切点的横坐标，进而得到P 点坐标. 【详解】 ， 切线的斜率为 3， ，解得 ， ，则点 的 坐标为 或 . 故选 . 【点睛】 这个题目考查了导数的几何意义，考查了在一点出的切线的斜率问题，题目较为基础. 4．抛物线 的焦点到准线的距离为（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据抛物线的定义式得到焦点在 x 轴上，焦点坐标为 ，准线方程为 ，故焦点到准线的距离为 1. 故选项为 B. 5．已知函数 f（x）在定义域 R 内可导，其图象如图所示．记 f（x）的导函数为 f′ （x），则不等式 xf′（x）≤0 的解集为（　　　　） A．（﹣∞， ]∪[0，1]∪[2，+∞） 3 21 3y x x= + P P 41, 3      ( )3,0− 21, 3  −   ( )3,18 41, 3      ( )3,18 21, 3  −   ( )3,0− 2 2y x x′ = + 2 2 3x x∴ + = 2 2y x x′ = +  2 2 3x x∴ + = 1 1x = 2 3x = − P 41, 3      ( )3,0− A 2 2y x= 1 2 1 ,02      1 2x = − 1 3 − B．[ ，0]∪[2，+∞） C．（﹣∞， ）∪（0，1）∪（2，+∞） D．[ ，0]∪[1，2] 【答案】A 【解析】通过图像 的单调性以及 的正负性即可找到不等式 的解集. 【详解】 由图知： ， 为增函数 ， ，符合. ， 为减函数 ， ，舍去. ， 为减函数 ， ，符合. ， 为增函数 ， ，舍去. ， 为减函数 ， ，符合. 综上所述： 的解集为： . 故选：A 【点睛】 本题主要考查导数的应用中的单调性，熟练掌握原函数的增减性与导函数的正负性之间 的关系是解题的关键，属于中档题. 6．已知椭圆 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2 ．过点 F1 作 x 轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为 P 点（如图所示），若△PF1F2 的面积为 ，则椭圆的方程为（　　　　） A． B． 1 3 − 1 3 − 1 3 − ( )f x x ( ) 0xf x′ ≤ 1( , ]3x∈ −∞ − ( )f x ⇒ 0x < ( ) 0f x′ ≥ ⇒ ( ) 0xf x′ ≤ 1[ ,0]3x∈ − ( )f x ⇒ 0x ≤ ( ) 0f x′ ≤ ⇒ ( ) 0xf x′ ≥ [0,1]x∈ ( )f x ⇒ 0x ≥ ( ) 0f x′ ≤ ⇒ ( ) 0xf x′ ≤ [1,2]x∈ ( )f x ⇒ 0x > ( ) 0f x′ ≥ ⇒ ( ) 0xf x′ ≥ [2, )x∈ +∞ ( )f x ⇒ 0x > ( ) 0f x′ ≤ ⇒ ( ) 0xf x′ ≤ ( ) 0xf x′ ≤ 1( , ] [0,1] [2, )3 −∞ − +∞  2 2 2 2 x y a b + = 3 3 2 2 2 16 3 x y+ = 2 2 17 4 x y+ = C． D． 【答案】C 【解析】由 ，解得： ，再根据 ，即可求出椭圆的标准方 程. 【详解】 由题知： . 整理得： . . 椭圆的标准方程为： . 故选：C 【点睛】 本题主要考查椭圆的基本性质，同时也考查了椭圆中的通径问题，属于简单题. 7．已知函数 f（x）＝lnx﹣ax（x∈[1，+∞）），若不等式 f（x）≤0 恒成立，则实数 a 的 取值范围为（　　　　） A．[1，+∞） B．（﹣∞， ） C．[ ，+∞） D．[0，+∞） 【答案】C 【解析】由题知： 等价于： ， 恒成立.令 ，即： 即可. 【详解】 由题知： ， 恒成立， 等价于： ， 恒成立. 令 ，即： 即可. 2 2 14 x y+ = 2 2 18 5 x y+ = 1 2 3 2PF FS =  2 1 2 b a = 2 2 3c = 1 2 2 1 2 1 1 1 32 32 2 2PF F bS F F PF a = ⋅ = × × =  2 1 2 b a = 2 2 2 2 2 2 3 2 1 12 3 c a b ba ca b c  =  =  = ⇒ =    == + 2 2 14 x y+ = 1 e 1 e ln xa x ≥ [1, )x∈ +∞ ln( ) xg x x = max ( )a g x≥ ln 0x ax− ≤ [1, )x∈ +∞ ln xa x ≥ [1, )x∈ +∞ ln( ) xg x x = max ( )a g x≥ 令 ， . ， ， 为增函数， ， ， 为减函数， ，所以 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查导数中的恒成立问题，分离参数是解决本题的关键，同时考查了学生的转 化能力，属于中档题. 