2014年广东省高考数学试卷(文科)

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2014年广东省高考数学试卷(文科)

‎2014年广东省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(5分)已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,5},则M∩N=(  )‎ A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5}‎ ‎2.(5分)已知复数z满足(3﹣4i)z=25,则z=(  )‎ A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i ‎3.(5分)已知向量=(1,2),=(3,1),则﹣=(  )‎ A.(﹣2,1) B.(2,﹣1) C.(2,0) D.(4,3)‎ ‎4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值等于(  )‎ A.7 B.8 C.10 D.11‎ ‎5.(5分)下列函数为奇函数的是(  )‎ A.2x﹣ B.x3sinx C.2cosx+1 D.x2+2x ‎6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为(  )‎ A.50 B.40 C.25 D.20‎ ‎7.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(  )‎ A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ‎8.(5分)若实数k满足0<k<5,则曲线﹣=1与﹣=1的(  )‎ A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ‎9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.l1⊥l4 B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 ‎10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下命题:‎ ‎①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3)‎ ‎②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3)‎ ‎③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);‎ ‎④z1*z2=z2*z1‎ 则真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)‎ ‎11.(5分)曲线y=﹣5ex+3在点(0,﹣2)处的切线方程为   .‎ ‎12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为   .‎ ‎13.(5分)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=   .‎ ‎ ‎ ‎(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为   .‎ ‎ ‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=   .‎ ‎ ‎ 四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).‎ ‎17.(13分)某车间20名工人年龄数据如下表:‎ 年龄(岁)‎ 工人数(人)‎ ‎19‎ ‎1‎ ‎28‎ ‎3‎ ‎29‎ ‎3‎ ‎30‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎4‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎1‎ 合计 ‎20‎ ‎(1)求这20名工人年龄的众数与极差;‎ ‎(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;‎ ‎(3)求这20名工人年龄的方差.‎ ‎18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2作如图2折叠;折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.‎ ‎(1)证明:CF⊥平面MDF;‎ ‎(2)求三棱锥M﹣CDE的体积.‎ ‎19.(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.‎ ‎20.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ ‎21.(14分)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x0)=f().‎ ‎ ‎ ‎2014年广东省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(5分)已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,5},则M∩N=(  )‎ A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5}‎ ‎【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵M={2,3,4},N={0,2,3,5},‎ ‎∴M∩N={2,3},‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知复数z满足(3﹣4i)z=25,则z=(  )‎ A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i ‎【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.‎ ‎【解答】解:∵满足(3﹣4i)z=25,则z===3+4i,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)已知向量=(1,2),=(3,1),则﹣=(  )‎ A.(﹣2,1) B.(2,﹣1) C.(2,0) D.(4,3)‎ ‎【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可.‎ ‎【解答】解:∵向量=(1,2),=(3,1),‎ ‎∴﹣=(2,﹣1)‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值等于(  )‎ A.7 B.8 C.10 D.11‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=2x+y,得y=﹣2x+z,‎ 平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B(4,2)时,‎ 直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,此时z=2×4+2=10,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)下列函数为奇函数的是(  )‎ A.2x﹣ B.x3sinx C.2cosx+1 D.x2+2x ‎【分析】根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:对于函数f(x)=2x﹣,由于f(﹣x)=2﹣x﹣=﹣2x=﹣f(x),故此函数为奇函数.‎ 对于函数f(x)=x3sinx,由于f(﹣x)=﹣x3(﹣sinx)=x3sinx=f(x),故此函数为偶函数.‎ 对于函数f(x)=2cosx+1,由于f(﹣x)=2cos(﹣x)+1=2cosx+1=f(x),故此函数为偶函数.‎ 对于函数f(x)=x2+2x,由于f(﹣x)=(﹣x)2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f(x),且f(﹣x)≠f(x),‎ 故此函数为非奇非偶函数.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为(  )‎ A.50 B.40 C.25 D.20‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵从1000名学生中抽取40个样本,‎ ‎∴样本数据间隔为1000÷40=25.