2005年内蒙古高考数学试卷Ⅱ(理)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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2005年内蒙古高考数学试卷Ⅱ(理)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2005年内蒙古高考数学试卷Ⅱ(理)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 函数f(x)=|sinx+cosx|‎的最小正周期是( )‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.π D.‎‎2π ‎2. 正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,P,Q,R分别是AB,AD,B‎1‎C‎1‎的中点.那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是‎(‎        ‎‎)‎ A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 ‎3. 函数y=‎3‎x‎2‎-1(x≤0)‎的反函数是( )‎ A.y=‎(x+1‎‎)‎‎3‎(x≥-1)‎ B.‎y=-‎(x+1‎‎)‎‎3‎(x≥-1)‎ C.y=‎(x+1‎‎)‎‎3‎(x≥0)‎ D.‎y=-‎(x+1‎‎)‎‎3‎(x≥0)‎ ‎4. 已知函数y=tanωx在‎(-π‎2‎,π‎2‎)‎上是减函数,则( )‎ A.‎0<ω≤1‎ B.‎-1≤ω<0‎ C.ω≥1‎ D.‎ω≤-1‎ ‎5. 设a、b、c、d∈R,若a+bic+di为实数,则( )‎ A.bc+ad≠0‎ B.bc-ad≠0‎ C.bc-ad=0‎ D.‎bc+ad=0‎ ‎6. 已知双曲线x‎2‎‎6‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎的焦点为F‎1‎、F‎2‎,点M在双曲线上且MF‎1‎⊥x轴,则F‎1‎到直线F‎2‎M的距离为( )‎ A.‎3‎‎6‎‎5‎ B.‎5‎‎6‎‎6‎ C.‎6‎‎5‎ D.‎‎5‎‎6‎ ‎7. 锐角三角形的内角A、B满足tanA-‎1‎sin2A=tanB,则有( )‎ A.sin2A-cosB=0‎ B.sin2A+cosB=0‎ C.sin2A-sinB=0‎ D.‎sin2A+sinB=0‎ ‎8. 已知点A(‎3‎, 1)‎,B(0, 0)C(‎3‎, 0)‎.设‎∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC‎→‎‎=λCE‎→‎,其中λ等于( )‎ A.‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎-3‎ D.‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎9. 已知集合M={x|-4≤x≤7}‎,N={x|x‎2‎-x-6>0}‎,则M∩N为( )‎ A.‎{x|-4≤x<-2或33}‎ D.‎‎{x|x<-2或x≥3}‎ ‎10. 点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v‎→‎‎=(4, -3)‎(即点P的运动方向与v‎→‎相同,且每秒移动的距离为‎|v‎→‎|‎个单位.设开始时点P的坐标为‎(-10, 10)‎,则‎5‎秒后点P的坐标为(         )‎ A.‎(-2, 4)‎ B.‎(-30, 25)‎ C.‎(10, -5)‎ D.‎‎(5, -10)‎ ‎11. 如果a‎1‎,a‎2‎,…,a‎8‎为各项都大于零的等差数列,公差d≠0‎,则( )‎ A.a‎1‎a‎8‎‎>‎a‎4‎a‎5‎ B.a‎1‎a‎8‎‎<‎a‎4‎a‎5‎ C.a‎1‎‎+a‎8‎>a‎4‎+‎a‎5‎ D.‎a‎1‎a‎8‎‎=‎a‎4‎a‎5‎ ‎12. 将半径都为‎1‎的‎4‎个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为(        )‎ A.‎3‎‎+2‎‎6‎‎3‎ B.‎2+‎‎2‎‎6‎‎3‎ C.‎4+‎‎2‎‎6‎‎3‎ D.‎‎4‎3‎+2‎‎6‎‎3‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13. 圆心为‎(1, 2)‎且与直线‎5x-12y-7=0‎相切的圆的方程为________.‎ ‎14. 设a为第四象限的角,若sin3asina‎=‎‎13‎‎5‎,则tan2a=‎________.‎ ‎15. 在由数字‎0‎,‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎所组成的没有重复数字的四位数中,不能被‎5‎整除的数共有________个.‎ ‎16. 下面是关于三棱锥的四个命题:‎ ‎①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ 其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号)‎ 三、解答题(共6小题,17~20、22每题12分,21题14分,满分74分)‎ ‎17. 