8．下列命题中正确命题的序号是（　　　　） ①函数 f（x）在定义域 R 内可导，“f′（1）＝0”是“函数 f（x）在 x＝1 处取极值”的充 分不必要条件； ②函数 f（x）＝x3 ax 在[1，2]上单调递增，则 a≥﹣4 ③在一次射箭比赛中，甲、乙两名射箭手各射箭一次．设命题 p：“甲射中十环”，命题 q：“乙射中十环”，则命题“至少有一名射箭手没有射中十环”可表示为（￢p）∨（￢ q）； ④若椭圆 左、右焦点分别为 F1，F2，垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A，B 两 点，当直线过右焦点时，△ABF1 的周长取最大值 A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【解析】①通过举反例说明错误 ② ，由题知：等价于 ， 恒成立.再求 即可判断②正确. ③命题“至少有一名射箭手没有射中十环”，分三种情况，可表示为： .故③ 正确. ④当直线过右焦点时， 的周长为 ，其他情况 的周长均小于 ， 故④正确. 【详解】 2 2 1 ln 1 ln( ) x x xxg x x x −= =′ ⋅ − ( ) 0g x′ = x e= [1, )x e∈ ( ) 0g x′ > ( )g x [ , )x e∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x max 1( ) ( )g x g e e = = 1a e ≥ 21 2 x+ + 2 2 125 16 x y+ = 2( ) 3f x x x a′ = + + 23a x x≥ − − [1,2]x∈ 2 max( 3 )x x− − ( ) ( )p q¬ ∨ ¬ 1ABF 4 20a = 1ABF 4a ①例如： ， ， ， 但 x＝1 不是 f（x）的极值点，故①错误. ② ，由题知：等价于 ， 恒成立. 即： .所以得到： .故②正确. ③命题“至少有一名射箭手没有射中十环”，分三种情况：甲射中，乙没射中；乙射中， 甲没射中；甲乙都没射中，可表示为： .故③正确. ④当直线过右焦点时， 的周长为 ，不过右焦点时， 的周长均小 于 ，故④正确. 故选：B 【点睛】 本题主要考查了导数的极值点，单调区间，同时考查了充分必要条件，逻辑连接词以及 椭圆的几何性质，属于中档题. 9．若函数 f（x）＝x3+ax2+2x（a∈R）在 x 处取得极小值，则实数 a 的值为 （　　　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为 处取得极限值，所以 ，即可求出 的值. 【详解】 . 因为 处取得极小值，所以 . 即： ，解得： . 故选：A 【点睛】 本题主要考查函数的极值问题，同时考查计算能力，属于简单题. 10．过抛物线 x2＝2py（p＞0）焦点的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若 A 点坐标为 （1， ），则点 B 到准线的距离为（　　　　） A．4 B．6 C．5 D．3 【答案】C ( ) ( )31f x x= − 2( ) 3( 1)f x x′ = − 2(1) 3(1 1) 0f ′ = − = 2( ) 3f x x x a′ = + + 23a x x≥ − − [1,2]x∈ 2 max( 3 )a x x≥ − − 3 1 1 4a ≥ − × − = − ( ) ( )p q¬ ∨ ¬ 1ABF 4 20a = 1ABF 4a 2 3 = − 5 2 11 3 5 2 − 2 3x = − 2( ) 03f ′ − = a 2( )=3 2 2f x x ax+ +′ 2 3x = − 2( ) 03f ′ − = 22 23 ( ) 2 ( ) 2 03 3a× − + × − + = 5 2a = 1 4 【解析】首先将 带入 求得 ，再由 和 求出直线方 程，与抛物线联立得到： ，求出 ，再根据抛物线的几何性质即可 求出 到准线的距离. 【详解】 因为 在抛物线 上，解得： . 所以抛物线方程为 ， . ， . 联立. ， .带入 得： . 到准线的距离等于 故选：C 【点睛】 本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 11．