四川高考文科数学含详解

四川高考文科数学含详解

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。‎ ‎3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 ‎ ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题 ‎(1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8}那么M∪N=‎ ‎(A){3,4,5,6,7,8} (B){5,8} (C){3,5,7,8} (D){4,5,6,8}‎ ‎(2)函数f(x)=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是 ‎(3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，‎ ‎149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 ‎(A)150.2克 (B)149.8克 (C)149.4克 (D)147.8克 ‎(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ‎(A）BD∥平面CB1D1 (B)AC1⊥BD ‎(C)AC1⊥平面CB1D1 (D)异面直线AD与CB所成的角为60°‎ ‎（5）如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的 球面距离都是，且二面角B-OA-C的大小是，则从A点沿球面经B、C 两点再回到A点的最短距离是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（7）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其降n项和Sn=100,则n=‎ ‎(A)9 (B)10 (C)11 (D)12‎ ‎(8)设A（a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=12‎ ‎(9)用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有 A.48个 B.36个 C.24个 D.18个 ‎(10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 D.4‎ ‎（11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元 ‎(12)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2与l3同的距离是2，‎ 正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 A.2 B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题横线上.‎ ‎（13）.的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品.‎ ‎　　（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率.‎ ‎(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出 不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知cosα=,cos(α-β)＝，且0<β<α<,‎ ‎(Ⅰ)求tan2α的值；‎ ‎（Ⅱ）求β.‎ ‎(19)　(本小题满分12分)‎ 如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° ‎ ‎(Ⅰ)求证：AC⊥BM;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；‎ ‎（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1,f（1））处的切线与直线x－6y－7=0垂直，导函数f＇（x）的最小值为－12.‎ ‎（Ⅰ）求a，b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ 求F1、F2分别是横线的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；‎ ‎（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ ‎ （22）(本小题满分14分)‎ 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.‎ ‎（Ⅰ）用xx表示xn+1；‎ ‎（Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学(含详细解析)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1、设集合，集合，那么（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：选A．‎ ‎2、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）‎ 解析：选C．‎ ‎3、某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（　　）‎ ‎（A）150.2克　　（B）149.8克　　（C）149.4克　　（D）147.8克 解析：选Ｂ．‎ ‎4、如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）‎ ‎（A）平面 ‎（B）‎ ‎（C）平面 ‎（D）异面直线与所成的角为60°‎ 解析：选Ｄ．‎ ‎5、如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　）‎ ‎（A）　　　（B） 　　（C）　　　（D）‎ 解析：选A．由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是．‎ ‎6、设球的半径是1，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（　　）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解析：选C．．本题考查球面距离．‎ ‎7、等差数列中，，，其前项和，则（　　）‎ ‎（A）9　　　　（B）10　　　　（C）11　　　　（D）12‎ 解析：选Ｂ．‎ ‎8、设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（　　）‎ ‎（A）　　（B）　　（C）　　（D）‎ 解析：选A．由与在方向上的投影相同，可得：即 ，．‎ ‎9、用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（　　）‎ ‎（A）48个 （B）36个 （C）24个 （D）18个 解析：选Ｂ．个位是2的有个，个位是4的有个，所以共有36个．‎ ‎10、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（　　）‎ ‎（A）3 （B）4 （C） （D）‎ 解析：选C．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．‎ ‎11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）‎ ‎（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元 解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．‎ ‎12、如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则⊿的边长是（　　）‎ ‎（A）2 （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解析：选D．过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知，检验A：，无解；检验B：‎ ‎，无解；检验D：，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．‎ ‎13、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 ．‎ 解析：．‎ ‎14、在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是____________‎ 解析：，点到平面的距离为，∴，． ‎ ‎15、已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是__________________‎ 解析：：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得 ‎，．‎ ‎16、下面有5个命题：‎ ‎①函数的最小正周期是；‎ ‎②终边在轴上的角的集合是；‎ ‎③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点；‎ ‎④把函数的图象向右平移得到的图象；‎ ‎⑤角为第一象限角的充要条件是 其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）‎ 解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17、（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品．‎ ‎（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率．‎ ‎（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。‎ 解析：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件．用对立事件来算，有 ‎（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为件” 为事件．‎ ‎∴商家拒收这批产品的概率 ‎．‎ 故商家拒收这批产品的概率为．‎ ‎18、（本小题满分12分）已知，，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ 解析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．‎ ‎（Ⅰ）由，，得．‎ ‎　　　∴．‎ 于是．‎ ‎（Ⅱ）由，得．‎ ‎　　　又∵，‎ ‎∴．‎ 由，得 ‎　　　‎ ‎　　　∴．‎ ‎19、（本小题满分12分）如图，平面平面，，，直线与直线所成的角为60°，又，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求多面体的体积．‎ 解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．‎ ‎（Ⅰ）∵平面平面，，平面．‎ ‎∴平面 又∵平面 ‎∴‎ ‎（Ⅱ）取的中点，则．连接、．‎ ‎∵平面平面，平面平面，．‎ ‎∴平面．‎ ‎∵，∴，从而平面．‎ 作于，连结，则由三垂线定理知．‎ 从而为二面角的平面角．‎ ‎∵直线与直线所成的角为60°，‎ ‎∴ ．‎ 在中，由勾股定理得．‎ 在中，．‎ 在中，．‎ 在中，‎ 故二面角的大小为 ‎（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．‎ ‎　　　设，‎ 有，，．‎ ‎，‎ 由直线与直线所成的角为60°，得 即，解得．‎ ‎∴，‎ 设平面的一个法向量为，则 由，取，得 取平面的一个法向量为 则 由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）多面体就是四棱锥 ‎．‎ ‎20、（本小题满分12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求，，的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．‎ 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．‎ ‎（Ⅰ）∵为奇函数，‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∵的最小值为 ‎∴‎ 又直线的斜率为 因此，‎ ‎∴，，．‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎　　　，列表如下：‎ 极大 极小 ‎　　　所以函数的单调增区间是和 ‎∵，，‎ ‎∴在上的最大值是，最小值是．‎ ‎21、（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点．‎ ‎（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．‎ 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．‎ ‎（Ⅰ）易知，，．‎ ‎∴，．设．则 ‎，又，‎ 联立，解得，．‎ ‎（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．‎ 联立 ‎∴，‎ 由 ‎，，得．①‎ 又为锐角，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴‎ ‎∴．②‎ 综①②可知，∴的取值范围是．‎ ‎22、（本小题满分14分）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数．‎ ‎（Ⅰ）用表示；‎ ‎（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）若，，是数列的前项和，证明．‎ 解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）由题可得．‎ 所以曲线在点处的切线方程是：．‎ 即．‎ 令，得．‎ 即．‎ 显然，∴．‎ ‎（Ⅱ）由，知，同理 ‎．‎ ‎　　　故．‎ 从而，即．所以，数列成等比数列．‎ 故．‎ 即．‎ 从而 所以 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 当时，显然．‎ 当时，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎　　　综上，． ‎