设函数f(x)=‎2‎‎|x+1|-|x-1|‎,求使f(x)≥2‎‎2‎的取值范围.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎18. 已知‎{an}‎是各项均为正数的等差数列,lga‎1‎、lga‎2‎、lga‎4‎成等差数列.又bn‎=‎‎1‎a‎2‎n,n=1‎,‎2‎,‎3‎,….‎ ‎(I)‎证明‎{bn}‎为等比数列;‎ ‎(II)‎如果无穷等比数列‎{bn}‎各项的和S=‎‎1‎‎3‎,求数列‎{an}‎的首项a‎1‎和公差d.‎ ‎(注:无穷数列各项的和即当n→∞‎时数列前项和的极限)‎ ‎19. 一次国际乒乓球比赛中,甲、乙两位选手在决赛中相遇,根据以往经验,单局比赛甲选手胜乙选手的概率为‎0.6‎,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的选手获胜,比赛结束.设全局比赛相互间没有影响,令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数(不计甲负乙的局数),求ξ的概率分布和数学期望(精确到‎0.0001‎).‎ ‎20. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥‎底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.‎ ‎(1)求证:EF⊥‎面PAB;‎ ‎(2)若AB=‎2‎BC,求AC与面AEF所成的角.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎21. P,Q,M,N四点都在椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知PF‎→‎与FQ‎→‎共线,MF‎→‎与FN‎→‎共线,且PF‎→‎‎⋅MF‎→‎=0‎.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.‎ ‎22. 已知a≥0‎,函数f(x)=(x‎2‎-2ax)‎ex.‎ ‎(I)‎当x为何值时,f(x)‎取得最小值?证明你的结论;‎ ‎(II)‎设f(x)‎在‎[-1, 1]‎上是单调函数,求a的取值范围.‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年内蒙古高考数学试卷Ⅱ(理)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.C ‎2.D ‎3.B ‎4.B ‎5.C ‎6.C ‎7.A ‎8.C ‎9.A ‎10.C ‎11.B ‎12.C 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=4‎ ‎14.‎‎-‎‎3‎‎4‎ ‎15.‎‎192‎ ‎16.①,④‎ 三、解答题(共6小题,17~20、22每题12分,21题14分,满分74分)‎ ‎17.解:由于y=‎‎2‎x是增函数,f(x)≥2‎‎2‎等价于‎|x+1|-|x-1|≥‎‎3‎‎2‎①‎ ‎(1)‎当x≥1‎时,‎|x+1|-|x-1|=2‎,∴ ①式恒成立.‎ ‎(2)‎当‎-10‎,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎,EF‎→‎‎=(0,‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎),PB‎→‎=(2a,1,-1),AB‎→‎=(2a,0,0),EF‎→‎⋅PB‎→‎=0‎,∴ EF⊥PB,AB‎→‎‎⋅EF‎→‎=0‎,∴ ‎AB⊥EF 又PB⊂‎平面PAB,AB⊂‎平面PAB,PB∩AB=B,∴ EF⊥⊂‎平面PAB ‎(2)解:由AB=‎2‎BC,得a=‎‎2‎‎2‎,‎ 可得AC‎→‎‎=(‎2‎,-1,0),PB‎→‎=(‎2‎,1,-1)‎ cos⟨AC‎→‎,PB‎→‎>=‎|AC‎→‎|⋅|PB‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎6‎‎,‎ 则异面直线AC,PB所成的角为arccos‎3‎‎6‎,‎ AF‎→‎‎=(‎2‎‎2‎,-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎‎,∴ AF‎→‎‎⋅PB‎→‎=0,AF⊥PB,‎ 又PB⊥EF,AF为平面AEF内两条相交直线,‎ ‎∴ PB⊥‎平面AEF,∴ AC与平面AEF所成的角为π‎2‎‎-arccos‎3‎‎6‎(=arcsin‎3‎‎6‎)‎,‎ 即AC与平面AEF所成的角为arcsin‎3‎‎6‎.‎ ‎21.解:∵ PF‎→‎‎⋅MF‎→‎=0⇒PF‎→‎⊥‎MF‎→‎.即MN⊥PQ.‎ ‎ 7 / 7‎ 当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时,另一条直线必垂直于y轴.