若函数 g（x） x2﹣1nx+m 在[ ，e]上有两个零点，则实数 m 的取值范围为 （　　　　） A．（﹣∞， ） B．[1 e2，+∞] C．[1 e2， ] D．[ ， ） 【答案】D 【解析】首先给 求导，再根据单调性求出 的最小值及其边界值，再根据 在 上有两个零点，列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】 . 令 ，解得： ， . ， ， 为减函数， ， ， 为增函数， 1(1, )4A 2 2x py= 2p = (0,1)F 1(1, )4A 2 3 4 0x x+ − = 4By = B 1(1, )4A 2 2x py= 2p = 2 4x y= (0,1)F 11 34 0 1 4AFk − = = −− :AFl 3 14y x= − + 1Ax = 4Bx = − 2 4x y= 4By = B 4 4 1 52 p+ = + = 1 2 = 1 e 1 2 − 1 2 − 1 2 − 1 2 − 2 1 12e − − 1 2 − ( )g x ( )g x ( )g x 1[ , ]ee 21 1 ( 1)( 1)( ) x x xg x x x x x − + −= − =′ = ( ) 0g x′ = 1 1x = − 2 1x = 1( ,1)x e ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (1, )x e∈ ( ) 0g x′ > ( )g x . ， ，且 . 因为 在 上有两个零点， 即： ，解得： . 故选：D 【点睛】 本题主要考查函数的零点问题，同时考查了导数中的单调性和最值，属于中档题. 12．过椭圆 右焦点 F 且斜率为 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，M 为弦 AB 的中点，直线 OM 与椭圆相交，其中一个交点为 C 点，若 （λ＞0），则实 数 λ 的值为（　　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先联立 ，通过 ，得到 ，再带入 ，得到 .从而得到 .椭圆联立 ， 解得： .根据 即可得到答案. 【详解】 设 ， ,由题知： ， ，即： . 与椭圆联立 . min 1( ) (1) 2g x g m= = + 2 1 1 1( ) ln2g me e e = − + 21( ) 12g e e m= − + 1( ) ( )g e g e > ( )g x 1[ , ]ee 2 1(1) 02 1 1( ) 1 02 g m g me e  = + <  = + + ≥ 2 1 112 2me − − ≤ < − 2 2 116 4 x y+ = 3 OM OCλ=  13 13 3 13 13 3 13 13 39 2 2 116 4 3 6 x y y x  + =  = − 1 2 48 3 13x x+ = 24 3 13Mx = 3 6y x= − 24 3 6( , )13 13M − :OMl 3 12y x= − 2 2 116 4 3 12 x y y x  + =  = − 2 192 13Cx = M C OM x xOC λ = =   1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 (2 3,0)F :ABl 3( 2 3)y x= − 3 6y x= − 2 2 21 13 48 3 128 016 4 3 6 x y x x y x  + = ⇒ − + =  = − 因为 ，所以 . 将 代入 ，得到： ， . ，即： . 与椭圆联立 ，解得： . 因为 且 ， 所以 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了计算能力和转化能力，属于难题. 二、填空题 13．设 p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若 p 是 q 的充分不必要 条件，则实数 m 的取值范围是_____． 【答案】[0，1] 【解析】分别求出 的范围，再根据 是 的充分不必要条件，列出不等式组，解不 等式组 【详解】 由 得 ，得 . 