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(  )‎ A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ‎【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可.‎ ‎【解答】解:由正弦定理可知⇒=,‎ ‎∵△ABC中,∠A,∠B,∠C均小于180°,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,‎ ‎∴a,b,sinA,sinB都是正数,‎ ‎∴“a≤b”⇔“sinA≤sinB”.‎ ‎∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查三角形中,角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)若实数k满足0<k<5,则曲线﹣=1与﹣=1的(  )‎ A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ‎【分析】根据k的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及a,b,c的大小关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:当0<k<5,则0<5﹣k<5,11<16﹣k<16,‎ 即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=16,b2=5﹣k,c2=21﹣k,‎ 曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=16﹣k,b2=5,c2=21﹣k,‎ 即两个双曲线的焦距相等,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断a,b,c是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.l1⊥l4 B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 ‎【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:在正方体中,若AB所在的直线为l2,CD所在的直线为l3,AE所在的直线为l1,‎ 若GD所在的直线为l4,此时l1∥l4,‎ 若BD所在的直线为l4,此时l1⊥l4,‎ 故l1与l4的位置关系不确定,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下命题:‎ ‎①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3)‎ ‎②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3)‎ ‎③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);‎ ‎④z1*z2=z2*z1‎ 则真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】根据已知中ω1*ω2=ω12,其中2是ω2的共轭复数,结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假,可得答案.‎ ‎【解答】解:①(z1+z2)*z3=(z1+z2)=(z1+z2=(z1*z3)+(z2*z3),正确;‎ ‎②z1*(z2+z3)=z1()=z1(+)=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),正确;‎ ‎③(z1*z2)*z3=z1,z1*(z2*z3)=z1*(z2)=z1()=z1z3‎ ‎,等式不成立,故错误;‎ ‎④z1*z2=z1,z2*z1=z2,等式不成立,故错误;‎ 综上所述,真命题的个数是2个,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了复数的运算性质,细心运算即可,属于基础题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)‎ ‎11.(5分)曲线y=﹣5ex+3在点(0,﹣2)处的切线方程为 5x+y+2=0. .‎ ‎【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可.‎ ‎【解答】解:y′=﹣5ex,‎ ‎∴y′|x=0=﹣5.‎ 因此所求的切线方程为:y+2=﹣5x,即5x+y+2=0.‎ 故答案为:5x+y+2=0.‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为  .‎ ‎【分析】求得从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母、取到字母a的情况,利用古典概型概率公式求解即可.‎ ‎【解答】解:从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,共有=10种情况,取到字母a,共有=4种情况,‎ ‎∴所求概率为=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】‎ 本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= 5 .‎ ‎【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2,再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3,代入即可求出答案.‎ ‎【解答】解:log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3.‎ 又等比数列{an}中,a1a5=4,即a3=2.‎ 故5log2a3=5log22=5.‎ 故选为:5.‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题,较易.‎ ‎ ‎ ‎(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为 (1,2) .‎ ‎【分析】直接由x=ρcosθ,y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程,然后联立方程组求得答案.‎ ‎【解答】解:由2ρcos2θ=sinθ,得:2ρ2cos2θ=ρsinθ,‎ 即y=2x2.‎ 由ρcosθ=1,得x=1.‎ 联立,解得:.‎ ‎∴曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).‎ 故答案为:(1,2).‎ ‎【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= 3 .‎ ‎【分析】证明△CDF∽△AEF,可求.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,EB=2AE,‎ ‎∴AB∥CD,CD=3AE,‎ ‎∴△CDF∽△AEF,‎ ‎∴==3.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题考查三角形相似的判断,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ 四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).‎ ‎【分析】(1)通过函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=,直接求A的值;‎ ‎(2)利用函数的解析式,通过f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求出cosθ,利用两角差的正弦函数求f(﹣θ).‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=,‎ ‎∴f()=Asin(+)=Asin=,‎ ‎∴.‎ ‎(2)由(1)可知:函数f(x)=3sin(x+),‎ ‎∴f(θ)﹣f(﹣θ)=3sin(θ+)﹣3sin(﹣θ+)‎ ‎=3[()﹣()]‎ ‎=3•2sinθcos=3sinθ=,‎ ‎∴sinθ=,‎ ‎∴cosθ=,‎ ‎∴f(﹣θ)=3sin()=3sin()=3cosθ=.‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的解析式的求法,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)某车间20名工人年龄数据如下表:‎ 年龄(岁)‎ 工人数(人)‎ ‎19‎ ‎1‎ ‎28‎ ‎3‎ ‎29‎ ‎3‎ ‎30‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎4‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎1‎ 合计 ‎20‎ ‎(1)求这20名工人年龄的众数与极差;‎ ‎(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;‎ ‎(3)求这20名工人年龄的方差.‎ ‎【分析】(1)根据众数和极差的定义,即可得出;‎ ‎(2)根据画茎叶图的步骤,画图即可;‎ ‎(3)利用方差的计算公式,代入数据,计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40﹣19=21;‎ ‎(2)茎叶图如下:‎ ‎(3)年龄的平均数为:=30.‎ 这20名工人年龄的方差为S2=[(19﹣30)2+3×(28﹣30)2+3×(29﹣30)2+5×(30﹣30)2+4×(31﹣30)2+3×(32﹣30)2+(40﹣30)2]=12.6.‎ ‎【点评】本题考查了众数,极差,茎叶图,方差的基本定义,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2作如图2折叠;折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.‎ ‎(1)证明:CF⊥平面MDF;‎ ‎(2)求三棱锥M﹣CDE的体积.‎ ‎【分析】(1)要证CF⊥平面MDF,只需证CF⊥MD,且CF⊥MF即可;由PD⊥平面ABCD,得出平面PCD⊥平面ABCD,即证MD⊥平面PCD,得CF⊥MD;‎ ‎(2)求出△CDE的面积S△CDE,对应三棱锥的高MD,计算它的体积VM﹣CDE.‎ ‎【解答】解:(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PCD,‎ ‎∴平面PCD⊥平面ABCD;‎ 又平面PCD∩平面ABCD=CD,MD⊂平面ABCD,MD⊥CD,‎ ‎∴MD⊥平面PCD,CF⊂平面PCD,∴CF⊥MD;‎ 又CF⊥MF,MD、MF⊂平面MDF,MD∩MF=M,‎ ‎∴CF⊥平面MDF;‎ ‎(2)∵CF⊥平面MDF,∴CF⊥DF,‎ 又∵Rt△PCD中,DC=1,PC=2,‎ ‎∴∠P=30°,∠PCD=60°,‎ ‎∴∠CDF=30°,CF=CD=;‎ ‎∵EF∥DC,∴=,即=,‎ ‎∴DE=,∴PE=,‎ ‎∴S△CDE=CD•DE=;‎ MD===,‎ ‎∴VM﹣CDE=S△CDE•MD=××=.‎ ‎【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题,解题时应结合图形,明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么,几何体的体积计算公式是什么,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.‎ ‎【分析】(1)本题可以用n=1代入题中条件,利用S1=a1求出a1的值;‎ ‎(2)利用an与Sn的关系,将条件转化为an的方程,从而求出an;‎ ‎(3)利用放缩法,将所求的每一个因式进行裂项求和,即可得到本题结论.‎ ‎【解答】解:(1)令n=1得:,即.‎ ‎∴(S1+3)(S1﹣2)=0.‎ ‎∵S1>0,∴S1=2,即a1=2.‎ ‎(2)由得:‎ ‎.‎ ‎∵an>0(n∈N*),‎ ‎∴Sn>0.‎ ‎∴.‎ ‎∴当n≥2时,,‎ 又∵a1=2=2×1,‎ ‎∴.‎ ‎(3)由(2)可知=,‎ ‎∀n∈N*,=<=(),‎ 当n=1时,显然有=<;‎ 当n≥2时,‎ ‎<+=﹣•<‎ 所以,对一切正整数n,有.‎ ‎【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法,还用到了放缩法,计算量较大,有一定的思维难度,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ ‎【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求得a和b,则椭圆的方可得.‎ ‎(2)设出切线的方程,带入椭圆方程,整理后利用△=0,整理出关于k的一元二次方程,利用韦达定理表示出k1•k2,进而取得x0和y0的关系式,即P点的轨迹方程.‎ ‎【解答】解:(1)依题意知,求得a=3,b=2,‎ ‎∴椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P的坐标为(±3,±2),符合题意,‎ ‎②当两条切线斜率均存在时,设过点P(x0,y0)的切线为y=k(x﹣x0)+y0,‎ ‎+=+=1,整理得(9k2+4)x2+18k(y0﹣kx0)x+9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,‎ ‎∴△=[18k(y0﹣kx0)]2﹣4(9k2+4)×9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,‎ 整理得(x02﹣9)k2﹣2x0×y0×k+(y02﹣4)=0,‎ ‎∴﹣1=k1•k2==﹣1,‎ ‎∴x02+y02=13.‎ 把点(±3,±2)代入亦成立,‎ ‎∴点P的轨迹方程为:x2+y2=13.‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程,轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程,最重要的是建立模型求得x和y关系.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x0)=f().‎ ‎【分析】对第(1)问,先求导,再通过一元二次方程的实根讨论单调性;‎ 对第(2)问,可将f(x0)=f()转化为f(x0)﹣f()=0,即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)得f′(x)=x2+2x+a,‎ 令f′(x)=0,即x2+2x+a=0,判别式△=4﹣4a,‎ ‎①当△≤0即a≥1时,f′(x)≥0,则f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数.‎ ‎②当△>0即a<1时,方程f′(x)=0的两根为,即,‎ 当x∈(﹣∞,﹣1﹣)时,f′(x)>0,则f(x)为增函数;‎ 当时,f′(x)<0,则f(x)为减函数;‎ 当,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)为增函数.‎ 综合①、②知,a≥1时,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞),‎ a<1时,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,和,+∞),‎ f(x)的单调递减区间为.‎ ‎(2)∵=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎∴若存在∪,使得,即,‎ 则关于x的方程4x2+14x+7+12a=0在∪内必有实数解.‎ ‎∵a<0,∴△=142﹣16(7+12a)=4(21﹣48a)>0,‎ 方程4x2+14x+7+12a=0的两根为,即,‎ ‎∵x0>0,∴,‎ 依题意有,且,‎ 即,且,∴49<21﹣48a<121,且21﹣48a≠81,‎ 得,且.‎ ‎∴当∪时,存在唯一的∪,使得成立;‎ 当∪∪{}时,不存在∪,使得成立.‎ ‎【点评】1.求含参数的函数的单调区间时,导函数的符号往往难以确定,如果受到参数的影响,应对参数进行讨论,讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定.如本题中导函数为一元二次函数,就有必要考虑对应方程中的判别式△.‎ ‎2.对于存在性问题,一般先假设所判断的问题成立,再由假设去推导,若求得符合题意的结果,则存在;若得出矛盾,则不存在.‎ ‎ ‎
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