‎ 不妨设MN⊥y轴,则PQ⊥x轴,‎ ‎∵ ‎F(0, 1)‎ ‎∴ MN的方程为:y=1‎,PQ的方程为:‎x=0‎ 分别代入椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎中得:‎|MN|=‎‎2‎,‎|PQ|=2‎‎2‎.‎ S四边形PMQN‎=‎1‎‎2‎|MN|⋅|PQ|=‎1‎‎2‎×‎2‎×2‎2‎=2‎ 当MN,PQ都不与坐标轴垂直时,‎ 设MN的方程为y=kx+1(k≠0)‎,‎ 代入椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎中得:‎(k‎2‎+2)x‎2‎+2kx-1=0‎,‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎2kk‎2‎‎+2‎,‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=-‎‎1‎k‎2‎‎+2‎ ‎∴ ‎‎|MN|=‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎(1+k‎2‎)[(‎2kk‎2‎‎+2‎‎)‎‎2‎+‎4‎k‎2‎‎+2‎]‎=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎k‎2‎‎+2‎ 同理可得:‎|PQ|=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎‎2k‎2‎+1‎,‎ S四边形PMQN‎=‎1‎‎2‎|MN|⋅|PQ|=2×‎2k‎4‎+4k‎2‎+2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎=2(1-k‎2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎)=2(1-‎1‎‎2(k‎2‎+1/k‎2‎)+5‎)≥‎‎16‎‎9‎ ‎(当且仅当k‎2‎‎=‎‎1‎k‎2‎即k=±1‎时,取等号).‎ 又S四边形PMQN‎=2(1-k‎2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎)<2‎,∴ 此时‎16‎‎9‎‎≤S四边形PMQN<2‎.‎ 综上可知:‎(S四边形PMQN‎)‎max=2‎,‎(S四边形PMQN‎)‎min=‎‎16‎‎9‎.‎ ‎22.解:‎(1)‎令f‎'‎‎(x)=0‎即‎[x‎2‎-2(a-1)x-2a]ex=0‎∴ ‎x‎2‎‎-2(a-1)x-2a=0‎ ‎∵ ‎△=[2(a-1)‎]‎‎2‎+8a=4(a‎2‎+1)>0‎∴ x‎1‎‎=a-1-‎a‎2‎‎+1‎,‎x‎2‎‎=a-1+‎a‎2‎‎-1‎ 又∵ 当x∈(-∞, a-1-a‎2‎‎+1‎)‎时,f‎'‎‎(x)>0‎;‎ 当x∈(a-1-a‎2‎‎+1‎, a-1+a‎2‎‎+1‎)‎时,f‎'‎‎(x)<0‎;‎ 当x∈(a-1+a‎2‎‎+1‎, +∞)‎时,f‎'‎‎(x)>0‎.‎ 列表如下:‎ ‎ ‎x ‎ ‎‎(-∞, a-1-a‎2‎‎+1‎)‎ ‎ ‎a-1-‎a‎2‎‎+1‎ ‎(a-1-a‎2‎‎+1‎, a-1+a‎2‎‎+1‎)‎‎ ‎ ‎ ‎a-1+‎a‎2‎‎+1‎ ‎ ‎‎(a-1+a‎2‎‎+1‎, +∞)‎ ‎ ‎f'(x)‎ ‎+‎ ‎ ‎‎0‎ ‎-‎ ‎ ‎‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎f(x)‎ ‎↗‎ ‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴ x‎1‎,x‎2‎分别为f(x)‎的极大值与极小值点.‎ 又∵ limx→-∞‎f(x)=0‎;当x→+∞‎时,f(x)→+∞‎.‎ 而f(a-1+a‎2‎‎+1‎)=2(1-a‎2‎‎+1‎)ea-1+‎a‎2‎‎+1‎<0‎.‎ ‎∴ 当x=a-1+‎a‎2‎‎+1‎时,f(x)‎取得最小值.‎ ‎(2)f(x)‎在‎[-1, 1]‎上单调,则f‎'‎‎(x)≥0‎(或‎≤0‎)在‎[-1, 1]‎上恒成立.‎ ‎ 7 / 7‎ 而f‎'‎‎(x)=[x‎2‎-2(a-1)x-2a]‎ex,令g(x)=x‎2‎-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)‎]‎‎2‎-(a‎2‎+1)‎.‎ ‎∴ f‎'‎‎(x)≥0‎(或‎≤0‎)即g(x)≥0‎(或‎≤0‎).‎ 当g(x)≥0‎在‎[-1, 1]‎上恒成立时,有 ‎①当‎-1≤a-1≤1‎即‎0≤a≤2‎时,g(x‎)‎min=g(a-1)=-(a‎2‎+1)≥0‎(舍);‎ ‎②当a-1>1‎即a≥2‎时,g(x‎)‎min=g(1)=3-4a≥0‎∴ a≤‎‎3‎‎4‎(舍).‎ 当g(x)≤0‎在‎[-1, 1]‎上恒成立时,有 ‎①当‎-1≤a-1≤0‎即‎0≤a≤1‎时,g(x‎)‎max=g(1)=3-4a≤0‎,∴ ‎3‎‎4‎‎≤a≤1‎;‎ ‎②当‎02‎时,g(x‎)‎max=g(-1)=-1≤0‎,∴ a>2‎.‎ 故a∈[‎3‎‎4‎, +∞)‎.‎ ‎ 7 / 7‎
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