由 ，得 ， 得 ， 若 p 是 q 的充分不必要条件， 则 ，得 ，得 ， 1 2 48 3 13x x+ = 24 3 13Mx = 24 3 13Mx = 3 6y x= − 6 13My = − 24 3 6( , )13 13M − 3 12OMk = − :OMl 3 12y x= − 2 2 116 4 3 12 x y y x  + =  = − 2 192 13Cx = OM OCλ=  0λ > 24 3 3 1313 138 3 13 13 M C OM x xOC λ = = = = ⋅   ,p q p q 1 1x − ≤ 1 1 1x− ≤ − ≤ 0 2x≤ ≤ 2 (2 1) ( 1)( 2) 0x m x m m− + + − + ≤ [ ( 1)][ ( 2)] 0x m x m− − − + ≤ 1 2m x m− ≤ ≤ + 1 0 2 2 m m − ≤  + ≥ 1 0 m m ≤  ≥ 0 1m≤ ≤ 即实数 的取值范围是 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中 档题. 14．已知点 F 是抛物线 y2＝4x 的焦点，点 P 是抛物线上的动点，点 A（2，1），则|PA|+|PF| 的最小值为_____． 【答案】3 【解析】由抛物线的几何性质知： ，根据画图知： 为 的最 小值，求 长度即可. 【详解】 点 是抛物线 的焦点，其准线方程为 ， 作 于 ，作 于 ， 则 . 当且仅当 为 与抛物线的交点时，取得等号， 则 的最小值为 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离为解题 的关键，属于中档题. 15．函数 f（x）＝x3﹣3x（x∈[﹣2，3]）的最大值为_____． 【答案】18 【解析】求导并求出函数在 的极值以及边界值，比较即可得到最大值. m [0,1] [0,1] PA PN= AB PA PF+ AB (1,0)F 2 4y x= : 1l x = − PN l⊥ N AB l⊥ B 2 ( 1) 3PA PF PA PN AB+ = + ≥ = − − = P AB PA PF+ 3 3 [ 2,3]− 【详解】 ，可得 ，令 ，得： . 函数以及导函数在 ]上的变化情况如下： 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 因为 ， ， ， ， 所以 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查导数的应用中的求函数的最值，求函数的单调区间是解题的关键，属于简 单题. 16．已知函数 f（x）＝lnx+ax（a＞0），若对任意的 x1，x2∈（0， ），且 x1≠x2，不等 式|f（x2）﹣f（x1）|＜| |恒成立，则实数 a 的取值范围为_____． 【答案】（0，2] 【解析】首先求导，得到函数 在 上单调递增，设 ，化 简得 ，令 ，即函数 在 上单调递减.所以 恒成立，只需满足 即可. 解得 的范围即可. 【详解】 因为 ， 所以函数 在 上单调递增， 3( ) 3f x x x= − 2( ) 3 3f x x′ = − ( ) 0f x′ = 1x = ± [ 2,3]− x ( 2, 1)− − 1− ( 1,1)− 1 (1,3) ( )f x′ + 0 − 0 + ( )f x ( ) ( 1) 2f x f= − =极大值 ( ) (1) 2f x f= = −极小值 ( 2) 2f − = − (3) 18f = ( ) (3) 18maxf x f= = 18 1 2 2 1 1 1 x x − ( ) lnf x x ax= + 1(0, )2x∈ 1 2x x< 2 1 2 1 1 1( ) ( )f x f xx x + < + 1 1( ) ( ) lnF x f x x axx x = + = + + ( )F x 1(0, )2x∈ 2 2 1( ) 0ax xF x x + −′ = ≤ 1 1 04 2 a + − ≤ a ( ) 1 0f x ax ′ = + > ( ) lnf x x ax= + 1(0, )2x∈ 不妨设 ，所以 ， 令 ， 即函数 在 上单调递减. 所以 恒成立， 等价于： 恒成立. 只需满足 即可.解得 ， 又因为 ，所以 ， 即实数 的取值范围为 . 【点睛】 本题主要考查导数应用中的恒成立问题，同时重点考查了学生的转化能力，属于中档题. 三、解答题 17．已知命题 p：函数 f（x）＝x3﹣2ax2﹣4x 在区间（0，4）上是单调递减函数；命题 q：椭圆 y2＝1（a＞1）的离心率取值范围为（ ，1），若“p∧q”为假命题，“p∨q” 为真命题，求实数 a 的取值范围． 【答案】（ ， ）． 【解析】首先分别求出命题 ， 为真命题时 的范围，再根据“ ”为假命题，“ ” 为真命题，得到： ， 一真一假.再分别讨论即可. 【详解】 当为真命题时， ， 由题意可知 在 上恒成立， 所以 ，即 ； 当命题 为真命题时，椭圆离心率 ， 因为 ，所以 . 因为“ ”为假命题，“ ”为真命题， 1 2x x< 2 1 2 1 1 1( ) ( )f x f x x x − < − 1 1( ) ( ) lnF x f x x axx x = + = + + ( )F x 1(0, )2x∈ 2 2 1( ) 0ax xF x x + −′ = ≤ 2 1 0ax x+ − ≤ 1 1 04 2 a + − ≤ 2a ≤ 0a > 0 2a< ≤ a (0,2] 2x a + 1 2 4 3 11 4 p q a p q∧ p q∨ p q 2( ) 3 4 4f x x ax′ = − − 23 4 4 0x ax− − ≤ (0,4) 48 16 4 0a− − ≤ 11 4a ≥ q 1ae a −= 1 1 12 a a −< < 4 3a > p q∧ p q∨ 所以 ， 一真一假. ∴① 真 假时， ，解得： ； ② 假 真时， ，即 ； 综上所述： 的取值范围为 . 【点睛】 本题主要考查了导数中的单调区间，同时考查了椭圆的离心率，还考查了逻辑连接词， 属于中档题. 18．已知函数 f（x）＝（x2﹣a）ex（a∈R）． （1）若函数 f（x）有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）当 a＝0 时，若关于 x 的方程 f（x）＝m 存在三个不同的实数根，求实数 m 的取 值范围． 【答案】(1) a＞﹣1，(2) （0， ）． 【解析】（1） 有两个不同的极值点，等价于 有两个不同的实数根， 用判别式即可求出 的范围. （2）求出函数的单调区间，根据函数的单调区间和极值画出函数的图像，转化为两个 函数交点问题，就可求出 的取值范围. 【详解】 （1）因为 ， 由 可得 ， 因为 有两个不同的极值点， 所以 有两个不同的实数根， 则 ，解可得 . （2）当 时， ， ， 令 ，解得： ， 当 ， 时， ， 单调递增， p q p q 11 4 41 3 a a  ≥  ≤ ＜ ∅ p q 11 4 4 3 a a  <  > 4 11 3 4a< < a 4 11( , )3 4 2 4 e ( )f x 2 2 0x x a+ − = a m 2( ) ( 2 ) xf x x x a e′ = + − ( ) 0f x′ = 2 2 0x x a+ − = ( )f x 2 2 0x x a+ − = 4 4 0a∆ = + > 1a > − 0a = 2( ) xf x x e= ( ) ( 2) xf x x x e′ = + ( ) 0f x′ = 1 2x = − 2 0x = ( , 2)x∈ −∞ − (0, )+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 当 时， ， 单调递减， 当 时，函数取得极大值 ， 当 时，函数取得极小值 ， 因为 存在三个不同的实数根， 所以 与 有 个不同的交点， 则 . 故 m 的范围 . 【点睛】 本题第一问考查了函数的极值点问题，第二问考查了函数的零点问题，同时考查了转化 与数形结合的思想，属于中档题. 19．双曲线 （a＞0，b＞0）的半焦距为 c，点 A（0，b）到渐近线的距离 为 c． （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 4，双曲线右支上存在一点 P，使 得 PF1⊥PF2，求点 P 的坐标． 【答案】(1) ；(2) P（ ，1）或 P（ ，﹣1）． 【解析】（1）根据 到渐近线的距离为 ，列出等式，即可得到 ， ， 带入离心率公式即可. （2）根据 在双曲线上，和 ，列出方程，解方程即可. 【详解】 ( 2,0)x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x 2x = − 2 4( 2)f e − = 0x = (0) 0f = ( )f x m= ( )y f x= y m= 3 2 40 m e < < 2 4(0, )e 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2 2 3 3 (0, )A b 1 2 c a b= 2c a= ( , )P m n 1 2PF PF⊥ （1）双曲线 的渐近线方程为 ， 点 到渐近线的距离为 ，可得 ， 即有 ，可得 ， ，则 . （2）由焦距为 ，可得 ， ， 双曲线的方程为 ， 双曲线右支上存在一点 ， ，即有 ， 由 ，可得 ，即有 ， 解得 ， ，则 或 【点睛】 本题第一问考查了离心率的求法，第二问考查了点与双曲线的关系以及垂直的斜率表示， 属于中档题. 20．现拟建一个粮仓，如图 1 所示，粮仓的轴截而如图 2 所示，ED＝EC，AD BC， BC⊥AB，EF⊥AB，CD 交 EF 于点 G，EF＝FC＝10m． （1）设∠CFB＝θ，求粮仓的体积关于 θ 的函数关系式； （2）当 sinθ 为何值时，粮仓的体积最大？ 【答案】(1) ， ．(2) 时，粮仓的体积最大． 【解析】（1）根据已知条件分别求出 ， ，再代入体积公式 即可. 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 0bx ay± = (0, )A b 1 2 c 2 2 1 2 ab ab ccb a = = + 2 2 22ab c a b= = + a b= 2c a= 2ce a = = 4 2c = 2a b= = 2 2 2x y− = ( , )P m n 0m > 2 2 2m n− = 1 2PF PF⊥ 12 2 n n m m = −+ − 2 2 4m n+ = 3m = 1n = ± ( 3,1)P ( 3, 1)P − = ( ) ( )3 21000 2 2 13V sin sin sinθ π θ θ θ= − − + + 0 2 πθ  ∈  ， 13 1 6sinθ −= 10cosFB θ= 10sinBC θ= （2）令 ，将（1）问的关系式转化为三次函数，求导即可得到最大值时的正弦 值. 【详解】 （1）因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形. 又因为 ，所以四边形 是矩形， 且 ， ，所以 ， 所以 是三角形 的中线. 因为 ，所以 ， ， ， 所以 ， 化简得 ， . （2）令 ， ， 则粮仓的体积 ， ， 令 ，即 ，解得 （舍去）， 当 时， 0，y 在 上单调递增； 当 时， ，y 在 上单调递减， 所以当 时，即 时，粮仓的体积最大. 【点睛】 本题第一问考查了三角函数的实际应用和组合体的体积公式，第二问考查了转化思想， 将函数转化为三次函数，再利用导数求最值是解决第二问的关键，属于难题. 21．已知抛物线 x2=4y． sin tθ = AD BC∥ AD BC= ABCD BC AB⊥ ABCD ED EC= EF AB⊥ EF CD⊥ EG EDC CFB θ∠ = 10cosFB θ= 10sinBC θ= (0, )2 πθ ∈ ( ) ( ) ( )2 2 2 21 100010 1000 13 3V FB BC FB BC cos sin cos sinθ π π π θ θ π θ θ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⋅ + ⋅ − ( ) ( )3 21000 2 2 13V sin sin sinθ π θ θ θ= − − + + 0 2 πθ  ∈  ， sin tθ = ( )01t ∈ ， ( ) ( )3 21000 2 2 1 013y t t t t π= − − + + ∈， ， ( )22000' 3 13y t t π= − + − 0y′ = 23 1 0t t+ − = 1 2 13 1 1 13 6 6t t − − −= =， 13 10 6t  −∈    ， 0y′ > 13 10 6  −    ， 13 1 16t  −∈    ， 0y′ < 13 1 16  −    ， 13 1 6t −= 13 1 6sinθ −= （1）求抛物线在点 P（2，1）处的切线方程； （2）若不过原点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（如图所示），且 OA⊥OB，|OA|= |OB|，求直线 l 的斜率． 【答案】（1）y=x-1; （2） 【解析】（1）方法一，利用导数的几何意义即可求出切线方程； 方法二，利用判别式 即可求出切线方程； （2）设直线 l 方程以及 AB 两点坐标，根据根与系数的关系，以及相似三角形即可求 出． 【详解】 解：（1）方法一：点 P（2，1）在抛物线上，即 y= x2， ∴y′= x， ∴切线的斜率 k=y′| = ×2=1， ∴抛物线在点 P（2，1）处的切线方程为 y=x-1， 方法二：设抛物线在点 P（2，1）处的切线方程为 y-1=k（x-2），（k＞0），即 y=kx+1-2k， 代入到 x2=4y，可得 x2-4kx+8k-4=0， 由△=16k2-4（8k-4）=0， 解得 k=1， ∴抛物线在点 P（2，1）处的切线方程为 y=x-1， （2）设直线 l 方程为：y=kx+m，（k＞0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 ，消去 y 得 x2-4kx-4m=0， ∴x1+x2=4k，x1x2=-4m， ∵OA⊥OB， ∴ • =0， ∴x1x2+y1y2=0， 1 8 3 2 1 4 1 2 2x= 1 2 2 4 y kx m x y = + =  OA OB ∴x1x2+ =0， 解得 x1x2=-16，或 x1x2=0（舍去） ∴-4m=-16， ∴m=4， 过点 A，B 两点分别作 x 轴的垂线，垂足为 A1，B1， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵∠AOB+∠AOA1+∠BOB1=180°， ∴∠AOA1+∠BOB1=90°， ∵∠OBB1+∠BOB1=90°， ∴∠AOA1=∠OBB1， ∴Rt△AA1O∽Rt△OB1B， ∴ = = ， ∴y2=-8x1，x22=-32x1， ∵x1x2=-16， ∴x1=-2，x2=8， ∴x1+x2=6=4k， 解得 k= ， ∴直线 l 的斜率为 ． 【点睛】 本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的 能力，属于中档题． 22．已知函数 f（x） x2﹣xlnx，g（x）＝（m﹣x）lnx+（1﹣m）x（m＜0）． 2 2 1 2 16 x x OA OB 1 1 AO BB 1 8 3 2 3 2 1 2 = （1）讨论函数 f′（x）的单调性； （2）求函数 F（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[1，+∞）上的最小值． 【答案】(1) f′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，(2)见解析 【解析】（1）令 ，求导即可得到 的单调区间. （2）令 ，得 ， ，比较两个根的大小，分类讨论每种情况的单 调区间个最值即可. 【详解】 （1） ， 的定义域为 ， 令 ， ， 令 ，得 . 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 则 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）由 ， 则 ， 令 ，得 ， ， 当 ，即 时， 在 上单调递增， 其最小值为 ， 当 ，即 时， 在 上恒成立， 0 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 其最小值为 . 综上，当 时， 在 上的最小值为 ， 当 时， 在 上的最小值为 . 【点睛】 ( ) ( )h x f x′= ( )f x′ ( ) 0F x′ = 1 1x = 2x m= − ( ) ln 1f x x x′ = − − ( )f x′ (0, )+∞ ( ) ln 1h x x x= − − 1( ) 1h x x ′ = − 1 1( ) 1 0xh x x x −′ = − = = 1x = (0,1)x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x ( )f x′ (0,1) (1, )+∞ 21( ) ( ) ( ) ln (1 )2F x f x g x x m x m x= − = − − − ( ) ( )2 1( ) 1 x m x mmF x x mx x − − −′ = − − − = ( ) 0F x′ = 1 1x = 2x m= − 1m− ≤ 1 0x− ≤ < ( ) 0F x′ ≥ [1, )+∞ 1(1) 2F m= − 1m− > 1m < − ( ) 0F x′ < (1, )m− ( ) 0F x′ > ( , )m− +∞ ( )F x (1, )m− ( , )m− +∞ 21( ) ln( ) 2F m m m m m− = − − − 1 0m− ≤ < ( )F x [1, )+∞ 1(1) 2F m= − 1m < − ( )F x [1, )+∞ 21( ) ln( ) 2F m m m m m− = − − − 本题第一问考查了普通函数的单调区间，第二问考查了含参函数的最值，分类讨论是解 题的关键，属于中档题.